Lineaarfunktsiooni ja pöördvõrdelise seose graafikud (kordamine)

Lineaarfunktsiooni valem ja graafiku kuju

a) Lineaarfunktsioon on esitatud kujul avaldis (või antud kujuga samaväärsel kujul).
b) Lineaarfunktsiooni graafiku kuju on sirge.

Lineaarfunktsiooni graafiku skitseerimine

1. Teen kahekohalise tabeli ja valin tabelisse sobivad avaldis väärtused.
2. Asendan valitud avaldis väärtused antud funktsiooni ja arvutan sealt välja tabelisse tundmatu avaldis väärtused.
3. Kannan tabelis olevad punktid koordinaatteljestikku ja tõmban nendest punktidest läbi sirge.

Näide

Skitseeri funktsiooni avaldis graafik.

Lahendus
avaldis
avaldis
Funktsiooni y = 2x - 1 graafik

Funktsiooni y = 2x - 1 graafik

Näide

Skitseeri funktsiooni avaldis graafik.

Lahendus
avaldis
avaldis
Funktsiooni y = 4 - 3x graafik

Funktsiooni y = 4 - 3x graafik

Pöördvõrdelise seose valem ja graafiku kuju

a) Pöördvõrdeline seos on esitatud kujul avaldis (või antud kujuga samaväärsel kujul).
b) Pöördvõrdelise seose graafiku kuju on hüperbool.

Pöördvõrdelise seose graafiku skitseerimine

1. Teen kuuekohalise tabeli ja valin tabelisse sobivad avaldis väärtused (positiivse poole pealt avaldis arvu ja negatiivse poole pealt avaldis arvu).
2. Asendan valitud avaldis väärtused antud funktsiooni ja arvutan sealt välja tabelisse tundmatu avaldis väärtused.
3. Kannan tabelis olevad punktid koordinaatteljestikku ja tõmban nendest punktidest läbi hüperbooli.

Näide

Skitseeri funktsiooni avaldis graafik.

Lahendus
avaldis
avaldis
Hüperbool nr. 1

Hüperbool nr. 1

Näide

Skitseeri funktsiooni avaldis graafik.

Lahendus
avaldis
avaldis
Hüperbool nr. 2

Hüperbool nr. 2

Ülesanne

Skitseeri graafikud.

avaldis
Lahendus

1. Skitseerin avaldis graafiku

avaldis
Funktsiooni y = 4x - 5 graafik

Funktsiooni y = 4x - 5 graafik

2. Skitseerin avaldis graafiku

avaldis
Funktsiooni y = 3 - x graafik

Funktsiooni y = 3 - x graafik

3. Skitseerin avaldis graafiku

avaldis
Funktsiooni y = 5x graafik

Funktsiooni y = 5x graafik

4. Skitseerin avaldis graafiku

avaldis
Hüperbool nr. 3

Hüperbool nr. 3

5. Skitseerin avaldis graafiku

avaldis
Hüperbool nr. 4

Hüperbool nr. 4

6. Skitseerin avaldis graafiku

avaldis
Hüperbool nr. 5

Hüperbool nr. 5

Ruutfunktsiooni graafik (kordamine)

Ruutfunktsiooni valem ja graafiku kuju

a) Ruutfunktsioon on esitatud kujul avaldis (või antud kujuga samaväärsel kujul).
b) Ruutfunktsiooni graafiku kuju on parabool.

Ruutfunktsiooni avaldis skitseerimine

1. Teen viiekohalise tabeli, valides tabelisse tundmatu avaldis täisarvulised väärtused alates arvust avaldis kuni arvuni avaldis (sõltuvalt olukorrast võib punktide arvu ka suurendada või vähendada).
2. Asendan valitud avaldis väärtused antud funktsiooni ja arvutan sealt välja tabelisse tundmatu avaldis väärtused.
3. Kannan tabelis olevad punktid koordinaatteljestikku ja tõmban nendest punktidest läbi parabooli.

Näide

Skitseeri funktsiooni avaldis graafik.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 2

Ruutfunktsioon nr. 2

Näide

Skitseeri funktsiooni avaldis graafik.

Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 3

Ruutfunktsioon nr. 3

Ruutfunktsiooni avaldis skitseerimine

1. Leian ruutfunktsiooni avaldis nullkohad.

avaldis
avaldis

2. Leian haripunkti (haripunkti avaldis koordinaadi avaldis ja haripunkti avaldis koordinaadi avaldis).
2.1. Haripunkti avaldis koordinaadi avaldis leidmiseks on kaks võimalust:

avaldis

2.2. Haripunkti avaldis koordinaadi avaldis leidmiseks tuleb haripunkti avaldis väärtus asendada algsesse funktsiooni avaldis.
3. Koostan viiekohalise tabeli kandes tabelisse leitud punktid ja mõned lisapunktid:
3.1. Tabeli keskele kannan haripunkti (tundmatu avaldis rea peale avaldis ja tundmatu avaldis rea peale avaldis).
3.2. Haripunkti kõrvale kannan nullkohad (väiksem nullkoht vasakule ja suurem nullkoht paremale poole ning tundmatul avaldis on väärtused avaldis).
3.3. Nullkohtade lähedalt arvutan välja veel kaks punkti (üks avaldis väärtus väiksemast nullkohast vasakul pool ja üks avaldis väärtus suuremast nullkohast paremal pool). Kui punktid on valitud haripunkti ja nullkohtade suhtes sümmeetriliselt (avaldis väärtused on vasakule ja paremale haripunktist või nullkohtadest samal kaugusel), siis piisab vaid ühe avaldis väärtuse arvutamisest (teine ühtib eelmisega).
4. Kannan tabelis olevad punktid koordinaattasandile ja tõmban neist punktidest läbi parabooli.

Näide

Skitseeri funktsiooni avaldis graafik.

Lahendus

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Haripunkt

avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 12

Ruutfunktsioon nr. 12

Näide

Skitseeri funktsiooni avaldis graafik.

Lahendus

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Haripunkt

avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 13

Ruutfunktsioon nr. 13

Näide

Skitseeri funktsiooni avaldis graafik.

Lahendus

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis

Haripunkt

avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 14

Ruutfunktsioon nr. 14

Näide

Skitseeri funktsiooni avaldis graafik.

Lahendus

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis

Haripunkt

avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 15

Ruutfunktsioon nr. 15

Näide

Skitseeri funktsiooni avaldis graafik.

Lahendus

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna antud ruutfunktsioonil on vaid üks nullkoht, siis see nullkoht ühtib ka haripunktiga.
Järelikult on antud juhul võimalik teha tabel, kus haripunkt on tabeli keskel ja haripunkti läheduses on arvutatud kummalegi poole välja veel kaks punkti.

avaldis
Ruutfunktsioon nr. 16

Ruutfunktsioon nr. 16

Näide

Skitseeri funktsiooni avaldis graafik.

Lahendus

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kui ruutvõrrandi lahendamisel tuleb lahendivalemis ruutjuure alla negatiivne arv, siis ruutvõrrandil lahendid puuduvad. Järelikult antud ruutfunktsioonil nullkohad puuduvad (ruutfunktsioon ei puuduta avaldis telge).

Haripunkt

avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 17

Ruutfunktsioon nr. 17

Ülesanne

Skitseeri graafikud

avaldis
avaldis
Lahendus

1. Skitseerin funktsiooni avaldis graafiku

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Haripunkt

avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 4

Ruutfunktsioon nr. 4

2. Skitseerin funktsiooni avaldis graafiku

avaldis
Ruutfunktsioon nr. 5

Ruutfunktsioon nr. 5

3. Skitseerin funktsiooni avaldis graafiku

avaldis
Ruutfunktsioon nr. 6

Ruutfunktsioon nr. 6

4. Skitseerin funktsiooni avaldis graafiku

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Haripunkt

avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 7

Ruutfunktsioon nr. 7

5. Skitseerin funktsiooni avaldis graafiku

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Haripunkt

avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 8

Ruutfunktsioon nr. 8

6. Skitseerin funktsiooni avaldis graafiku

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 9

Ruutfunktsioon nr. 9

7. Skitseerin funktsiooni avaldis graafiku

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Haripunkt

avaldis
Märkus

Kordajad avaldis ja avaldis võtsin funktsiooni esialgsest kujust.

avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 10

Ruutfunktsioon nr. 10

8. Skitseerin funktsiooni avaldis graafiku

Nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Haripunkt

avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 11

Ruutfunktsioon nr. 11

Kõvertrapetsi pindala joonest y=f(x) x-teljeni, ülevalt poolt x-telge

Kõvertrapets nr. 1

Kõvertrapets nr. 1

avaldis
Näide

Leia joontega avaldis, avaldis, avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Lahendus
avaldis
Kõvertrapets nr. 15

Kõvertrapets nr. 15

avaldis
avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Näide

Leia joontega avaldis, avaldis, avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Lahendus
avaldis
Kõvertrapets nr. 16

