Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud ja reaalarvud

Arvuhulkade iseloomustamise märgid

avaldis - kuulub hulka
avaldis - ei kuulu hulka
avaldis - on osahulk
avaldis - ei ole osahulk

Arvuhulkade definitsioonid

1. Naturaalarvude hulk

avaldis

2. Täisarvude hulk

avaldis

3. Ratsionaalarvude hulk

avaldis

4. Irratsionaalarvude hulk

avaldis

5. Reaalarvude hulk

avaldis
Definitsioonide selgitused

1. Naturaalarvude all võib mõista arve, mille abil on võimalik elemente loendada (positiivsed arvud, mis ei sisalda murde, juuri, tundmatuid konstante vms).

Näited
avaldis

2. Täisarvude hulk tekib naturaalarvude hulga laiendamisel nende vastandarvudega (kõik naturaalarvud, millele lisanduvad ka vastavad negatiivsed arvud).

Näited
avaldis

3. Ratsionaalarvude hulk on kõigi selliste arvude hulk, mida on võimalik esitada hariliku murruna nii, et murru lugeja ja nimetaja on täisarv (kõik naturaalarvud, täisarvud, kümnendmurrud ja ka harilikud murrud).

Näited
avaldis
avaldis

4. Irratsionaalarvud on kõik reaalarvud (reaalarvu selgitus järgmises definitsioonis), mis ei kuulu ratsionaalarvude hulka (kõik juured ning matemaatilised ja füüsikalised konstandid).

Näited
avaldis
avaldis

5. Reaalarvude hulka kuuluvad kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud (kuna gümnaasiumi matemaatika kompleksarve ei käsitle, siis võime mõista reaalarvude all kõiki arve mida me tunneme).

Näited
avaldis
Ülesanne

Millised väited on tõesed, millised väärad?

avaldis
avaldis
avaldis
Lahendus

a) Väär. Sest naturaalarv ei saa olla negatiivne.
b) Tõene. Sest kümnendmurd kuulub ratsionaalarvude hulka.
c) Väär. Sest lause väidab, et avaldis ei ole täisarv, kuid tegelikult on.
d) Tõene. Sest avaldis on irratsionaalarv, kui see arvule avaldis juurde liita jääb arv ikka irratsionaalarvuks ja kuna lause väidab, et see arv pole ratsionaalarv, siis ongi see lause tõene.
e) Tõene. Sest arv avaldis on irratsionaalarv, kui see korrutada arvuga avaldis ja lahutada tulemus arvust avaldis, siis jääb see arv ikka irratsionaalarvuks.
f) Väär. Kõik gümnaasiumi tasemel õpitud arvud on reaalarvud ja kui lause ütleb, et arv pole reaalarv, siis on see väide igaljuhul väär.
g) Tõene. Sest arvud avaldis; avaldis; ja avaldis on kõik naturaalarvud.
h) Väär. Sest avaldis ei ole täisarv.
i) Tõene. Sest arv avaldis annab tulemuseks lõpliku arvu avaldis ja see ei ole irratsionaalarv. Kuna lause väidab, et see hulk pole irratsionaalarvude hulga osahulk, siis see lause ongi tõene.
j) Väär. Sest ükski ratsionaalarv pole irratsionaalarv. Selleks, et väide tõene oleks, peaksid kõik ratsionaalarvud olema ka irratsionaalarvud.
k) Väär. Sest kõik naturaalarvud on ka täisarvud. Kuna lause väidab, et see pole nii, siis on see lause väär.
l) Tõene. Sest reaalarvude hulk on kõigi gümnaasiumis õpitud arvude hulk, järelikult on kõik teised arvuhulgad tema osahulgad.

