Ruut ja ristkülik

Ruudu ümbermõõdu ja pindala valemid
Ruut

Ruut

avaldis
avaldis
Ristküliku ümbermõõdu ja pindala valemid
Ristkülik

Ristkülik

avaldis
avaldis
Ruudu omadused

1. Ruudu küljed on võrdsed.
2. Ruudu külgede vahel on täisnurgad.

Ristküliku omadused

1. Ristküliku vastasküljed on võrdsed.
2. Ristküliku külgede vahel on täisnurgad.

Ülesanne

Ruudu diagonaal on avaldis. Leia ruudu ümbermõõt ja pindala.

Lahendus
Ruut nr. 1

Ruut nr. 1

Leian ruudu külje avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ruudu ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Ruudu ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Ristküliku üks külg on avaldis ja diagonaal on avaldis. Leia ristküliku ümbermõõt ja pindala.

Lahendus
Ristkülik nr. 1

Ristkülik nr. 1

avaldis

Leian ristküliku ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Ristküliku ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Ristküliku külg on avaldis ning diagonaali ja sama külje vaheline nurk on avaldis. Leia ristküliku ümbermõõt ja pindala.

Lahendus

Teen joonise ja tähistan ristküliku puuduva külje tundmatuga avaldis

Ristkülik nr. 5

Ristkülik nr. 5

Leian külje avaldis

avaldis
avaldis

Leian ristküliku ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Ristküliku ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Ruudu külje pikkus suureneb avaldis võrra. Mitme protsendi võrra suureneb ruudu ümbermõõt ja pindala?

Lahendus

Esialgne ruut:

Külje pikkus

avaldis

Ümbermõõt

avaldis

Pindala

avaldis

Ruut pärast külje pikkuse suurendamist:

Külje pikkus

avaldis

Ümbermõõt

avaldis

Pindala

avaldis

Kui esialgne ümbermõõt oli avaldis ja peale külje suurendamist oli ümbermõõt avaldis, siis järelikult on ümbermõõt nüüd esialgsega võrreldes avaldis. Järelikult on ümbermõõt kasvanud avaldis võrra.

Kui esialgne pindala oli avaldis ja peale külje suurendamist oli pindala avaldis, siis järelikult on pindala nüüd esialgsega võrreldes avaldis. Järelikult on pindala kasvanud avaldis võrra.

Vastus: Ümbermõõt suurenes avaldis võrra ja pindala suurenes avaldis võrra.

Ülesanne

Ristküliku ühe külje pikkus suureneb avaldis võrra ja teise külje pikkus väheneb avaldis võrra. Mitme protsendi võrra suureneb või väheneb ristküliku pindala?

Lahendus

Esialgne ristkülik:

Külje pikkused

avaldis

Pindala

avaldis

Ristkülik peale ühe külje suurendamist ja teise külje vähendamist:

Külje pikkused

avaldis

Pindala

avaldis

Kui esialgne pindala oli avaldis ja peale ühe külje suurendamist ja teise külje vähendamist oli pindala avaldis, siis järelikult on ümbermõõt nüüd esialgsega võrreldes avaldis. Järelikult on pindala vähenenud avaldis võrra.

Vastus: Ristküliku pindala vähenes avaldis võrra.

Ülesanne

Ristküliku külje pikkused erinevad teineteisest avaldis võrra. Leia ristküliku pindala, kui on teada, et ristküliku ümbermõõt on avaldis.

Lahendus

Tähistan ristküliku küljed tundmatutega

Ristkülik nr. 2

Ristkülik nr. 2

Koostan võrrandi ja leian sealt ristküliku lühema külje

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ristküliku pikema külje

avaldis

Leian ristküliku pindala

avaldis

Vastus: Ristküliku pindala on avaldis.

Ülesanne

Ruudukujulisel maalapil, mille külje pikkus on avaldis, pikendati ühte külge. Leia uue maalapi ümbermõõt, kui on teada, et maalapi pindala suurenes selle tulemusel avaldis võrra.

Lahendus

Tähistan joonisel külje pikenemise tundmatuga avaldis

Ristkülik nr. 3

Ristkülik nr. 3

Leian esialgse maatüki pindala

avaldis

Leian ristküliku pindala peale külje pikenemist

avaldis

Koostan võrrandi leian sealt tundmatu avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian maalapi pikendatud külje pikkuse

avaldis

Leian uue maalapi ümbermõõdu

avaldis

Vastus: Uue maalapi ümbermõõt on avaldis.