Kõvertrapets nr. 16

avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Märkus

Eelneva ülesande viimases tehtes kasutasin logaritmide vahe valemit:

avaldis

Kuna tähis avaldis on vaid kokkuleppeliselt logaritm alusel avaldis (arvu avaldis väärtus antud ülesandes ebaoluline), siis antud juhul näeb sooritatud tehe välja järgmine:

avaldis
Näide

Leia joontega avaldis, avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Lahendus

Leian ruutfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kõvertrapets nr. 17

Kõvertrapets nr. 17

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Näide

Leia joonega avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Lahendus

Leian ruutfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ruutfunktsiooni haripunkti

avaldis
avaldis
avaldis
Kõvertrapets nr. 18

Kõvertrapets nr. 18

avaldis
avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Ülesanne

Leia sirge avaldis ja mõlema koordinaatteljega piiratud kujundi pindala.

Lahendus
avaldis
Kõvertrapets nr. 19

Kõvertrapets nr. 19

avaldis
avaldis

Vastus: Antud joontega piirayud kujundi pindala on avaldis.

Ülesanne

Leia joontega avaldis, avaldis, avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Lahendus
avaldis
Kõvertrapets nr. 20

Kõvertrapets nr. 20

avaldis

Vastus: Antud joontega piirayud kujundi pindala on avaldis.

Märkus:

Eelneva ülesande viimases tehtes kasutasin järgmist logaritmi omadust:

avaldis

Kuna tähis avaldis on vaid kokkuleppeliselt logaritm alusel avaldis (arvu avaldis väärtus antud ülesandes ebaoluline), siis antud juhul näeb sooritatud tehe välja järgmine:

avaldis
Ülesanne

Leia joontega avaldis, avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Lahendus

Leian ruutfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ruutfunktsiooni haripunkti

avaldis
avaldis
avaldis
Kõvertrapets nr. 21

Kõvertrapets nr. 21

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Ülesanne

Leia joontega avaldis, avaldis ja mõlema koordinaateljega piiratud kujundi pindala.

Lahendus

Leian ruutfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ruutfunktsiooni haripunkti

avaldis
avaldis
avaldis
Kõvertrapets nr. 22

Kõvertrapets nr. 22

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Kõvertrapetsi pindala joonest y=f(x) x-teljeni, alt poolt x-telge

Kõvertrapets nr. 3

Kõvertrapets nr. 3

avaldis
Näide

Leia joontega avaldis, avaldis, avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Lahendus
avaldis
Kõvertrapets nr. 23

Kõvertrapets nr. 23

avaldis
avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Näide

Leia joontega avaldis, avaldis, avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Lahendus
avaldis
Kõvertrapets nr. 24

Kõvertrapets nr. 24

avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Näide

Leia joonega avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Lahendus

Leian ruutfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ruutfunktsiooni haripunkti

avaldis
avaldis
avaldis
Kõvertrapets nr. 25

Kõvertrapets nr. 25

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Näide

Leia joonega avaldis, avaldis, avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Lahendus

Leian ruutfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis

Leian ruutfunktsiooni haripunkti

avaldis
avaldis
avaldis
Kõvertrapets nr. 26

Kõvertrapets nr. 26

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Ülesanne

Leia joonega avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis piiratud kujundi pindala.

Lahendus

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel:

avaldis

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel:

avaldis
Kõvertrapets nr. 27

Kõvertrapets nr. 27

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Ülesanne

Leia joonega avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis piiratud kujundi pindala.

Lahendus

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel:

avaldis

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel:

avaldis
Kõvertrapets nr. 28

Kõvertrapets nr. 28

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Ülesanne

Leia joonega avaldis, avaldis, x-teljega ja y-teljega piiratud kujundi pindala.

Lahendus

Leian ruutfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ruutfunktsiooni haripunkti

avaldis
avaldis

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel:

avaldis
Kõvertrapets nr. 29

Kõvertrapets nr. 29

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Ülesanne

Leia joonega avaldis, avaldis ja avaldis piiratud kujundi pindala.

Lahendus
avaldis
Kõvertrapets nr. 30

Kõvertrapets nr. 30

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Antud joontega piiratud kujundi pindala on avaldis.

Kodune ülesanne

Leia joontega avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis piiratud kujundi pindala.

Kodune ülesanne

Leia joonega avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Kodune ülesanne

Leia joontega avaldis, avaldis, avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Kordamine

1. Leia joontega avaldis, avaldis, avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

2. Leia joonega avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.