Kodune ülesanne

Millised väited on tõesed, millised väärad?

avaldis
avaldis

Arvuhulkade märkimine arvkiirel

1) Arvude hulk arvust avaldis arvuni avaldis, kusjuures mõlemad arvud avaldis ja avaldis kuuluvad antud hulka:

avaldis
Arvuhulk nr. 1

Arvuhulk nr. 1

2) Arvude hulk arvust avaldis arvuni avaldis, kusjuures arv avaldis kuulub antud hulka ja arv avaldis ei kuulu antud hulka:

avaldis
Arvuhulk nr. 2

Arvuhulk nr. 2

3) Arvude hulk arvust avaldis arvuni avaldis, kusjuures arv avaldis ei kuulu antud hulka ja arv avaldis kuulub antud hulka:

avaldis
Arvuhulk nr. 3

Arvuhulk nr. 3

4) Arvude hulk arvust avaldis arvuni avaldis, kusjuures kumbki arvudest avaldis ja avaldis ei kuulu antud hulka:

avaldis
Arvuhulk nr. 4

Arvuhulk nr. 4

5) Arvude hulk arvust avaldis kuni lõpmatuseni, kusjuures arv avaldis kuulub antud hulka:

avaldis
Arvuhulk nr. 5

Arvuhulk nr. 5

6) Arvude hulk arvust avaldis kuni lõpmatuseni, kusjuures arv avaldis ei kuulu antud hulka:

avaldis
Arvuhulk nr. 6

Arvuhulk nr. 6

7) Arvude hulk miinus lõpmatusest arvuni avaldis, kusjuures arv avaldis kuulub antud hulka:

avaldis
Arvuhulk nr. 7

Arvuhulk nr. 7

8) Arvude hulk miinus lõpmatusest arvuni avaldis, kusjuures arv avaldis ei kuulu antud hulka:

avaldis
Arvuhulk nr. 8

Arvuhulk nr. 8

Märkus

1. Kui piirkonna otspunktis olev arv kuulub antud hulka, siis hulgana märkimisel tuleb kokkuleppeliselt märkida kandiline sulg sisse poole ja joonisel märgitakse otspunkt kandiliselt.
2. Kui piirkonna otspunktis olev arv ei kuulu antud hulka, siis hulgana märkimisel tuleb kokkuleppeliselt märkida kandiline sulg välja poole ja joonisel märgitakse otspunkt ümaralt.
3. Lõpmatuse või miinus lõpmatuse juures on alati kandiline sulg välja poole, sest lõpmatust ei saa kunagi kaasa arvata ning joonisel jäetakse ots lihtsalt lahtiseks (pluss lõpmatuse korral paremale poole ja miinus lõpmatuse korral vasakule poole lahtiseks).

Näide

Märgi arvkiirele järgmised arvuhulgad:

avaldis
avaldis
Lahendus

a) Kuna mõlemad kandilised sulud on sissepoole, siis mõlemad arvud avaldis ja avaldis kuuluvad antud hulka ja joonisel märgin otspunktid kandiliselt.

Arvuhulk nr. 9

Arvuhulk nr. 9

b) Kuna esimene kandiline sulg on sissepoole ja teine välja poole, siis arv avaldis kuulub antud hulka ja selle otspunkti märgin joonisel kandiliselt ning arv avaldis ei kuulu antud hulka ja joonisel märgin selle ümaralt.

Arvuhulk nr. 10

Arvuhulk nr. 10

c) Kuna esimene kandiline sulg on väljapoole ja teine sisse poole, siis arv avaldis ei kuulu antud hulka ja selle otspunkti märgin joonisel ümaralt ning arv avaldis kuulub antud hulka ja joonisel märgin selle kandiliselt.

Arvuhulk nr. 11

Arvuhulk nr. 11

d) Kuna mõlemad kandilised sulud on väljapoole, siis kumbki arvudest avaldis ja avaldis ei kuulu antud hulka ja joonisel märgin otspunktid ümaralt.

Arvuhulk nr. 12

Arvuhulk nr. 12

e) Kuna kandiline sulg on arvu avaldis juures sissepoole, siis arv avaldis kuulub antud hulka ja joonisel märgin selle otspunkti kandiliselt. Pluss lõpmatuse korral jätan otsa paremale poole lahtiseks.

Arvuhulk nr. 13

Arvuhulk nr. 13

f) Kuna kandiline sulg on arvu avaldis juures väljapoole, siis arv avaldis ei kuulu antud hulka ja joonisel märgin selle otspunkti ümaralt. Pluss lõpmatuse korral jätan otsa paremale poole lahtiseks.

Arvuhulk nr. 14

Arvuhulk nr. 14

g) Kuna kandiline sulg on arvu avaldis juures sissepoole, siis arv avaldis kuulub antud hulka ja joonisel märgin selle otspunkti kandiliselt. Miinus lõpmatuse korral jätan otsa vasakule poole lahtiseks.

