Permutatsioonid ,kombinatsioonid ja variatsioonid

Faktoriaali definitsioon
avaldis
Näide
avaldis
Permutatsiooni definitsioon

Permutatsioonid on avaldis elemendilise hulga elementidest moodustunud avaldis elemendilised järjestatud osahulgad.

Permutatsiooni valem
avaldis
Näide

Mitu erinevat võimalust on kehalise kasvatuse tunnis rivistada avaldis poissi?

Lahendus
avaldis

Vastus: Kehalise kasvatuse tunnis on võimalik rivistada avaldis poissi avaldis erineval moel.

Kombinatsiooni definitsioon

Kombinatsioonided avaldis elemendist avaldis kaupa on avaldis elemendilise hulga avaldis elemendiliste osahulkade arv.

Kombinatsiooni valem
avaldis
Näide

Mitu piletit peab ostma, et kindlalt võita arvloterii peavõit, kui lotopiletil on avaldis arvu ja pihta peavad minema kõik avaldis valitud arvu?

Lahendus
avaldis

Vastus: Selleks, et võita kindlalt peavõit peab ostma avaldis piletit.

Märkus

Eelmises näites peast tehtud avaldis ja avaldis taandamise kirjalk esitus (sarnases tehtes on alati mõistlik ära taandada murrujoone alt suurem faktoriaal).

avaldis
Variatsiooni definitsioon

Variatsioonid avaldis elemendist avaldis kaupa on avaldis elemendilise hulga avaldis elemendilised järjestatud osahulgad.

Variatsiooni valem
avaldis
Näide

Mitu avaldis märgilist koodi on võimalik moodustada avaldis tähemärgist?

avaldis

Vastus: Kümnest tähemärgist saab moodustada avaldis kuue märgilist koodi.

Märkus

Eelmises näites peast tehtud avaldis ja avaldis taandamise kirjalk esitus.

avaldis
Ülesanne

Mitu erinevat sõna saab moodustada tähtedest avaldis, avaldis, avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis (sõnadeks lugeda kõik nendest tähtest moodustatud järjestused).

avaldis

Vastus: Tähtedest avaldis, avaldis, avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis on võimalik moodustada avaldis sõna.

Ülesanne

Mitu erinevat kuueliikmelist meeskonda on spordilaagris võimalik moodustada kolmeteistkümnest poisist?

Lahendus
avaldis
avaldis

Vastus: Kolmeteistkümnest poisist on võimalik moodustada avaldis erinevat kuueliikmelist meeskonda.

Ülesanne

Kunsti näitusel on üles pandud avaldis maali. Mitmel erineval moel on võimalik neid maale järjestada?

Lahendus
avaldis

Vastus: Kunsti näitusel on võimalik avaldis maali järjestada avaldis erineval moel.

Ülesanne

Klassis on kokku avaldis istekohta ja tänases matemaatika tunnis on kohal avaldis õpilast. Mitmel erineval moel on õpetajal tänases matemaatika tunnis võimalik panna õpilased istuma?

avaldis

Vastus: Õpetajal on võimalik panna õpilased klassis istuma avaldis erineval moel.

Ülesanne

Ettevõte plaanib võtta juurde avaldis uut töötajat. Kandideerimisperioodi ajal laekus antud töökohtadele avaldis avaldust. Mitmel erineval moel on antud ettevõttel võimalik isikkoosseisu valida?

avaldis

Vastus: Antud ettevõttel võimalik valida avaldis erineva isikkoosseisu vahel.

Ülesanne

Toitlustusettevõte soovib võtta tööle ühe peakoka, ühe abikoka ja ühe kelneri. Kandideerimisperioodi ajal laekus antud töökohtadele avaldis avaldust. Mitmel erineval viisil on võimalik toitlustusettevõttel määrata isikkooseis, kui iga kandidaat sobib igale töökohale?

avaldis

Vastus: Toitlustusettevõttel on võimalik määrata isikkoosseis avaldis erineval moel.

Kombinatoorika põhireeglid

Liitmise reegel

Kui elementi avaldis saab valida avaldis erineval viisil ja elementi avaldis saab valida avaldis erineval viisil, siis elementi avaldis või avaldis saab valida avaldis erineval viisil.

Näide

Restorani menüüs on avaldis praadi ja avaldis magustoitu. Mitme erineva toidu vahel on külastajal võimalik valida?

avaldis

Vastus: Külastajal on võimalik valida avaldis erineva toidu vahel.

Korrutamise reegel

Kui elementi avaldis saab valida avaldis erineval viisil ja elementi avaldis saab valida avaldis erineval viisil, siis elementide avaldis ja avaldis paari saab valida avaldis erineval viisil.

