Aritmeetilise jada üldliige

Aritmeetilise jada definitsioon

Arvujada, milles iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe on konstantne nimetatakse aritmeetiliseks jadaks.

Näide

Jada avaldis on aritmeetiline jada. Iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe on avaldis.

Näide

Jada avaldis on aritmeetiline jada. Iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe on avaldis.

Näide

Jada avaldis on aritmeetiline jada. Iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe on avaldis.

Aritmeetilise jada üldliikme valem
avaldis

avaldis on jada liige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on jada liikme järjekorra number
avaldis on aritmeetilise jada vahe

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis. liige.

Lahendus
avaldis
avaldis

Vastus: Antud aritmeetillise jada avaldis. liige on avaldis.

Ülesanne

Kas antud jada on aritmeetiline jada? Kui jah, siis leia jada vahe avaldis.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis

Vastus: Antud jada on aritmeetiline jada. Antud jada vahe avaldis on avaldis.

avaldis

Vastus: Antud jada ei ole aritmeetiline jada.

avaldis

Vastus: Antud jada on aritmeetiline jada. Antud jada vahe avaldis on avaldis.

avaldis

Vastus: Antud jada on aritmeetiline jada. Antud jada vahe avaldis on avaldis.

avaldis

Vastus: Antud jada ei ole aritmeetiline jada.

avaldis

Vastus: Antud jada on aritmeetiline jada. Antud jada vahe avaldis on avaldis.

Ülesanne

Leia antud aritmeetilise jada n-s liige.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis. liige on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis. liige on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis. liige on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis. liige on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis. liige on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis. liige on avaldis.

Ülesanne

Aritmeetilise jada avaldis. liige on avaldis ja avaldis. liige on avaldis. Leia selle jada avaldis. liige.

Lahendus

Aritmeetilise jada vahe avaldis mahub avaldis. liikme ja avaldis. liikme vahele avaldis korda ja arvuliselt on see vahe avaldis:

avaldis
avaldis

Leian jada esimese liikme (lahutan avaldis. liikmest avaldis korda jada vahe avaldis maha)

avaldis

Leian selle jada avaldis. liikme

avaldis

Vastus: Antud jada avaldis. liige on avaldis.

Ülesanne

Paigutage arvude avaldis ja avaldis vahele viis arvu nii, et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise jada.

Lahendus

Antud jada esimene ja seitsmes liige on:

avaldis

Esimese ja seitsmenda liikme vahele jääb jada vahet avaldis korda ja arvuliselt on see vahe avaldis:

avaldis
avaldis

Leian jada teise, kolmanda, neljanda, viienda ja kuuenda liikme

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Need arvud on avaldis; avaldis; avaldis; avaldis ja avaldis.

Ülesanne

Mitmes aritmeetilise jada avaldis liige on avaldis?

Lahendus

Antud jada esimene liige, jada vahe ja n-s liige on:

avaldis

Leian aritmeetilise jada üldliikme valemi põhjal tundmatu avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis. liige on avaldis.

Ülesanne

Aritmeetilise jada esimese ja neljanda liikme summa on avaldis ning teise ja viienda liikme summa on avaldis. Leia selle jada avaldis. liige.

Lahendus

Aritmeetilise jada esimene, teine, neljas ja viies liige on:

avaldis

Kuna jada esimese ja neljanda liikme summa on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis

Kuna jada teise ja viienda liikme summa on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis

Saan süsteemi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian jada avaldis. liikme

avaldis

Vastus: Antud jada avaldis. liige on avaldis.

Kodune ülesanne

1. Kas antud jada on aritmeetiline jada? Kui jah, siis leia jada vahe avaldis.

avaldis

2. Leia aritmeetilise jada avaldis. liige.

3. Aritmeetilise jada neljas liige on avaldis ja kaheksas liige on avaldis. Leia selle jada avaldis. liige.

4. Aritmeetilise jada esimese ja kolmanda liikme summa on avaldis. Kui selle jada teist liiget korrutada kahega ja ja neljandale liikmele liite juurde arv avaldis, siis on nende arvude summa avaldis. Leia selle jada avaldis. liige.

Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa

Valem 1
avaldis

avaldis on jada esimese n-liikme summa
avaldis on jada esimene liige
avaldis on jada liige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada liikme järjekorra number

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis. esimese liikme summa, kui jada esimene liige on avaldis ja avaldis. liige on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis. esimese liikme summa on avaldis.

Valem 2
avaldis

avaldis on jada esimese avaldis liikme summa
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis. liikme summa.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis. esimese liikme summa on avaldis.