Arvuhulk nr. 15

Arvuhulk nr. 15

h) Kuna kandiline sulg on arvu avaldis juures väljapoole, siis arv avaldis ei kuulu antud hulka ja joonisel märgin selle otspunkti ümaralt. Miinus lõpmatuse korral jätan otsa vasakule poole lahtiseks.

Arvuhulk nr. 16

Arvuhulk nr. 16

Ülesanne

Märgi arvkiirele järgmised hulgad.

avaldis
Lahendus

a) Kuna esimene kandiline sulg on sissepoole ja teine välja poole, siis arv avaldis kuulub antud hulka ja selle otspunkti märgin joonisel kandiliselt ning arv avaldis ei kuulu antud hulka ja joonisel märgin selle ümaralt.

Arvuhulk nr. 17

Arvuhulk nr. 17

b) Kuna mõlemad kandilised sulud on sissepoole, siis mõlemad arvud avaldis ja avaldis kuuluvad antud hulka ja joonisel märgin otspunktid kandiliselt.

Arvuhulk nr. 18

Arvuhulk nr. 18

c) Kuna kandiline sulg on arvu avaldis juures väljapoole, siis arv avaldis ei kuulu antud hulka ja joonisel märgin selle otspunkti ümaralt. Pluss lõpmatuse korral jätan otsa paremale poole lahtiseks.

Arvuhulk nr. 19

Arvuhulk nr. 19

d) Kuna kandiline sulg on arvu avaldis juures sissepoole, siis arv avaldis kuulub antud hulka ja joonisel märgin selle otspunkti kandiliselt. Miinus lõpmatuse korral jätan otsa vasakule poole lahtiseks.

Arvuhulk nr. 20

Arvuhulk nr. 20

Arvuhulkade ühis- ja ühendosa

Hulkade A ja B ühisosa
avaldis
Hulkade ühisosa

Hulkade ühisosa

Märkus

Hulkade ühisosasse kuuluvad kõik hulga avaldis elemendid, mis on ka hulga avaldis elemendid.

Hulkade A ja B ühendosa
avaldis
Hulkade ühendosa

Hulkade ühendosa

Märkus

Hulkade ühendosasse kuuluvad kõik hulga avaldis elemendid ja ka hulga avaldis elemendid, mis juba hulgas A pole esindatud.

Arvulkade ühisosa leidmine

1. Tuleb kanda mõlemad arvuhulgad arvteljele.
2. Tuleb viirutada piirkond nende hulkade ühiste punktidega.
3. Tuleb välja kirjutada vastus kandiliste sulgude abil:
a. kui otspunkt kuulub hulka, siis sissepoole suluga (joonisel on otspunkti juures kandiline ots);
b. kui otspunkt ei kuulu hulka, siis väljapoole suluga (joonisel on otspunkti juures ümar ots).

Märkus

Juhul kui arvteljele ei saa märgitud ühtegi ühist punkti, siis võib vastuseks lühidalt kirjutada tühja hulga:

avaldis
Näide

Leia hulk avaldis.

Lahendus
Arvuhulgad nr. 1

Arvuhulgad nr. 1

Vastus: avaldis

Arvulkade ühendosa leidmine

1. Tuleb kanda mõlemad arvuhulgad arvteljele.
2. Tuleb viirutada ära piirkond kõigi punktidega, mis said arvteljele kantud.
3. Tuleb välja kirjutada vastus kandiliste sulgude abil:
a. kui otspunkt kuulub hulka, siis sissepoole suluga (joonisel on otspunkti juures kandiline ots);
b. kui otspunkt ei kuulu hulka, siis väljapoole suluga (joonisel on otspunkti juures ümar ots).

Märkus

Juhul, kui ära saab märgitud kogu arvtelg, siis võib lühidalt vastuseks kirjutada kogu reaalarvude hulga:

avaldis
Näide

Leia hulk avaldis.

Lahendus
Arvuhulgad nr. 2

Arvuhulgad nr. 2

Vastus: avaldis

Ülesanne

Leia järgmised hulgad.

avaldis
avaldis
Lahendus

a) Leian hulkade avaldis ja avaldis ühisosa.

Arvuhulgad nr. 3

Arvuhulgad nr. 3

Vastus: avaldis

b) Leian hulkade avaldis ja avaldis ühisosa.