Näide

Restorani menüüs on avaldis praadi ja avaldis magustoitu. Mitu erineva kahekäigulise lõuna vahel on võimalik külastajal valida?

avaldis

Vastus: Külastajal on võimalik valida avaldis erineva kolmekäigulise lõuna vahel.

Ülesanne

Mitu auto registri numbrit on võimalik moodustada, kui auto number koosneb neljast tähest (tähemärke on kasutada avaldis) ja kahest numbrist (numbreid on kasutada avaldis), kui kõik tähed ja numbrid võivad korduda?

Lahendus
avaldis

Vastus: Neljast tähest ja kahest numbrist on võimalik moodustada avaldis auto registri numbrit.

Ülesanne

Mitu auto registri numbrit on võimalik moodustada, kui auto number koosneb kahest tähest (tähemärke on kasutada avaldis) ja neljast numbrist (numbreid on kasutada avaldis), kui ükski täht ega number ei tohi korduda?

Lahendus
avaldis

Vastus: Kahest tähest ja neljast numbrist on võimalik moodustada avaldis auto registri numbrit.

Ülesanne

Riiulil on avaldis eestikeelset raamatut, avaldis inglisekeelset raamatut ja avaldis saksakeelset raamatut. Mitu erinevat võimalust on kolme raamatu valimiseks nii, et kõik raamatud on erinevas keeles?

Lahendus
avaldis

Vastus: Kolme erinevas keeles raamatu võtmiseks on avaldis võimalust.

Ülesanne

Joosepi garderoobis on avaldis paari pükse, avaldis t-särki ja avaldis triiksärki. Mitmel erineval moel on võimalik Joosepil ennast riietada, kui tal on vaja valida midagi jalga ja midagi selga?

Lahendus
avaldis

Vastus: Joosepil on enda riietamiseks avaldis võimalust.

Ülesanne

Restorani menüüs on avaldis praadi, avaldis suppi ja avaldis magustoitu. Mitu erinevat kahe- või kolmekohalist lõunat on võimalik külastajal valida, kui kahekohalise lõuna üheks komponendiks on kindlasti magustoit?

Lahendus

Leian erinevate kolmekohaliste lõunate arvu

avaldis

Leian prae ja magustoidu valmise võimaluste arvu

avaldis

Leian supi ja magustoidu valmise võimaluste arvu

avaldis

Leian kahekohaliste lõunate arvu

avaldis

Leian erinevate kolme- või kahekohaliste lõunate arvu

avaldis

Vastus: Külastajal on võimalik valida avaldis erineva kahe- või kolmekohalise lõuna vahel.

Ülesanne:

Mitu erinevat neljakohalist arvuga avaldis algavat paarisarvu, milles ükski number ei kordu, on võimalik moodustada?

Lahendus

Alustades numbrite valimist tagant poolt, siis neljandal kohal oleva numbri jaoks on võimalusi avaldis (paarisarvud avaldis, avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis), kolmanda numbri valmiseks on võimalusi avaldis (kõik numbrid arvust avaldis kuni arvuni avaldis väljaarvatud esimene number avaldis ja viimasel kohal olev paarisarv) ja teise numbri valimiseks on võimalusi avaldis (kõik numbrid arvust avaldis kuni arvuni avaldis välja arvatud kõik eelnevalt ära valitud avaldis numbrit).

avaldis

Vastus: Arvuga avaldis algavaid neljakohalisi paarisarve, millel numbrid ei kordu on avaldis.

Kodune ülesanne

Riiulil on avaldis teatmeteost, avaldis sõnaraamatut, avaldis juturaamatut ja avaldis õpikut. Mitmel erineval moel on võimalik:
a) järjestada kõiki riiulil olevaid sõnaraamatuid;
b) valida riiulilt avaldis juturaamatut;
c) valida riiulilt avaldis raamatut, millest üks on teatmeteos ja üks on juturaamat;
d) valida riiulilt avaldis raamatut, millest üks on teatmeteos, üks on sõnaraamat ja üks on õpik;
e) valida riiulilt avaldis raamatut, millest kaks on sõnaraamatut ja üks on õpik;
f) valida riiulilt avaldis raamatut, millest üks on teatmeteos, üks on sõnaraamat, üks on juturaamat ja üks on õpik?

Kodune ülesanne

Mitu avaldis kohalist arvu on võimalik moodustada, milles:
a) ükski number ei kordu;
b) kaks esimest numbrit on ühtivad, kaks järgmist numbrit samuti ühtivad (kuid ei ühti esimeste numbritega) ja viimane number on kõigist eelmistest erinev;
c) esimene number on avaldis, viimane number on avaldis ja kolm keskmist numbrit on samad, kuid ei ühti ei esimese ega viimase numbriga;
d) kõik numbrid erinevad, arv jagub kümnega ja arv ei sisalda arve avaldis ja avaldis?

