Vektori koordinaadid

Vektori koordinaadite leidmine

Punktid avaldis ja avaldis määravad vektori:

avaldis
Näide

Leia punktide avaldis ja avaldis poolt määratud vektori koordinaadid.

Lahendus
avaldis
Geomeetriline tõlgendus
Vektori koordinaatide geomeetriline tõlgendus

Vektori koordinaatide geomeetriline tõlgendus

Geomeetrilise tõlgenduse selgitus

Vektor on suunatud sirglõik, mis näitab mitu ühikut liigutakse avaldis telje suunas ja mitu ühikut liigutakse avaldis telje suunas (need kaks numbrit ongi vektori avaldis koordinaat ja vektori avaldis koordinaat).

1) Kuna punkti avaldis koordinaat on avaldis ja punkti avaldis koordinaat on avaldis, siis selleks, et jõuda punktist avaldis punkti avaldis liigutakse avaldis ühikut avaldis telje vastassuunas. Näites tehti selleks arvutus:

avaldis

2) Kuna punkti avaldis koordinaat on avaldis ja punkti avaldis koordinaat on avaldis, siis selleks, et jõuda punktist avaldis punkti avaldis liigutakse avaldis ühikut avaldis telje suunas. Näites tehti selleks arvutus:

avaldis
Ülesanne

Leia kahe otspunkti abil esitatud vektori koordinaadid.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ülesanne

Leia lõpp-punkt, kui on teada lõigu alguspunkt ja vektor.

avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
Märkus

Vektori avaldis koordinaat näitab, mitu ühikut tuleb liikuda avaldis telje suunas ja vektori avaldis koordinaat näitab, mitu ühikut tuleb liikuda avaldis telje suunas selleks, et jõuda alguspunktist lõpp-punkti. Järelikult on vaja lõpp-punkti leidmiseks alguspunkti koordinaatidele liita juurde vastavad vektori koordinaadid.

Ülesanne

Leia alguspunkt, kui on teada lõigu lõpp-punkt ja vektor.

avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
Märkus

Vektori avaldis koordinaat näitab, mitu ühikut tuleb liikuda avaldis telje suunas ja vektori avaldis koordinaat näitab, mitu ühikut tuleb liikuda avaldis telje suunas selleks, et jõuda alguspunktist lõpp-punkti. Järelikult on vaja alguspunkti leidmiseks lõpp-punkti koordinaatidest lahutada vastavad vektori koordinaadid.

Ülesanne

Leia joonisel olevate vektorite koordinaadid.

Vektorid tasandil

Vektorid tasandil

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Märkus

Jooniselt vektori koordinaatide leidmiseks on vaja lugeda üle vastava telje suunas liigutud ühikute arv (kui toimub vastavale teljele vastassuunas liikumine, siis on vastav koordinaat negatiivne).

Vektori pikkus

Vektori pikkuse valem

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis
Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

Lahendus
avaldis
Näide

Leia punkte avaldis ja avaldis ühendava lõigu pikkus.

Lahendus

Leian vektori avaldis koordinaadid

avaldis

Leian vektori avaldis pikkuse

avaldis
Ülesanne

avaldis, avaldis ja avaldis. Leia kolmnurga avaldis ümbermõõt.

Lahendus

Leian kolmnurga avaldis küljevektorite koordinaadid

avaldis
avaldis
avaldis

Leian kolmnurga avaldis küljevektorite pikkused

avaldis
avaldis
avaldis

Leian kolmnurga avaldis ümbermõõdu

avaldis

Vastus: Kolmnurga avaldis ümbermõõt on avaldis ühikut.

Ülesanne

avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis. Leia nelinurga avaldis ümbermõõt.

Lahendus

Leian nelinurga avaldis küljevektorite koordinaadid

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian nelinurga avaldis küljevektorite pikkused

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian nelinurga avaldis ümbermõdu

avaldis

Vastus: Nelinurga avaldis ümbermõõt on avaldis ühikut.

Kodune ülesanne

avaldis, avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis. Leia viisnurga avaldis ümbermõõt.

Vektorite vaheline teravnurk

Teravnurga leidmise valem

Vektorite avaldis ja avaldis vaheline teravnurk arvutatakse valemiga:

avaldis
Näide

Leia vektorite avaldis ja avaldis vaheline teravnurk.

Lahendus
avaldis
avaldis

Vastus: Vektorite avaldis ja avaldis vaheline teravnurk on avaldis.

Märkus

Arvu absoluutväärtuse leidmiseks muudetakse arv positiivseks (kui arv on positiivne, siis ta jääbki positiivseks, kui arv on negatiivne, siis muudetakse arv positiivseks).