Arvuhulgad nr. 4

Arvuhulgad nr. 4

Vastus: avaldis

c) Leian hulkade avaldis ja avaldis ühisosa.

Arvuhulgad nr. 5

Arvuhulgad nr. 5

Vastus: avaldis

d) Leian hulkade avaldis ja avaldis ühisosa.

Arvuhulgad nr. 6

Arvuhulgad nr. 6

Vastus: avaldis

e) Leian hulkade avaldis ja avaldis ühendosa.

Arvuhulgad nr. 7

Arvuhulgad nr. 7

Vastus: avaldis

f) Leian hulkade avaldis ja avaldis ühendosa.

Arvuhulgad nr. 8

Arvuhulgad nr. 8

Vastus: avaldis

g) Leian hulkade avaldis ja avaldis ühendosa.

Arvuhulgad nr. 9

Arvuhulgad nr. 9

Vastus: avaldis

h) Leian hulkade avaldis ja avaldis ühendosa.

Arvuhulgad nr. 10

Arvuhulgad nr. 10

Vastus: avaldis

Kodune ülesanne

Leia järgmised hulgad.

avaldis
avaldis

Arvu standardkuju

Arvu standardkuju definitsioon
avaldis
Arvu standardkuju definitsiooni selgitus

Arv on esitatud standardkujul, kui arv on esitatud kahe arvu korrutisena järgmistel tingimustel:
1. Esimene tegur on mingi arv (definitsioonis tähistatud tähega avaldis), mis peab jääma arvude avaldis ja avaldis vahele (erandkorras võib see arv olla ka avaldis).
2. Teine tegur peab olema arvu avaldis mingi aste, kus arvu avaldis aste peab olema mingi täisarv.

Mõned näited standardkujulistest arvudest
avaldis

Antud arvu võib piltlikult ette kujutada järgmiselt: arv avaldis ja avaldis nulli (arvu avaldis on korrutatud avaldis korda arvuga avaldis, kusjuures iga arvuga avaldis korrutamine lisab arvule avaldis nulli juurde).

avaldis

Antud arvu võib piltlikult ette kujutada järgmiselt: arv avaldis ja avaldis nulli (arvu avaldis on korrutatud avaldis korda arvuga avaldis, kusjuures avaldis korda arvuga avaldis korrutamisel saame arvu avaldis ja iga järgnev, antud juhul avaldis korda, arvuga avaldis korrutamine lisab arvule avaldis nulli juurde).

avaldis

Antud arvu võib piltlikult ette kujutada järgmiselt: avaldis koma avaldis nulli ja arv avaldis (arvu avaldis on jagatud avaldis korda arvuga avaldis, kujuures avaldis kord arvuga avaldis jagamisel saame tulemuseks arvu avaldis ja iga järgnev, antud juhul avaldis korda, arvuga avaldis jagamine lisab avaldis koma ja arvu avaldis vahele avaldis nulli juurde).

Arvu standardkujule teisendamine

1. Korrutatakse või jagatakse arvu mingi arvu avaldis astmega nii, et see arv jääks avaldis ja avaldis vahele (erandkorras võib see arv olla ka avaldis).
2. Korrutamise korral peab arvu avaldis astet jagama täpselt sama arvu avaldis astmega ja jagamise korral korrutama täpselt sama arvu avaldis astmega (jagamisel avaldis aste väheneb ja korrutamisel avaldis aste suureneb). Kui arvul avaldis aste puudub (tarvis esitada standardsel kujul arv standardkujule), siis tuleb korrutamise korral see avaldis positiivne aste ja jagamise korral see avaldis negatiivne aste lihtsalt juurde kirjutada.

Näide

Teisenda arv avaldis standardkujule.

avaldis

1. Selleks, et arvust avaldis saaks arv, mis on arvude avaldis ja avaldis vahel peab seda arvu jagama avaldis korda arvuga avaldis ja tulemuseks on arv avaldis.
2. Selleks, et arv kokkuvõttes samaks jääks peab arvu avaldis korrutama avaldis korda arvuga avaldis, ehk korrutama arvuga avaldis.