Kodune ülesanne

Võrkpalli naiskonnas on kokku avaldis mängijat, kui platsile lastakse korraga neist vaid avaldis.Mitu:
a) erinevat koosseisu on võimalik treeneril mängima lasta;
b) erinevat järjestatud koosseisu on võimalik treeneril mängima lasta?

Sündmuse klassikaline tõenäosus

Sündmuse klassikalise tõenäosuse arvutamise valem
avaldis

avaldis on sündmuse klassikaline tõenäosus
avaldis on sündmuse soodsate võimaluste arv
avaldis on sündmuse kõigi võimaluste arv

Näide

Urnis on avaldis valget ja avaldis musta kuuli. Kui suur on tõenäosus, et urnist juhuslikult võetud kuul on valge?

Lahendus
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et urnist juhuslikult võetud kuul on valge, on avaldis.

Ülesanne

Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel saadakse kolmega jaguv arv silmi?

Lahendus
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb kolmega jaguv arv silmi, on avaldis.

Ülesanne

Kaardipakist, milles on avaldis kaarti, tõmmatakse üks kaart. Kui suur on tõenäosus, et see on:
1) ärtu mastist;
2) punane kaart;
3) must emand;
4) kõrge kaart (alustades sõdurist ja lõpetades ässaga);
5) kas ristimastist või kuningas?

Lahendus

1) Kuna pakis on kokku avaldis erinevat masti ja soodne on vaid avaldis, siis:

avaldis

Vastus: Ärtu tulemise tõenäosus on avaldis.

2) Kuna pakis on avaldis värvi kaarte ja soodne on vaid avaldis, siis:

avaldis

Vastus: Punase kaarti tulemise tõenäosus on avaldis.

3) Kuna pakis on avaldis musta emandat ja pakis on kokku avaldis kaarti, siis:

avaldis

Vastus: Musta emanda tulemise tõenäosus on avaldis.

4) Kuna pakis on kõrgeid kaarte avaldis ja pakis on kokku kaarte avaldis, siis:

avaldis

Vastus: Kõrge kaarti tulemise tõenäosus on avaldis.

5) Kuna pakis on ristimastist kaarte avaldis ja kuningaid, mis pole ristimastist on avaldis, siis on soodsaid võimalusi kokku avaldis ja kokku on pakis avaldis kaarti, siis:

avaldis
Ülesanne

Visatakse ühe mündi abil kulli ja kirja. Kui suur on kulli viskamise tõenäosus?

Lahendus

Kuna tulla saab vaid kiri või kull, siis kokku on võimalusi avaldis ja soodne võimalus on avaldis, järelikult kulli viskamise tõenäosus on:

avaldis

Vastus: Kulli tulemise tõenäosus on avaldis.

Ülesanne

Visatakse korraga kahte täringut. Kui suur on tõenäosus, et tuleb:
1) avaldis silma;
2) avaldis silma;
3) avaldis silma;
4) avaldis silma;
5) avaldis silma?

Lahendus

Selleks, et antud küsimustele vastata on mõistlik teha järgmine tabel, kus on esitatud mõlema täringu silmade kõik võimalikud summad.

avaldis

1) Kuna kokku on võimalusi avaldis ja avaldis silma tuleb neist avaldis juhul, siis:

avaldis

Vastus: avaldis silma tulemise tõenäosus on avaldis.

2) Kuna kokku on võimalusi avaldis ja avaldis silma tuleb neist avaldis juhul, siis:

avaldis

Vastus: avaldis silma tulemise tõenäosus on avaldis.

3) Kuna kokku on võimalusi avaldis ja avaldis silma tuleb neist avaldis juhul, siis:

avaldis

Vastus: avaldis silma tulemise tõenäosus on avaldis.

4) Kuna kokku on võimalusi avaldis ja avaldis silma tuleb neist avaldis juhul, siis:

avaldis

Vastus: avaldis silma tulemise tõenäosus on avaldis.

5) avaldis silma tulemine on antud juhul võimatu sündmus, järelikult:

avaldis

Vastus: avaldis silma tulemise tõenäosus on avaldis.

Ülesanne

Korvpalluri vabaviske tabavus on avaldis. Kui suur on korvpalluri:
1) vabaviske tabamise tõenäosus;
2) vabaviske mööda viskamise tõenäosus.

Lahendus

1) Teisendan protsentuaalse tõenäosuse klassikaliseks tõenäosuseks.

avaldis

Vastus: Korvpalluri vabaviske tabamise tõenäosus on avaldis.

