Tuletise kordamine

Märkus

Tuletise kordamise põhjuseks on seos tuletise ja integraali vahel (tuletis ja integraal on teineteise pöördtehted).

Elementaarfunktsioonide tuletised

1. Konstandi tuletis

avaldis
Näited
avaldis
avaldis
avaldis

2. Konstandi ja tundmatu avaldis korrutise tuletis

avaldis
Näited
avaldis
avaldis

3. Astmefunktsiooni tuletis

avaldis
Näited
avaldis
avaldis
avaldis

4. Ruutjuure tuletis

avaldis

5. Arvu ja tundmatu avaldis jagatise tuletis

avaldis

6. Arvu avaldis astmes avaldis tuletis

avaldis

7. Naturaallogaritmi tuletis

avaldis

8. Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

avaldis
avaldis
avaldis
Tuletisega seotud tehted

1. Konstandi ja funktsiooni korrutise tuletis

avaldis
Näide
avaldis

2. Funktsioonide summa ja vahe tuletis

avaldis
Näide
avaldis

3. Funktsioonide korrutise tuletis

avaldis
Näide
avaldis

4. Funktsioonide jagatise tuletis

avaldis
Näide
avaldis
avaldis

5. Liitfunktsiooni tuletis

avaldis
Näide
avaldis
Ülesanne

Leia funktsioonide tuletised

avaldis
avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ülesanne

Leia funktsioonide tuletised

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ülesanne

Leia funktsioonide tuletised

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Määramata integraal

Määramata integraali leidmine tuletise abil

Kuna tuletis ja määramata integraal on teineteise pöördtehted, siis määramata integraali leidmiseks tuleb leida funktsioon, mille tuletis annab tulemuseks algfunktsiooni.

avaldis
Märkus

Kuna konstandi avaldis tuletis on avaldis, siis kõik määramata integraalid lõppevad liikmega avaldis.

Näited
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Märkus

Kui integreeritav funktsioon on esitatud murruna, mille lugeja on avaldis, siis esitatakse enamasti integraal kujul, kus lugeja avaldis on korrutatud integraali juurde käiva komponendiga avaldis.

Näited
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Integreerimise põhivalemid

avaldis
Näide
avaldis
avaldis
Näited
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ülesanne

Leia määramata integraalid

avaldis
avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ülesanne

Leia määramata integraalid

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ülesanne

Leia määramata integraalid

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ülesanne

Leia määramata integraalid

avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kodune ülesanne

Leia määramata integraalid

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Integraali leidmine muutuja vahetuse abil

Näide

Leia määramata integraal kasutades muutujavahetust

avaldis
Lahendus

Teen muutujavahetuse

avaldis

Diferentseerin võrduse mõlemat poolt

avaldis

Asendades avaldise avaldis asemele tundmatu avaldis ja avaldise avaldis asemele suuruse avaldis, saan esialgsele integraalile vastava kuju:

avaldis

Teen tagasi asenduse ja saan antud integraali tundmatu avaldis suhtes

avaldis
Näide

Leia määramata integraal kasutades muutujavahetust

avaldis
Lahendus

Teen muutujavahetuse

avaldis

Diferentseerin võrduse mõlemat poolt

avaldis

Avaldan antud võrdusest liikme avaldis

avaldis

Asendades avaldise avaldis asemele tundmatu avaldis ja liikme avaldis asemele avaldise avaldis, saan esialgsele integraalile vastava kuju:

avaldis

Teen tagasi asenduse ja saan antud integraali tundmatu avaldis suhtes

avaldis
Näide

Leia määramata integraal kasutades muutujavahetust

avaldis
Lahendus

Toon murru lugejas teguri avaldis sulgude ette

avaldis

Teen muutujavahetuse

avaldis

Diferentseerin võrduse mõlemat poolt

avaldis

Asendades avaldise avaldis asemele tundmatu avaldis ja avaldise avaldis asemele suuruse avaldis, saan esialgsele integraalile vastava kuju:

avaldis

Teen tagasi asenduse ja saan antud integraali tundmatu avaldis suhtes

avaldis
Ülesanne

Leia määramata integraalid kasutades muutujavahetust

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kodune ülesanne

Leia määramata integraalid kasutades muutujavahetust

avaldis
avaldis

Määratud integraal

Määratud integraali leidmise valem
avaldis
Määramata integraali leidmise selgitus

1. Leian määramata integraali (liikme avaldis võib kirjutamata jätta).
2. Asendan integraali ülemise raja avaldis saadud avaldisse.
3. Asendan integraali alumise raja avaldis saadud avaldisse.
4. Lahutan kahes eelnevas punktis saadud tulemused (kui esimeses punktis saadud avaldis on hulkliige, siis on mõistlik kolmandas punktis saadud tulemusele märkida ümber sulud).

Näide

Leia määratud integraal

avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
Näide

Leia määratud integraal

avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ülesanne

Leia määratud integraalid

avaldis
avaldis
avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kodune ülesanne

Leia määratud integraalid

avaldis
avaldis
avaldis

Kordamine

1. Leia määramata integraalid

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

2. Leia määratud integraalid

avaldis
avaldis