Näide

Teisenda arv avaldis standardkujule.

avaldis

1. Selleks, et arvust avaldis saaks arv, mis on arvude avaldis ja avaldis vahel peab seda arvu korrutama avaldis korda arvuga avaldis ja tulemuseks on arv avaldis.
2. Selleks, et arv kokkuvõttes samaks jääks peab arvu avaldis jagama avaldis korda arvuga avaldis, ehk korrutama arvuga avaldis.

Näide

Teisenda arv avaldis standardkujule.

avaldis

1. Selleks, et arvust avaldis saaks arv, mis on arvude avaldis ja avaldis vahel peab seda arvu jagama avaldis korda arvuga avaldis ja tulemuseks on arv avaldis.
2. Selleks, et arv kokkuvõttes samaks jääks peab arvu avaldis astet korrutama avaldis korda arvuga avaldis, ehk suurendama avaldis astet avaldis võrra (avaldis astmest avaldis sai avaldis astmes avaldis).

Näide

Teisenda arv avaldis standardkujule.

avaldis

1. Selleks, et arvust avaldis saaks arv, mis on arvude avaldis ja avaldis vahel peab seda arvu korrutama avaldis korda arvuga avaldis ja tulemuseks on arv avaldis.
2. Selleks, et arv kokkuvõttes samaks jääks peab arvu avaldis astet jagama avaldis korda arvuga avaldis, ehk vähendama avaldis astet avaldis võrra (avaldis astmest avaldis sai avaldis astmes avaldis).

Ülesanne

Esita arvud normaalkujul.

avaldis
avaldis
Ülesanne

Esita arvud normaalkujul.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ülesanne

Esita arvud standardkujul.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kodune ülesanne

1. Esita arvud normaalkujul.

avaldis
avaldis

2. Esita arvud standardkujul.

avaldis
avaldis

Tehted standardkujuliste arvudega

1. Liitmine ja lahutamine

1. Tuleb teisendada mõlema arvu avaldis astmed võrdseks.
2. Liitmise korral liidan arvu avaldis astme ees olevad kordajad ja lahutamise korral lahutan arvu avaldis astme ees olevad kordajad.
3. Ühine võrdseks teisendatud arvu avaldis aste tuleb eelmises punktis kokku liidetud või lahutatud kordajale järgi kirjutada.
4. Kui lõppvastus pole standardkujul, siis tuleb see standardkujule teisendada:
a. Arvu avaldis astme ees olev kordaja peab olema arvude avaldis ja avaldis vahel (erandkorras võib see ka olla arv avaldis).
b. Arvu avaldis aste peab olema täisarv.

Näited
avaldis
avaldis
2. Korrutamine ja jagamine

1. Korrutamisel korrutan arvu avaldis astme ees olevad arvud ja jagamise korral jagan arvu avaldis astme ees olevad arvud.
2. Korrutamisel liidan arvu avaldis astmed ja jagamisel lahutan arvu avaldis astmed.
3. Kui lõppvastus pole standardkujul, siis tuleb see standardkujule teisendada:
a. Arvu avaldis astme ees olev kordaja peab olema arvude avaldis ja avaldis vahel (erandkorras võib see ka olla arv avaldis).
b. Arvu avaldis aste peab olema täisarv.

Näited
avaldis
avaldis
Ülesanne

Soorita tehted standardkujuliste arvudega.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kodune ülesanne

Soorita tehted standardkujuliste arvudega.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Arvu absoluutväärtus

Arvu absoluutväärtuse definitsioon
avaldis
Arvu absoluutväärtuse definitsiooni selgitus

1. Arvu absoluutväärtus positiivsest arvust jätab arvu samaks.
2. Arvu absoluutväärtus negatiivsest arvust on tema vastandarv (kui negatiivsele arvule panna ette miinusmärk, siis miinus miinus annab kokku plussi).

Märkus

Arvu absoluutväärtus muudab vajadusel arvu positiivseks (positiivne arv jääbki positiivseks ja negatiivne arv muutub positiivseks).

Näited
avaldis
avaldis
Ülesanne

Arvuta avaldiste väärtused.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kodune ülesanne

Arvuta avaldiste väärtused.

avaldis
avaldis

Kordamine

1. Millised väited on tõesed, millised väärad?

avaldis
avaldis

2. Leia järgmised hulgad.

avaldis

3. Soorita tehted standardkujuliste arvudega.

avaldis
avaldis

4. Arvuta avaldise väärtus.

avaldis