Ülesanne

Leia antud vahemikus kõigi kolmega jaguvate arvude summa.

avaldis
Lahendus

1) Leian jada esimese liikme

avaldis

Leian jada viimase liikme

avaldis

Leian jadas olevate liikmete arvu

avaldis

Leian antud aritmeetilise jada avaldis. liikme summa

avaldis

Vastus: Vahemikus avaldis kõigi kolmega jaguvate arvude summa on avaldis.

2) Leian jada esimese liikme

avaldis

Leian jada viimase liikme

avaldis

Leian jadas olevate liikmete arvu

avaldis

Leian antud aritmeetilise jada avaldis. liikme summa

avaldis

Vastus: Vahemikus avaldis kõigi kolmega jaguvate arvude summa on avaldis.

3) Leian jada esimese liikme

avaldis

Leian jada viimase liikme

avaldis

Leian jadas olevate liikmete arvu

avaldis

Leian antud aritmeetilise jada avaldis. liikme summa

avaldis

Vastus: Vahemikus avaldis kõigi kolmega jaguvate arvude summa on avaldis.

4) Leian jada esimese liikme

avaldis

Leian jada viimase liikme

avaldis

Leian jadas olevate liikmete arvu

avaldis

Leian antud aritmeetilise jada avaldis. liikme summa

avaldis

Vastus: Vahemikus avaldis kõigi kolmega jaguvate arvude summa on avaldis.

Märkus

Antud ülesandes jada esimese liikme leidmiseks on vaja leida antud piirkonnas esimene kolmega jaguv arv ja jada viimase liikme leidmiseks on vaja leida antud piirkonnas viimane kolmega jaguv arv.

Märkus

Antud ülesandes jada liikmete arvu leidmiseks kehtib seos:

avaldis
Lihtsam näide

Mitu kolmega jaguvat arvu on vahemikus avaldis?

Lahendus

Antud näites võime sellega hakkama saada ka lihtsa loendamise teel. Need arvud on avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis. Järelikult on antud vahemikus kolmega jaguvaid arve avaldis.

Sama on tulemuseni jõuab ka kasutades eelnevat seost:

avaldis
Ülesanne

Leia antud aritmeetilise jada avaldis esimese liikme summa.

avaldis
avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis esimese liikme summa on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis esimese liikme summa on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis esimese liikme summa on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis esimese liikme summa on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis esimese liikme summa on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis esimese liikme summa on avaldis.

Ülesanne

Leia aritmeetilise jada avaldis. kuni avaldis. liikme summa.

Lahendus

Leian antud aritmeetilise jada esimese liikme avaldis ja jada vahe avaldis

avaldis

Leian antud aritmeetilise jada avaldis. esimese liikme summa

avaldis

Leian antud aritmeetilise jada avaldis. esimese liikme summa

avaldis

Leian antud aritmeetilise jada avaldis. kuni avaldis. liikme summa

avaldis

Vastus: Antud aritmeetilise jada avaldis. kuni avaldis. liikme summa on avaldis.

Märkus

Kui jada avaldis. liikme summast avaldis. liikme summa maha lahutada, saan tulemuseks jada avaldis. kuni avaldis. liikme summa.

Ülesanne

Aritmeetilise jada kolme esimese liikme summa on avaldis. Kui selles jadas teist liiget korrutada arvuga avaldis ja neljandale liikmele liita juurde arv avaldis, siis saame nende arvude summaks avaldis. Leia selle jada kahesaja esimese liikme summa.

Lahendus

Aritmeetilise jada esimene, teine, kolmas ja neljas liige on:

avaldis

Kuna jada esimese kolme liikme summa (esimese, teise ja kolmanda liikme summa) on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kui teist liiget korrutada arvuga avaldis, siis saan:

avaldis

Kui neljandale liikmele liita juurde arv avaldis, siis saan:

avaldis

Kuna saadud arvude summa on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Saan süsteemi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian selle jada kahesaja esimese liikme summa

avaldis

Vastus: Selle jada esimese kahesaja liikme summa on avaldis.

Kodune ülesanne

1. Leia aritmeetilise jada avaldis esimese liikme summa.

2. Leia avaldis ja avaldis vahel olevatest arvudest kaheteistkümnega jaguvate arvude summa.

3. Aritmeetilise jada kaheksas liige on avaldis ja kaheteistkümnes liige on avaldis. Leia selle jada avaldis. esimese liikme summa.

4. Aritmeetilise jada esimese ja viienda liikme summa on avaldis. Kui jada esimest liiget korrutada arvuga avaldis ja neljandat liiget korrutada arvuga avaldis, siis on nende arvude summa avaldis. Leia selle jada avaldis. esimese liikme summa.

