Funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkond

Funktsiooni avaldis nullkohtade leidmise tingimus
avaldis
Näide

Leia funktsiooni avaldis nullkohad.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis nullkohad.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

Funktsiooni avaldis positiivsuspiirkonna leidmise tingimus
avaldis
Näide

Leia funktsiooni avaldis positiivsuspiirkond.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis positiivsuspiirkond.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

Märkus

Võrratuse poolte läbi jagamisel negatiivse arvuga muutub võratuse märk.

Näide

Leia funktsiooni avaldis positiivsuspiirkond.

Lahendus
avaldis

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 60

Joonis 60

Vastus: avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis positiivsuspiirkond.

Lahendus
avaldis

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 61

Joonis 61

Vastus: avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis positiivsuspiirkond.

Lahendus
avaldis

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 62

Joonis 62

Vastus: avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis positiivsuspiirkond.

Lahendus
avaldis

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 63

Joonis 63

Vastus: avaldis

Funktsiooni avaldis negatiivsuspiirkonna leidmise tingimus
avaldis
Näide

Leia funktsiooni avaldis negatiivsuspiirkond.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis negatiivsuspiirkond.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis negatiivsuspiirkond.

Lahendus
avaldis

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 64

Joonis 64

Vastus: avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis negatiivsuspiirkond.

Lahendus
avaldis

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 65

Joonis 65

Vastus: avaldis

Ülesanne

Leia funktsioonide nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkond.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis, positiivsuspiirkond on avaldis ja negatiivsuspiirkond on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis, positiivsuspiirkond on avaldis ja negatiivsuspiirkond on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis, positiivsuspiirkond on avaldis ja negatiivsuspiirkond on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis, positiivsuspiirkond on avaldis ja negatiivsuspiirkond on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis, positiivsuspiirkond on avaldis ja negatiivsuspiirkond on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 66

Joonis 66

avaldis
avaldis
Joonis 67

Joonis 67

avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis, positiivsuspiirkond on avaldis ja negatiivsuspiirkond on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 68

Joonis 68

avaldis
avaldis
Joonis 69

Joonis 69

avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis, positiivsuspiirkond on avaldis ja negatiivsuspiirkond on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 70

Joonis 70

avaldis
avaldis
Joonis 71

Joonis 71

avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis, positiivsuspiirkond on avaldis ja negatiivsuspiirkond on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 72

Joonis 72

avaldis
avaldis
Joonis 73

Joonis 73

avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis, positiivsuspiirkond on avaldis ja negatiivsuspiirkond on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 74

Joonis 74

avaldis
avaldis
Joonis 75

Joonis 75

avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis, positiivsuspiirkond on avaldis ja negatiivsuspiirkond on avaldis.

Kodune ülesanne

Leia funktsioonide nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkond.

avaldis

Funktsiooni ekstreemumpunktide leidmine

1. Funktsiooni avaldis ekstreemumkohtade (ekstreemumpunktide avaldis koordinaatide) leidmise tingimus
avaldis
2. Funktsiooni avaldis ekstreemumite (ekstreemumpunktide avaldis koordinaatide) leidmine

Ekstreemumite (ekstreemumpunktide avaldis koordinaatide) leidmiseks asendatakse eelmises punktis leitud ekstreemumkohad algsesse funktsiooni avaldis.

3. Ekstreemumpunktide liigi määramine
avaldis
avaldis
4. Ekstreemumpunktide välja kirjutamise põhimõte

1. Ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid on esimesel kohal.
2. Ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid on teisel kohal.
3. Iga ekstreemumpunkti juurde on märgitud ka tema liik (min või max).

Näide

Leia funktsiooni avaldis ekstreemumpunkt.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis ekstreemumpunkt.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis ekstreemumpunktid.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis ekstreemumpunktid.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis ekstreemumpunktid.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis ekstreemumpunktid.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

Ülesanne

Leia funktsioonide ekstreemumpunkt.

avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

Ülesanne

Leia funktsioonide ekstreemumpunktid.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

Kodune ülesanne

Leia funktsioonide ekstreemumpunktid.

avaldis

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkond

1. Funktsiooni avaldis kasvamispiirkonna leidmise tingimus
avaldis
2. Funktsiooni avaldis kahanemispiirkonna leidmise tingimus
avaldis
Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamis- ja kahanemispiirkond.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamis- ja kahanemispiirkond.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamis- ja kahanemispiirkond.