Absoluutväärtuse leidmise näited
avaldis
Märkus

Kui avaldis väärtus avaldis (antud näite väärtus) on teada, siis avaldis leidmiseks on vaja kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
Ülesanne

avaldis, avaldis ja avaldis. Tee joonis ja leia kolmnurga avaldis nurgad.

Lahendus
Kolmnurk nr. 40

Kolmnurk nr. 40

Leian kolmnurga avaldis küljevektorite koordinaadid

avaldis
avaldis
avaldis

Leian vektorite avaldis ja avaldis vahelise teravnurga avaldis

avaldis
avaldis

Leian vektorite avaldis ja avaldis vahelise teravnurga avaldis

avaldis
avaldis

Leian nurga avaldis

avaldis

Vastus: Kolmnurga avaldis nurgad on avaldis, avaldis ja avaldis.

Märkus

Kuna jooniselt on näha, et nurk avaldis on nürinurk, siis antud valem seda nurka õigesti ei leia. Sel põhjusel leidsin nurga avaldis lahutades avaldis (kolmnurga sisenurkade summast) maha.

Ülesanne

avaldis, avaldis ja avaldis. Tee joonis ja leia kolmnurga avaldis nurgad.

Lahendus
Kolmnurk nr. 41

Kolmnurk nr. 41

Leian kolmnurga avaldis küljevektorite koordinaadid

avaldis
avaldis
avaldis

Leian vektorite avaldis ja avaldis vahelise teravnurga avaldis

avaldis
avaldis

Leian vektorite avaldis ja avaldis vahelise teravnurga avaldis

avaldis
avaldis

Leian nurga avaldis

avaldis

Vastus: Kolmnurga avaldis nurgad on avaldis, avaldis ja avaldis.

Kodune ülesanne

avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis. Tee joonis ja leia nelinurga avaldis nurgad.

Vektorite kollineaarsus ja ristseis

1. Vektorite kollineaarsus

Vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed, ehk samasihilised, kui on täidetud tingimus:

avaldis
Näide

Kas vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed?

Lahendus
avaldis

Vastus: Vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed.

Näide

Kas vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed?

Lahendus
avaldis

Vastus: Vektorid avaldis ja avaldis ei ole kollineaarsed.

2. Vektorite ristseis

Vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti, kui on täidetud tingimus:

avaldis
Näide

Kas vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti?

avaldis

Vastus: Vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti.

Näide

Kas vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti?

avaldis

Vastus: Vektorid avaldis ja avaldis ei ole omavahel risti.

Ülesanne

Millise tundmatu avaldis väärtuse korral on vektorid avaldis ja avaldis kollineaarsed?

Lahendus

Vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed, kui on täidetud tingimus:

avaldis

Vastus: Vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed, kui tundmatu avaldis väärtus on avaldis.

Ülesanne

Millise tundmatu avaldis väärtuse korral on vektorid avaldis ja avaldis omavahel risti?

Lahendus

Vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti, kui on täidetud tingimus:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti, kui tundmatu avaldis väärtus on avaldis.

Ülesanne

Millise tundmatu avaldis väärtuse korral on vektorid avaldis ja avaldis kollineaarsed?

Lahendus

Vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed, kui on täidetud tingimus:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed, kui tundmatu avaldis väärtus on avaldis või avaldis.

Ülesanne

Näita, et punktide avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib täisnurkne kolmnurk.

Lahendus

Selleks, et veenduda, et kolmnurk on täisnurkne, on vaja näidata, et kaks küljevektorit on omavahel risti.

Leian kolmnurga külgede avaldis, avaldis ja avaldis vektorid

avaldis
avaldis
avaldis

Kontrollin, kas vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti:

avaldis

Vastus: Kolmnurk avaldis on täisnurkne kolmnurk.

Ülesanne

Näita, et punktide avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib ristkülik.

Lahendus

Selleks, et veenduda, et nelinurk avaldis on ristkülik, tuleb näidata järgmise kolme omaduse paikapidavust:
1. Ristküliku vastasküljed on paralleelsed (nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on kollineaarsed).
2. Ristküliku vastasküljed on võrdse pikkusega (nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on võrdse pikkusega).
3. Ristküliku lähisküljed on omavahel risti (kui eelpool olevad omadused kehtivad, siis piisab, kui näidata, et üks paar nelinurga avaldis lähiskülgedest on omavahel risti).

Leian nelinurga avaldis küljevektorid

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

1. Näitan, et nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on kollineaarsed:

avaldis
avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis vastasküljed paralleelsed.