Geomeetrilise jada üldliige

Geomeetrilise jada definitsioon

Arvujada, milles iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis on konstantne nimetatakse geomeetriliseks jadaks.

Näide

Jada avaldis on geomeetriline. Iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis (jada tegur) on avaldis.

Näide

Jada avaldis on geomeetriline. Iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis (jada tegur) on avaldis.

Näide

Jada avaldis on geomeetriline. Iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis (jada tegur) on avaldis.

Märkus

Geomeetilises jadas nimetatakse iga liikme ja temale eelneva liikme jagatist jada teguriks (arvuks, millega on vaja korrutada, et saada jadas järgmised liikmed).

Geomeetrilise jada üldliikme valem
avaldis

avaldis on jada liige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on jada liikme järjekorra number
avaldis on geomeetrilise jada tegur

Näide

Leia geomeetrilise jada avaldis kaheteistkümnes liige.

Lahendus
avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada kaheteistkümnes liige on avaldis.

Ülesanne

Kas antud jada on geomeetriline jada? Kui jah, siis leia jada tegur avaldis.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis

Vastus: Antud jada on geomeetriline jada. Jada tegur avaldis on avaldis.

avaldis

Vastus: Antud jada on geomeetriline jada. Jada tegur avaldis on avaldis.

avaldis

Vastus: Antud jada ei ole geomeetriline jada.

avaldis

Vastus: Antud jada on geomeetriline jada. Jada tegur avaldis on avaldis.

avaldis

Vastus: Antud jada ei ole geomeetriline jada.

avaldis

Vastus: Antud jada ei ole geomeetriline jada.

Ülesanne

Leia antud geomeetrilise jada n-s liige.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis

Vastus: Antud geomeetrilise jada avaldis. liige on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud geomeetrilise jada avaldis. liige on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud geomeetrilise jada avaldis. liige on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud geomeetrilise jada avaldis. liige on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud geomeetrilise jada avaldis. liige on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud geomeetrilise jada avaldis. liige on avaldis.

Ülesanne

Geomeetrilise jada avaldis. liige on avaldis ja avaldis. liige on avaldis. Leia selle jada avaldis. liige.

Lahendus

Geomeetrilise jada tegurit avaldis on vaja avaldis. liikmest avaldis. liikmeni jõudmiseks korrutada avaldis korda ja arvuliselt on vaja korrutatada arvuga avaldis:

avaldis
avaldis

Leian selle jada esimese liikme (jagan avaldis. liiget avaldis korda avaldis väärtusega avaldis, ehk siis avaldis kuubiga avaldis)

avaldis

Leian selle jada avaldis. liikme

avaldis

Vastus: Antud geomeetrilise jada avaldis. liige on avaldis.

Märkus

Antud ülesandes avaldis. liikmest avaldis. liikmeni jõudmiseks korrutatakse avaldis. liiget avaldis korda arvuga avaldis:

avaldis

Antud ülesandes avaldis. liikmest avaldis. liikmeni korrutati kokku arvuga avaldis:

avaldis
Ülesanne

Geomeetrilise jada avaldis. liige on avaldis ja avaldis. liige on avaldis. Leia selle jada avaldis. liige.

Lahendus

Geomeetrilise jada tegurit avaldis on vaja avaldis. liikmest avaldis. liikmeni jõudmiseks korrutada avaldis korda ja arvuliselt on vaja korrutatada arvuga avaldis:

avaldis
avaldis

Leian selle jada esimese liikme (jagan avaldis. liiget avaldis korda avaldis väärtusega avaldis, ehk siis avaldis ruuduga avaldis)

avaldis

Leian selle jada esimese liikme (jagan avaldis. liiget avaldis korda avaldis väärtusega avaldis, ehk siis avaldis ruuduga avaldis)

avaldis

Leian selle jada avaldis. liikme mõlema avaldis väärtuse korral

avaldis
avaldis

Vastus: Antud geomeetrilise jada avaldis. liige on avaldis või avaldis.

Märkus

Kahe viimase ülesande lahendamisel on vaja lahendada võrrandit kujul:

avaldis

1) Kui avaldis on paaritu arv, siis on lahendus järgmine:

avaldis
avaldis

2) Kui avaldis on paarisarv, siis on lahendus järgmine:

avaldis
avaldis
Ülesanne

Paigutage arvude avaldis ja avaldis vahele kolm arvu nii, et need koos antud arvudega moodustaksid geomeetrilise jada.