2) Kuna kindla sündmuse tõenäosus on avaldis, siis vastandsünmuse tõenäosuse leidmiseks tuleb see tõenäosus arvust avaldis maha lahutada.

avaldis

Vastus: Korvpalluri vabaviske mööda viskamise tõenäosus on avaldis.

Tõenäosuste korrutamise ja liitmise lause

Tõenäosuste korrutamise lause

Kui ühe sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese ja teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel esimene kord tuleb paarisarv silmi ja teine kord kolmega jaguv arv silmi?

Lahendus

Tõenäosus, et esimesel viskamisel tuleb paarisarv silmi on:

avaldis

Tõenäosus, et teisel viskamisel tuleb kolmega jaguv arv silmi on:

avaldis

Tõenäosus, et esimesel viskamisel tuleb paarisarv silmi ja teisel viskamisel tuleb kolmega jaguv arv silmi on:

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et esimesel viskamisel tuleb paarisarv silmi ja teisel viskamisel tuleb kolmega jaguv arv silmi on avaldis.

Tõenäosuste liitmise lause

Kui ühe sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese või teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis silma või avaldis silma.

Lahendus

Tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis silma on:

avaldis

Tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis silma on:

avaldis

Tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis silma või avaldis silma on:

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis silma või avaldis silma on avaldis.

Ülesanne

Urnis on kolm valget ja neli musta kuuli. Leia tõenäosus, et urnist juhuslikult võetud:
1) kaks kuuli on valget;
2) esimene kuul on valge ja teine must;
3) kolmest kuulist kaks esimest on valget ja kolmas must;
4) kolmest kuulist kõik on mustad kuulid;
5) kahest võetud kuulist üks on valge ja teine must;
6) kolmest võetud kuulist üks on valge ja ülejäänud mustad.

Lahendus

1) Leian tõenäosuse, et mõlemad kuulid on valged (arvestan sellega, et teisel võtmisel on üks valge kuul urnist võetud ja kokku on ka üks kuul urnis vähem).

avaldis

Vastus: Kahest kuulist mõlema valge kuuli tulemise tõenäosus on avaldis.

2) Leian tõenäosuse, et esimene kuul on valge ja teine must (arvestan sellega, et teisel võtmisel on üks kuul urnis vähem).

avaldis

Vastus: Kahest kuulist esimesena valge ja teisena musta kuuli tulemise tõenäosus on avaldis.

3) Leian tõenäosuse, et kolmest kuulist kaks esimest on valget ja kolmas must (arvestan sellega, et teisel võtmisel on üks valge kuul urnis vähem ja üks kuul kokku urnis vähem ning kolmandal võtmisel on kaks kuuli urnis vähem).

avaldis

Vastus: Kolmest kuulist esimesena kahe valge kuuli ja kolmandana musta kuuli tulemise tõenäosus on avaldis.

4) Leian tõenäosuse, et kõik kolm võetud kuuli on mustad (arvestan sellega, et teisel võtmisel on urnis üks must kuul vähem ja kokku üks kuul urnis vähem ning kolmandal võtmisel on urnis kaks musta kuuli vähem ja kokku kaks kuuli urnis vähem).

avaldis

Vastus: Kolmest kuulist kõigi mustade kuulide tulemise tõenäosus on avaldis.

5) Kuna korrutamise lause lubab leida tõenäosust juhul, kui kuulide võtmise järjekord on paigas, siis tuleb antud juhul kasutada ka liitmise lauset. Lahendan esimesena ülesande kasutades korrutamise ja liitmise lauset ja teisena kasutan antud reeglitest tulenevat oluliselt ülesannet lihtsustavat varianti (edaspidi on soovitav lahendada ülesandeid analoogiliselt teise lahendusega).

Esimene lahendus

Leian tõenäosuse, et esimene kuul on valge ja teine kuul on must

avaldis

Leian tõenäosuse, et esimene kuul on valge ja teine kuul on must

avaldis

Leian tõenäosuse, et kahest võetud kuulist on üks valge ja teine must (esimene on valge ja teine on must või esimene on must ja teine on valge)

avaldis
Teine lahendus

Leian tõenäosuse, et kahest võetud kuulist on üks valge ja teine must (kuna kuule teises järjekorras võttes on tõenäosused alati võrdsed, siis antud juhul teades, et neid esinevaid järjestusi on kaks, piisab vaid ühe leidmisest ja antud tulemuse arvuga avaldis korrutamisest). Esimeses lahenduses pidi tegema kolm tehet, teises lahenduses piisab vaid ühest tehtest.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et kahest võetud kuulist on üks valge ja teine must on avaldis.

