Sirge võrrandid

1. Sirge võrrand kahe punkti abil

Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on kujul:

avaldis
Näide

Leia punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus; Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on avaldis.

2. Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis
Näide

Leia sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on tõusuga avaldis.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on tõusuga avaldis, on avaldis.

3. Sirge võrrand ühe punkti ja sirge sihivektori abil

Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on vektori avaldis sihiline:

avaldis
Näide

Leia sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on vektori avaldis sihiline.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on vektori avaldis sihiline, on avaldis.

Ülesanne

Leia kahte punkti läbiva sirge võrrand.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on avaldis.

Ülesanne

Leia sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on tõusuga avaldis.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on tõusuga avaldis, on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on tõusuga avaldis, on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on tõusuga avaldis, on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on tõusuga avaldis, on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on tõusuga avaldis, on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on tõusuga avaldis, on avaldis.

Ülesanne

Leia sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on vektori avaldis sihiline.

avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on vektori avaldis sihiline, on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on vektori avaldis sihiline, on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on vektori avaldis sihiline, on avaldis.

Kodune ülesanne

Leia sirge võrrand mis läbib:
1) punkte avaldis ja avaldis;
2) punkti avaldis ja on tõusuga avaldis;
3) punkti avaldis ja on vektori avaldis sihiline.

Sirge tõus

1. Sirge tõus kahe punkti abil

Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge tõus on:

avaldis
Näide

Leia punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge tõus.

Lahendus
avaldis

Vastus: Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge tõus on avaldis.

2. Sirge tõusu leidmine, kui on teada sirge võrrand

Kui sirge võrrand on kujul avaldis, siis sirge tõus on lineaarliikme avaldis kordaja:

avaldis
Näide

Leia sirge avaldis tõus.

Lahendus

Teisendan sirge võrrandi kujule avaldis

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge avaldis tõus on avaldis.

3. Paralleelsete sirgete omadus

Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed:

avaldis
Näide

Leia sirge tõus, kui on teada, et temaga parallelse sirge tõus on avaldis.

Lahendus

Antud sirgega parallelse sirge tõus on avaldis:

avaldis

Järelikult antud sirge tõus on:

avaldis

Vastus: Kui antud sirgega parallelse sirge tõus on avaldis, siis antud sirge tõus on ka avaldis.

4. Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete tõusude vahel kehtib seos:

avaldis
Näide

Leia sirge tõus, kui on teada, et temaga ristuva sirge tõus on avaldis.

Lahendus

Antud sirgega ristuva sirge tõus on avaldis:

avaldis

Järelikult antud sirge tõus on:

avaldis

Vastus: Kui antud sirgega ristuva sirge tõus on avaldis, siis antud sirge tõus on ka avaldis.

Ülesanne

Leia kahte punkti läbiva sirge tõus.

avaldis
Lahendus
avaldis

Vastus: Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge tõus on avaldis.

avaldis

Vastus: Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge tõus on avaldis.

avaldis

Vastus: Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge tõus on avaldis.

avaldis

Vastus: Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge tõus on avaldis.

Ülesanne

Leia antud sirge tõus.

avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge avaldis tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge avaldis tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge avaldis tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge avaldis tõus on avaldis.

avaldis

Vastus: Sirge avaldis tõus on avaldis.

Ülesanne

avaldis, avaldis ja avaldis. Leia:
1) sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis;
2)sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis;
3) sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis;
4) sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis.

Lahendus

1) Leian sirge avaldis tõusu

avaldis

Leian sirgega avaldis paralleelse sirge tõusu

avaldis

Leian sirge võrrandi, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis on avaldis.

2) Leian sirge avaldis tõusu

avaldis

Leian sirgega avaldis ristuva sirge tõusu

avaldis

Leian sirge võrrandi, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis on avaldis.

3) Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Leian sirgega avaldis paralleelse sirge tõusu

avaldis

Leian sirge võrrandi, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis on avaldis.

4) Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Leian sirgega avaldis ristuva sirge tõusu

avaldis

Leian sirge võrrandi, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis on avaldis.

Ülesanne

avaldis, avaldis ja avaldis. Leia:
1) sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis;
2)sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis;
3) sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis;
4) sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis.

Lahendus

1) Leian sirge avaldis tõusu

avaldis

Leian sirgega avaldis paralleelse sirge tõusu

avaldis

Leian sirge võrrandi, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis on avaldis.

2) Leian sirge avaldis tõusu

avaldis

Leian sirgega avaldis ristuva sirge tõusu

avaldis

Leian sirge võrrandi, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis on avaldis.

3) Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Leian sirgega avaldis paralleelse sirge tõusu

avaldis

Leian sirge võrrandi, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis on avaldis.

4) Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Leian sirgega avaldis ristuva sirge tõusu

avaldis

Leian sirge võrrandi, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis on avaldis.

Kodune ülesanne

avaldis, avaldis ja avaldis. Leia:
1) sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis;
2)sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis;
3) sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis;
4) sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis.