Lahendus
avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian funktsiooni kasvamispiirkonna

avaldis
Joonis 76

Joonis 76

avaldis

Leian funktsiooni kahanemispiirkonna

avaldis
Joonis 77

Joonis 77

avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamis- ja kahanemispiirkond.

Lahendus
avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian funktsiooni kasvamispiirkonna

avaldis
Joonis 78

Joonis 78

avaldis

Leian funktsiooni kahanemispiirkonna

avaldis
Joonis 79

Joonis 79

avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamis- ja kahanemispiirkond.

Lahendus
avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian funktsiooni kasvamispiirkonna

avaldis
Joonis 80

Joonis 80

avaldis

Leian funktsiooni kahanemispiirkonna

avaldis
Joonis 81

Joonis 81

avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamis- ja kahanemispiirkond.

Lahendus
avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian funktsiooni kasvamispiirkonna

avaldis
Joonis 82

Joonis 82

avaldis

Leian funktsiooni kahanemispiirkonna

avaldis
Joonis 83

Joonis 83

avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

Ülesanne

Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkond.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian funktsiooni kasvamispiirkonna

avaldis
Joonis 84

Joonis 84

avaldis

Leian funktsiooni kahanemispiirkonna

avaldis
Joonis 85

Joonis 85

avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian funktsiooni kasvamispiirkonna

avaldis
Joonis 86

Joonis 86

avaldis

Leian funktsiooni kahanemispiirkonna

avaldis
Joonis 87

Joonis 87

avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian funktsiooni kasvamispiirkonna

avaldis
Joonis 88

Joonis 88

avaldis

Leian funktsiooni kahanemispiirkonna

avaldis
Joonis 89

Joonis 89

avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian funktsiooni kasvamispiirkonna

avaldis
Joonis 90

Joonis 90

avaldis

Leian funktsiooni kahanemispiirkonna

avaldis
Joonis 91

Joonis 91

avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian funktsiooni kasvamispiirkonna

avaldis
Joonis 92

Joonis 92

avaldis

Leian funktsiooni kahanemispiirkonna

avaldis
Joonis 93

Joonis 93

avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian funktsiooni kasvamispiirkonna

avaldis
Joonis 94

Joonis 94

avaldis

Leian funktsiooni kahanemispiirkonna

avaldis
Joonis 95

Joonis 95

avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian funktsiooni kasvamispiirkonna

avaldis
Joonis 96

Joonis 96

avaldis

Leian funktsiooni kahanemispiirkonna

avaldis
Joonis 97

Joonis 97

avaldis

Vastus: avaldis, avaldis

Kodune ülesanne

Leia funktsioonide kasvamis- ja kahanemispiirkond.

avaldis

Kuupfunktsiooni skitseerimine

Kuupfunktsiooni skitseerimiseks vajalikud sammud

1. Leian funktsiooni ekstreemumkohad.
2. Koostan neljakohalise tabeli:
a) tundmatu avaldis reale asetan eelmises punktis leitud ekstreemumkohad kasvavas järjekorras.
b) asendades avaldis real olevad arvud algsesse funktsiooni, saan arvutada välja tundmatu avaldis väärtused.
3. Skitseerin läbi nende avaldis punkti kuupfunktsiooni graafiku arvestades, et keskmised punktid on antud funktsiooni ekstreemumpunktid.

Näide

Skitseeri avaldis graafik.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kuupfunktsioon 10

Kuupfunktsioon 10

Näide

Skitseeri avaldis graafik.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kuupfunktsioon 11

Kuupfunktsioon 11

Ülesanne

Skitseeri antud kuupfunktsioonide graafikud.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kuupfunktsioon 12

Kuupfunktsioon 12

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kuupfunktsioon 13

Kuupfunktsioon 13

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kuupfunktsioon 14

Kuupfunktsioon 14

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kuupfunktsioon 15

Kuupfunktsioon 15

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kuupfunktsioon 16

Kuupfunktsioon 16

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kuupfunktsioon 17

Kuupfunktsioon 17

Kodune ülesanne

Skitseeri graafikud.

avaldis

Kordamine

1. Leia funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkond.

avaldis

2. Leia funktsiooni ekstreemumpunktid, kasvamis- ja kahanemispiirkond.

avaldis

3. Skitseeri kuupfunktsiooni graafikud.

avaldis