6) Kuna korrutamise lause lubab leida tõenäosust juhul, kui kuulide võtmise järjekord on paigas, siis tuleb antud juhul kasutada ka liitmise lauset. Lahendan esimesena ülesande kasutades korrutamise ja liitmise lauset ja teisena kasutan antud reeglitest tulenevat oluliselt ülesannet lihtsustavat varianti (edaspidi on soovitav lahendada ülesandeid analoogiliselt teise lahendusega).

Esimene lahendus

Leian tõenäosuse, et esimene kuul on valge ja kaks viimast on mustad

avaldis

Leian tõenäosuse, et esimene kuul on must, teine kuul on valge ja kolmas kuul on must

avaldis

Leian tõenäosuse, et kaks esimest kuuli on mustad ja viimane valge

avaldis

Leian tõenäosuse, et kolmest võetud kuulist on üks valge ja ülejäänud mustad (esimene kuul on valge ja kaks viimast on mustad või esimene kuul on must, teine kuul on valge ja kolmas kuul on must või kaks esimest kuuli on mustad ja viimane valge)

avaldis
Teine lahendus

Leian tõenäosuse, et kolmest võetud kuulist on üks valge ja ülejäänud mustad (kuna kuule teises järjekorras võttes on tõenäosused alati võrdsed, siis antud juhul teades, et neid esinevaid järjestusi on kolm, piisab vaid ühe leidmisest ja antud tulemuse arvuga avaldis korrutamisest). Esimeses lahenduses pidi tegema neli tehet, teises lahenduses piisab vaid ühest tehtest.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et kolmest võetud kuulist on üks valge ja ülejäänud mustad on avaldis.

Märkus

Järgnevad ülesanded lahendan analoogiliselt teisele lahendusele.

Ülesanne

Kaardipakis on avaldis kaarti. Leia tõenäosus, et juhuslikult võetud:
1) kaks kaarti on mõlemad punased;
2) kahest võetud kaartist on üks potimastist ja teine ristimastist;
3) kahest võetud kaartist on üks kaheksa ja teine äss;
4) kahest võetud kaartist üks on poti neli ja teine on ärtumastist;
5) kolmest võetud kaartist kõik on potimastist;
6) kolmest võetud kaartist on kaks kaarti punased ja üks must;
7) kolmest võetud kaartist on kaks punast ässa ja üks on must kuningas.

Lahendus
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et kahest võetud kaartist mõlemad on punased on avaldis.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et kahest võetud kaartist on üks potimastist ja teine ristimastist on avaldis.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et kahest võetud kaartist on üks kaheksa ja teine äss avaldis.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et kahest võetud kaartist on üks poti neli ja teine ärtumastist on avaldis.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et kolmest võetud kaartist on kõik potimastist on avaldis.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et kolmest võetud kaartist on kaks kaarti punased ja üks must on avaldis.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et kolmest võetud kaartist on kaks punast ässa ja üks must kuningas on avaldis.

Ülesanne

Korvpallur viskab vabaviskeid avaldis tabavusega. Leia tõenäosus, et:
1) tabab ühe vabaviske;
2) ei taba ühte vabaviset;
3) ta tabab mõlemad kahest vabaviskest;
4) ta ei taba kumbagi kahest vabaviskest;
5) ta tabab kahest vabaviskest ühe;
6) ta tabab kõik kolm vabaviset;
7) ta tabab kolmest vabaviskest ühe;
8) ta tabab kolmest vabaviskest kaks;

Lahendus
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et ta tabab ühe vabaviske on avaldis.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et ta ei taba ühte vabaviset on avaldis.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et ta tabab mõlemad kahest vabaviskest on avaldis.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et ta ei taba kumbagi kahest vabaviskest on avaldis.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et ta tabab kahest vabaviskest ühe on avaldis.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et ta tabab kõik kolm vabaviset on avaldis.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et ta tabab kolmest vabaviskest ühe on avaldis.

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et ta tabab kolmest vabaviskest ühe on avaldis.

Kodune ülesanne

1. Urnis on kolm avaldis valget, avaldis musta ja avaldis rohelist kuuli. Leia tõenäosus, et urnist juhuslikult võetud:
1) üks kuul on must;
2) üks kuul ei ole roheline;
3) kahest kuulist mõlemad on valged;
4) kahest kuulist üks kuul on valge ja teine roheline;
5) kahest võetud kuulist on üks must;
6) kolmest võetud kuulist on kõik rohelised;
7) kolmest võetud kuulist on kaks valget ja üks must;
8) kolmest võetud kuulist on üks must ja kaks rohelist kuuli.