Ringjoone võrrand

Kui ringjoone keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis, siis ringjoone võrrand avaldub kujul:

avaldis
Näide

Leia ringjoone võrrand, mille keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Ringjoone võrrand, mille keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis on avaldis.

Märkus

Antud näites kasutati summa ja vahe ruudu valemit:

avaldis
Ülesanne

Leia ringjoone võrrand, mille keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Ringjoone võrrand, mille keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Ringjoone võrrand, mille keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Ringjoone võrrand, mille keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Ringjoone võrrand, mille keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Ringjoone võrrand, mille keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Ringjoone võrrand, mille keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Ringjoone võrrand, mille keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Ringjoone võrrand, mille keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis on avaldis.

Lõigu keskpunkt

Lõigu keskpunkti leidmise valem

Punktidega avaldis ja avaldis määratud lõigu avaldis keskpunkt avaldis arvutatakse välja järgmise valemi abil:

avaldis
Näide

Leia punktidega avaldis ja avaldis määratud lõigu avaldis keskpunkt avaldis.

Lahendus
avaldis

Vastus: Lõigu avaldis keskpunkt on avaldis.

Näide

Leia punktidega avaldis ja avaldis määratud lõigu keskpunkt avaldis.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis

Vastus: Lõigu avaldis keskpunkt on avaldis.

avaldis

Vastus: Lõigu avaldis keskpunkt on avaldis.

avaldis

Vastus: Lõigu avaldis keskpunkt on avaldis.

avaldis

Vastus: Lõigu avaldis keskpunkt on avaldis.

avaldis

Vastus: Lõigu avaldis keskpunkt on avaldis.

avaldis

Vastus: Lõigu avaldis keskpunkt on avaldis.

avaldis

Vastus: Lõigu avaldis keskpunkt on avaldis.

avaldis

Vastus: Lõigu avaldis keskpunkt on avaldis.

Ülesanne

Punktid avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis moodustavad ruudu. Leia selle ruudu diagonaalide lõikepunkt.

Lahendus

Leian diagonaali avaldis keskpunkti (sama tulemuse saab, kui leida diagonaali avaldis keskpunkt)

avaldis
avaldis

Vastus: Ruudu avaldis diagonaalide lõikepunkt on avaldis.

Ülesanne

Punktid avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis moodustavad ristküliku. Leia selle ristküliku diagonaalide lõikepunkt.

Lahendus

Leian diagonaali avaldis keskpunkti (sama tulemuse saab, kui leida diagonaali avaldis keskpunkti)

avaldis
avaldis

Vastus: Ristküliku avaldis diagonaalide lõikepunkt on avaldis.

Ülesanne

Punktid avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis moodustavad ruudu. Leia selle ruudu siseringjoone võrrand.

Lahendus

Leian ruudu diagonaalide keskpunkti (avaldis keskpunkti), mis ühtib ka selle ruudu siseringjoone keskpunktiga

avaldis
avaldis

Leian selle ruudu siseringjoone raadiuse vektori avaldis koordinaadid

avaldis

Leian selle ruudu siseringjoone raadise vektori avaldis pikkuse

avaldis

Leian selle ruudu siseringjoone võrrandi

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Ruudu avaldis siseringjoone võrrand on avaldis.

Märkus

Eelmises ülesandes avati sulud summa ja vahe ruudu valemi abil:

avaldis
avaldis
avaldis
Märkus

Eelmises ülesandes kasutati ruutjuur arvu ruudust valemit.

avaldis
avaldis
Ülesanne

Punktid avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis moodustavad ristküliku. Leia selle ristküliku ümberringjoone võrrand.

Lahendus

Leian ristküliku diagonaalide keskpunkti (avaldis keskpunkti), mis ühtib ka selle ristküliku ümberringjoone keskpunktiga

avaldis
avaldis

Leian selle ristküliku ümberringjoone raadiuse vektori avaldis koordinaadid

avaldis

Leian selle ristküliku ümberringjoone raadise vektori avaldis pikkuse

avaldis

Leian selle ristküliku ümberringjoone võrrandi

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Ristküliku avaldis ümberringjoone võrrand on avaldis.

Kodune ülesanne

1. Leia lõigu avaldis keskpunkt.

avaldis

2. Punktid avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis moodustavad ruudu. Leia selle ruudu siseringjoone võrrand.

Kordamine

1. Leia sirge võrrand, mis läbib:
a) punkte avaldis ja avaldis;
b) punkti avaldis ja on tõusuga avaldis;
c) punkti avaldis ja on vektori avaldis sihiline.

2. avaldis, avaldis ja avaldis. Leia:
a) sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis;
b) sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis;
c) sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis;
b) sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis.

3. Leia ringjoone võrrand, mille keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis.

4. Punktid avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis moodustavad ristküliku. Leia selle ristküliku ümberringjoone võrrand.