2. Näitan, et nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on võrdse pikkusega:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult kehtivad seosed:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis vastasküljed võrdse pikkusega.

3. Näitan, et nelinurga avaldis lähiskülgede vektorid on risti (kuna eelpool olevte omaduste paikapidavus on tõestatud, siis piisab vaid ühe paari lähiskülgede ristumise näitamisest):

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis lähisküljed omavahel risti.

Vastus: Nelinurk avaldis on ristkülik.

Ülesanne

Näita, et punktide avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib rööpkülik.

Lahendus

Selleks, et veenduda, et nelinurk avaldis on rööpkülik, tuleb näidata järgmise kolme omaduse paikapidavust:
1. Rööpküliku vastasküljed on paralleelsed (nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on kollineaarsed).
2. Rööpküliku vastasküljed on võrdse pikkusega (nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on võrdse pikkusega).
3. Rööpküliku lähisküljed ei ole omavahel risti (kui eelpool olevad omadused kehtivad, siis piisab, kui näidata, et üks paar nelinurga avaldis lähiskülgedest ei ole omavahel risti).

Leian nelinurga avaldis küljevektorid

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

1. Näitan, et nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on kollineaarsed:

avaldis
avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis vastasküljed paralleelsed.

2. Näitan, et nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on võrdse pikkusega:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult kehtivad seosed:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis vastasküljed võrdse pikkusega.

3. Näitan, et nelinurga avaldis lähiskülgede vektorid ei ole risti (kuna eelpool olevate omaduste paikapidavus on tõestatud, siis piisab vaid ühe paari lähiskülgede mitteristumise näitamisest):

avaldis

Järelikult nelinurga avaldis lähisküljed ei ole omavahel risti.

Vastus: Nelinurk avaldis on rööpkülik.

Ülesanne

Näita, et punktide avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib trapets.

Lahendus

Selleks, et veenduda, et nelinurk avaldis on trapets, tuleb näidata järgmise kahe omaduse paikapidavust:
1. Trapetsi üks paar vastaskülgi on paralleelsed (nelinurga avaldis ühe paari vastaskülgede vektorid on kollineaarsed).
2. Trapetsi üks paar vastaskülgi on mitteparalleelsed (nelinurga avaldis ühe paari vastaskülgede vektorid on mittekollineaarsed).

Leian nelinurga avaldis küljevektorid

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

1. Näitan, et nelinurgas avaldis on ühe paari vastaskülgede vektorid kollineaarsed:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis üks paar vastaskülgi paralleelsed.

2. Näitan, et nelinurgas avaldis on ühe paari vastaskülgede vektorid mittekollineaarsed:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis üks paar vastaskülgi mitteparalleelsed.

Vastus: Nelinurk avaldis on trapets.

Ülesanne

Näita, et punktide avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib täisnurkne trapets.

Lahendus

Selleks, et veenduda, et nelinurk avaldis on täisnurkne trapets, tuleb näidata järgmise kolme omaduse paikapidavust:
1. Trapetsi üks paar vastaskülgi on paralleelsed (nelinurga avaldis ühe paari vastaskülgede vektorid on kollineaarsed).
2. Trapetsi üks paar vastaskülgi on mitteparalleelsed (nelinurga avaldis ühe paari vastaskülgede vektorid on mittekollineaarsed).
3. Trapetsi alus on tema ühe haaraga risti (nelinurga avaldis aluse vektor on risti ühe haara vektoriga).

Leian nelinurga avaldis küljevektorid

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

1. Näitan, et nelinurgas avaldis on ühe paari vastaskülgede vektorid kollineaarsed:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis üks paar vastaskülgi paralleelsed.

2. Näitan, et nelinurgas avaldis on ühe paari vastaskülgede vektorid mittekollineaarsed:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis üks paar vastaskülgi mitteparalleelsed.

3. Näitan, et nelinurga avaldis üks haar on alusega risti:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis üks haar alusega risti.

Vastus: Nelinurk avaldis on täisnurkne trapets.

Kodune ülesanne

Näita, et punktide avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib võrdhaarne kolmnurk.

Kodune ülesanne

Näita, et punktide avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib võrdhaarne trapets.

Kordamine

1. avaldis, avaldis ja avaldis. Leia kolmnurga avaldis ümbermõõt ja nurgad.

2.a. Millise tundmatu avaldis väärtuse korral on vektorid avaldis ja avaldis kollineaarsed?

2.b. Millise tundmatu avaldis väärtuse korral on vektorid avaldis ja avaldis omavahel risti?

3. Näita, et punktide avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib täisnurkne trapets.