2. Kaardipakis on avaldis kaarti. Leia tõenäosus, et juhuslikult võetud:
1) kaks kaarti on mõlemad potimastist;
2) kahest võetud kaartist on üks must kaart ja teine ärtumastist;
3) kahest võetud kaartist on üks emand ja teine sõdur;
4) kahest võetud kaartist üks on punane kaheksa ja teine on risti äss;
5) kolmest võetud kaartist kõik on ässad;
6) kolmest võetud kaartist on kaks punast kaarti ja üks poti emand.

3. Korvpallur viskab vabaviskeid avaldis tabavusega. Leia tõenäosus, et:
1) tabab ühe vabaviske;
2) ei taba ühte vabaviset;
3) ta tabab mõlemad kahest vabaviskest;
4) ta ei taba kumbagi kahest vabaviskest;
5) ta tabab kahest vabaviskest ühe;
6) ta tabab kõik kolm vabaviset;
7) ta tabab kolmest vabaviskest ühe;
8) ta tabab kolmest vabaviskest kaks.

Bernoulli valem

Kui mingis ühesuguses ja sõltumatus katseseerias toimub avaldis katset, siis tõenäosus, et mingi sündmus, mille tõenäosus on avaldis ja selle sündmuse vastandtõenäosus on avaldis, toimub täpselt avaldis korda, on arvutatav valemiga:

avaldis
Märkus

Kui katseseeria pole ühesugune ja sõltumatu (eelmise katse toimumine mõjutab järgmist katset), siis kasutatakse korrutamislauset, arvestades kõiki katse erinevate järjestuste võimalust (ühe järjestuse tõenäosus korrutatakse erinevate järjestuste arvuga, ehk arvuga avaldis).

Näide

Leia tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb viiest viskest täpselt kaks korda avaldis silma.

Lahendus

avaldis silma tuleku tõenäosus on:

avaldis

avaldis silma mitte tulemise tõenäosus on:

avaldis

Kuna kokku visatakse täringut viis korda, siis avaldis. Kuna avaldis silma peab tulema kahel korral, siis avaldis ja avaldis silma ei tohi tulla avaldis korral ja vastav tõenäosus on:

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et täringu viiel viskamisel tuleb avaldis silma täpselt kaks korda on avaldis.

Näide

Urnis on avaldis valget ja avaldis musta kuuli. Leia tõenäosus, et juhuslikul võtmisel võetakse urnist kuuest kuulist täpselt neli valget kuuli.

Lahendus

Leian kuuest pallist nelja valge ja kahe musta kuuli tulemise erinevate järjestuste arvu

avaldis

Leian tõenäosuse, et kuue kuue kuuli võtmisel tuleb täpselt neli valget kuuli

avaldis
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et kuue kuuli võtmisel tuleb täpselt neli valget kuuli on avaldis.

Ülesanne

Korvpalluri vabaviske tabavusprotsent on avaldis. Leia tõenäosus, et ta tabab:
a) neljast viskest kolm;
b) viiest viskest neli;
c) kuuest viskest kolm;
d) kuuest viskest kaks;
e) neljast viskest vähemalt kaks;
f) viiest viskest alla kolme;
g) kuuest viskest üle nelja.

Lahendus

Leian korvpalluri sisse viskamise tõenäosuse:

avaldis

Leian korvpalluri mööda viskamise tõenäosuse:

avaldis

a) Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab neljast viskest kolm.

avaldis
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et korvpallur tabab neljast viskest kolm on avaldis.

b) Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab viiest viskest neli.

avaldis
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et korvpallur tabab viiest viskest neli on avaldis.

c) Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab kuuest viskest kolm.

avaldis
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et korvpallur tabab kuuest viskest kolm on avaldis.

d) Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab kuuest viskest kaks.

avaldis
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et korvpallur tabab kuuest viskest kaks on avaldis.

e) Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab neljast viskest kaks

avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab neljast viskest kolm

avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab neljast viskest neli

avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab neljast viskest vähemalt kaks

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et korvpallur tabab neljast viskest vähemalt kaks on avaldis.

f) Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab viiest viskest null viset

avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab viiest viskest ühe viske

avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab viiest viskest kaks viset

avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab viiest viskest alla kolme

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et korvpallur tabab viiest viskest alla kolme on avaldis.

g) Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab kuuest viskest viis

avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab kuuest viskest kuus

avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et korvpallur tabab kuuest viskest üle nelja

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et korvpallur tabab kuuest viskest üle nelja on avaldis.