Lahendus

Antud jada esimene ja viies liige on:

avaldis

Esimesest liikmest ja viienda liikmeni jõudmiseks on vaja jada teguriga avaldis korrutada avaldis korda ja arvuliselt on vaja korrutada arvuga avaldis:

avaldis
avaldis

Leian jada teise, kolmanda ja neljanda liikme, kui avaldis väärtus on avaldis:

avaldis
avaldis
avaldis

Leian jada teise, kolmanda ja neljanda liikme, kui avaldis väärtus on avaldis:

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Need kolm arvu on avaldis, avaldis ja avaldis või avaldis, avaldis ja avaldis.

Kodune ülesanne

1. Kas antud jada on geomeetriline jada? Kui jah, siis leia jada tegur avaldis.

avaldis

2. Leia geomeetrilise jada avaldis. liige.

3. Geomeetrilise jada teine liige on avaldis ja seitsmes liige on avaldis. Leia selle jada kümnes liige.

Geomeetrilise jada esimese n-liikme summa

Geomeetrilise jada esimese n-liikme summa valem
avaldis

avaldis on jada esimese avaldis liikme summa
avaldis on jada esimene liige
avaldis on geomeetrilise jada tegur
avaldis on jada liikme järjekorra number

Näide

Leia geomeetrilise jada avaldis esimese kümne liikme summa.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada esimese kümne liikme summa on avaldis.

Ülesanne

Leidke geomeetrilise jada esimese avaldis liikme summa.

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis esimese liikme summa on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis esimese liikme summa on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis esimese liikme summa on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis esimese liikme summa on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis esimese liikme summa on avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud jada avaldis esimese liikme summa on avaldis.

Ülesanne

Paigutage arvude avaldis ja avaldis vahele kolm arvu nii, et need koos antud arvudega moodustaksid geomeetrilise jada. Leia selle jada kaheksa esimese liikme summa.

Lahendus
avaldis

Leian selle jada teguri avaldis (selleks, et saada esimesest liikmest viies liige peab jada esimest liiget korrutama avaldis korda arvuga avaldis, ehk arvuga avaldis ning arvust avaldis arvuni avaldis korrutamise tulemuse saamiseks jagan arvu avaldis arvuga avaldis)

avaldis
avaldis

Leian selle jada teise, kolmanda ja neljanda liikme, kui avaldis väärtus on avaldis

avaldis

Leian selle jada teise, kolmanda ja neljanda liikme, kui avaldis väärtus on avaldis

avaldis

Leian selle jada kaheksa esimese liikme summa, kui avaldis väärtus on avaldis

avaldis

Leian selle jada kaheksa esimese liikme summa, kui avaldis väärtus on avaldis

avaldis

Vastus: Need kolm arvu on avaldis, avaldis ja avaldis või avaldis, avaldis ja avaldis. Antud jada kaheksa esimese liikme summa on avaldis või avaldis.

Ülesanne

Geomeetrilise jada kolmas liige on avaldis ja kuues liige on avaldis. Leia selle jada kümne esimese liikme summa.

Lahendus

Leian selle jada teguri avaldis (selleks, et saada kolmandast liikmest kuues liige peab jada kolmandat liiget korrutama avaldis korda arvuga avaldis, ehk arvuga avaldis ning arvust avaldis arvuni avaldis korrutamise tulemuse saamiseks jagan arvu avaldis arvuga avaldis)

avaldis
avaldis

Leian selle jada esimese liikme

avaldis

Leian selle jada kümne esimese liikme summa

avaldis

Vastus: Antud jada kümne esimese liikme summa on avaldis.

Kordamine

1.a. Kas jada avaldis on aritmeetiline jada? Kui jah, siis leia jada vahe avaldis.

1.b. Kas jada avaldis on geomeetriline jada? Kui jah, siis leia jada tegur avaldis.

2.a Leia aritmeetilise jada avaldis. liige ja avaldis. esimese liikme summa.

2.b Leia geomeetrilise jada avaldis. liige ja avaldis. esimese liikme summa.

3.a Aritmeetilise jada avaldis. liige on avaldis ja avaldis. liige on avaldis. Leia selle jada avaldis. liige ja avaldis. esimese liikme summa.

3.b Geomeetrilise jada avaldis. liige on avaldis ja avaldis. liige on avaldis. Leia selle jada avaldis. liige ja avaldis. esimese liikme summa.

4. Aritmeetilise jada esimese ja teise liikme summa on avaldis. Kui selle jada teist liiget korrutada arvuga avaldis ja viiendale liikmele liita juurde arv avaldis, siis saame nende arvude summaks avaldis. Leia selle jada avaldis. liige ja avaldis. esimese liikme summa.