Ülesanne

Kaartipakis on avaldis kaarti. Leia tõenäosus, et:
a) viiest kaardist tuleb kaks punast;
b) neljast kaadrdist tuleb kaks musta;
c) viiest kaardist tuleb kaks potit;
d) kuuest võetud kaardist tuleb kaks ässa;
e) viiest võetud kaardist tuleb vähemalt kaks ässa.

Lahendus

a) Leian tõenäosuse, et viiest kaardist tuleb kaks punast

avaldis
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et viiest kaartist tuleb kaks punast on avaldis.

b) Leian tõenäosuse, et neljast kaardist tuleb kaks musta

avaldis
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et neljast kaardist tuleb kaks musta on avaldis.

c) Leian tõenäosuse, et viiest kaardist tuleb kaks potit

avaldis
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et viiest kaartist tuleb kaks potit on avaldis.

d) Leian tõenäosuse, et kuuest võetud kaardist tuleb kaks ässa

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et kuuest kaartist tuleb kaks ässa on avaldis.

e) Leian tõenäosuse, et viiest võetud kaardist tuleb null ässa

avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et viiest võetud kaardist tuleb üks äss

avaldis
avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et viiest võetud kaardist tuleb vähemalt kaks ässa.

avaldis
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et viiest kaartist tuleb vähemalt kaks ässa on avaldis.

Ülesanne

Urnis on avaldis valget ja avaldis musta kuuli. Kui suur on tõenäosus, et urnist juhuslikult võetud:
a) kuuest kuulist on kaks musta värvi;
b) kaheksast kuulist on viis valget värvi;
c) seitsmest kuulist on neli musta värvi;
d) neljast kuulist on vähemalt kolm valget värvi;
e) viiest kuulist on vähemalt üks musta värvi?

Lahendus

a) Leian tõenäosuse, et kuuest võetud kuulist on kaks musta värvi

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Kuuest kuulist kahe musta kuuli tulemise tõenäosus on avaldis.

b) Leian tõenäosuse, et kaheksast võetud kuulist on viis valget värvi

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Kaheksast kuulist viie valge kuuli tulemise tõenäosus on avaldis.

c) Leian tõenäosuse, et seitsmest võetud kuulist on neli musta värvi

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Seitsmest kuulist nelja musta kuuli tulemise tõenäosus on avaldis.

d) Leian tõenäosuse, et neljast võetud kuulist on kolm musta värvi

avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et neljast võetud kuulist on neli musta värvi

avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et neljast võetud kuulist on vähemalt kolm musta värvi

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et neljast võetud kuulist on vähemalt kolm musta värvi on avaldis.

e) Leian tõenäosuse, et viiest võetud kuulist on null musta värvi

avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et viiest võetud kuulist on vähemalt üks musta värvi

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et viiest võetud kuulist on vähemalt üks musta värvi on avaldis.

Kodune ülesanne

1. Korvpalluri vabaviske tabavusprotsent on avaldis. Leia tõenäosus, et ta tabab:
a) viiest viskest kaks;
b) neljast viskest kaks;
c) kuuest viskest neli;
d) kaheksast viskest kuus;
e) viiest viskest vähemalt neli;
f) neljast viskest vähemalt ühe.

2. Urnis on avaldis valget, avaldis musta ja avaldis punast kuuli. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult võetud:
a) neljast kuulist on kaks musta;
b) viiest kuulist on kaks musta ja kolm punast kuuli;
c) kuuest kuulist on neli musta kuuli;
d) seitsmest kuulist on neli valget ja kolm punast kuuli;
e) kaheksast kuulist on kolm valget kuuli?

3. Kaardipakis on avaldis kaarti. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult võetud:
a) neljast kaartist on kaks musta värvi kaarti;
b) viiest võetud kaartist on neli ristimastist kaarti;
c) kuuest võetud kaartist on kaks ässa;
d) seitsmest võetud kaartist on viis punast kaarti ja kaks potimastist kaarti;
e) kaheksast võetud kaartist on kolm kõrget kaarti (kõrgeks kaartiks lugeda kaartid sõdurist kuni ässani)?

Geomeetriline tõenäosus

Kui mingi geomeetrilise piirkonna, mille mõõde on S, tabamine on kindel, siisselle piirkonna osapiirkonna, mille mõõde on s, tabamise tõenäosus on:

avaldis
Näide

Leia geomeetriline tõenäosus.

Näide geomeetrilisest tõenäosusest

Näide geomeetrilisest tõenäosusest

Lahendus

Leian kogu pindala

avaldis

Leian osapiirkonna pindala

avaldis

Leian geomeetrilise tõenäosuse

avaldis

Vastus: Geomeetriline tõenäosus on avaldis.

Ülesanne

Leia geomeetriline tõenäosus.

Ruudu sees olev ring

Ruudu sees olev ring

Lahendus

Leian ruudu pindala

avaldis

Leian ringi raadiuse

avaldis

Leian ringi pindala

avaldis

Leian ruudu selle osa pindala, mis jääb ringist välja

avaldis

Leian viirutatud osa pindala

avaldis

Leian geomeetrilise tõenäosuse

avaldis

Vastus: Geomeetriline tõenäosus on avaldis.

Ülesanne

Leia geomeetriline tõenäosus

Ruudu sees olev ring 1

Ruudu sees olev ring 1

Lahendus

Tähistan ruudu külje tundmatuga avaldis

Leian ruudu pindala

avaldis

Leian ringi raadiuse

avaldis

Leian ringi pindala

avaldis

Leian geomeetrilise tõenäosuse

avaldis

Vastus: Geomeetriline tõenäosus on avaldis.

Ülesanne

Leia geomeetriline tõenäosus

Ristküliku sees olevad ringid

Ristküliku sees olevad ringid

Leian ringi raadiuse

avaldis

Leian ühe ringi pindala

avaldis

Leian kahe ringi pindala

avaldis

Leian viirutatud täisnurkse kolmnurga pindala

avaldis

Leian viirutatud osa pindala

avaldis

Leian ristküliku pindala

avaldis

Leian geomeetrilise tõenäosuse

avaldis

Vastus: Geomeetriline tõenäosus on avaldis.

Kodune ülesanne

Leia geomeetriline tõenäosus

Ristkülik viirutatud kolmnurga ja kahe ringiga

Ristkülik viirutatud kolmnurga ja kahe ringiga

Kodune ülesanne

Leia geomeetriline tõenäosus

Ruudu sees olev viirutatud kujund

Ruudu sees olev viirutatud kujund

Kordamine

1. Urnis on avaldis valget, avaldis musta ja avaldis rohelist kuuli. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikul võtmisel võetakse urnist:
a) must kuul;
b) valge või roheline kuul;
c) kaks valget kuuli;
d) kolm rohelist kuuli;
e) kahest kuulist üks must kuul;
f) kahest kuulist üks valge ja üks must kuul;
g) kolmest kuulist üks must kuul;
h) kaheksast kuulist viis valget ja kolm rohelist kuuli?

2. Kaardipakis on avaldis kaarti. Kui suur on tõenäosus, et pakist juhuslikul võtmisel tuleb:
a) must kõrge kaart (kõrge kaarti vahemik on sõdur kuni äss);
b) kaks ärtumastist kaarti;
c) kolm punast värvi kaarti;
d) kahest kaartist üks äss;
e) kahest võetud kaartist on üks ruutumastist ja teine must kaart;
f) kolmest võetud kaartist on üks must emand;
g) kuuest võetud kaartist on neli ristimastist kaarti ja kaks punast ässa?

3. Korvpallur viskab vabaviskeid avaldis tabavusega. Leia tõenäosus, et ta:
1) tabab ühe vabaviske;
2) ei taba ühte vabaviset;
3) tabab mõlemad kahest vabaviskest;
4) ei taba kumbagi kahest vabaviskest;
5) tabab kahest vabaviskest ühe;
6) tabab kõik kolm vabaviset;
7) tabab kolmest vabaviskest ühe;
8) tabab seitsmest vabaviskest viis.

4. Leia geomeetriline tõenäosus.

Ruudu sees viirutatud kolmnurk ja ringid

Ruudu sees viirutatud kolmnurk ja ringid

5. Leia mitu erinevat kuuekohalist arvu on võimalik moodustada, milles:
a) viimane number jagub kolmega ja ükski number ei kordu;
b) kolm esimest numbrit ja kolm viimast numbrit ühtivad, kuid kõik numbrid arvus ei ühti;
c) kaks esimest numbrit on paaritud arvud ja neli viimast numbrit on paaritud arvud.

6. Restorani menüüs on avaldis praadi, avaldis suppi ja avaldis magustoitu. Mitmel erineval moel on võimalik:
a) järjestada menüüs olevad praed;
b) külastajal valida endale kaks suppi;
a) külastajal valida endale kolmekäiguline lõuna;
b) külastajal valida endale kahekäiguline lõuna, milles on praad ja magustoit;
d) külastajal valida endale kahekäiguline lõuna, mille üks komponent on magustoit?

7. Korvpalli meeskonnas on kokku avaldis mängijat, kuid korraga platsile lastakse neist vaid avaldis mängijat. Mitu:
a) erinevat koosseisu on võimalik treeneril mängima lasta;
b) erinevat järjestatud koosseisu on võimalik treeneril mängima lasta?