Ülesanne

Leia ristküliku küljed, kui on teada, et selle ristküliku ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Lahendus
Ristkülik nr. 4

Ristkülik nr. 4

Kuna ristküliku ümbermõõt on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis

Kuna ristküliku pindala on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis

Saan süsteemi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Ristküliku küljed on avaldis ja avaldis.

Kodune ülesanne

Ristküliku küljed suhtuvad teineteisesse nagu avaldis. Leia ristküliku ümbermõõt, pindala ning nurk pikema külje ja diagonaali vahel, kui on teada, et ristküliku diagonaal on avaldis.

Romb

Rombi ümbermõõdu ja pindala valemid
Romb nr. 1

Romb nr. 1

avaldis
avaldis
Rombi omadused

1. Rombi küljed on võrdsed.
2. Rombi diagonaalid poolitavad teineteist.
3. Rombi diagonaal poolitab rombi nurga.

Ülesanne

Rombi külg on avaldis ja rombi üks diagonaal on avaldis. Leia rombi pindala.

Lahendus
Romb nr. 2

Romb nr. 2

Tähistan poole rombi diagonaalist tundmatuga avaldis, jagan teise diagonaali avaldis pooleks ja leian antud jooniselt tundmatu avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 40

Täisnurkne kolmnurk nr. 40

avaldis

Leian diagonaali avaldis

avaldis

Leian rombi pindala

avaldis

Vastus: Rombi pindala on avaldis.

Ülesanne

Rombi pikem diagonaal on avaldis ja rombi nürinurk on avaldis. Leia rombi ümbermõõt ja pindala.

Lahendus
Romb nr. 3

Romb nr. 3

Tähistan poole rombi diagonaalist tundmatuga avaldis, jagan rombi nürinurga pooleks ja leian antud jooniselt tundmatud avaldis ja avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 41

Täisnurkne kolmnurk nr. 41

avaldis
avaldis

Leian rombi diagonaali avaldis

avaldis

Leian rombi ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Rombi ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Rombi ümbermõõt on avaldis ja rombi teravnurk on avaldis. Leia rombi pindala.

Lahendus
Romb nr. 4

Romb nr. 4

Leian rombi külje avaldis

avaldis

Tähistan pool diagonaalist avaldis tundmatuga avaldis ja pool diagonaalist avaldis tundmatuga avaldis, jagan teravnurga avaldis pooleks ja leian antud jooniselt tundmatud avaldis ja avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 42

Täisnurkne kolmnurk nr. 42

avaldis
avaldis

Leian rombi diagonaalid avaldis ja avaldis

avaldis
avaldis

Leian rombi pindala

avaldis

Vastus: Rombi pindala on avaldis.

Ülesanne

Rombi diagonaalid on avaldis ja avaldis. Leia rombi ümbermõõt ja teravnurk.

Lahendus
Romb nr. 5

Romb nr. 5

Jagan rombi diagonaalid avaldis ja avaldis, tähistan poole teravnurgast avaldis tundmatuga avaldis ja leian antud jooniselt rombi külje avaldis ja nurga avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 43

Täisnurkne kolmnurk nr. 43

avaldis
avaldis
avaldis

Leian rombi teravnurga avaldis

avaldis

Leian rombi ümbermõõdu

avaldis

Vastus: Rombi ümbermõõt on avaldis ja teravnurk on avaldis.

Ülesanne

Rombi diagonaalide summa on avaldis. Leia rombi ümbermõõt, kui on teada, et rombi pindala on avaldis.

Lahendus
Romb nr. 6

Romb nr. 6

Kuna diagonaalide summa on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis

Kuna rombi pindala on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis

Saan süsteemi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Rombi diagonaalid on järelikult:

avaldis
avaldis

Jagan rombi diagonaalid avaldis ja avaldis pooleks ja leian antud jooniselt rombi külje avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 44

Täisnurkne kolmnurk nr. 44

avaldis

Leian rombi ümbermõõdu

avaldis

Vastus: Rombi ümbermõõt on avaldis.

Ülesanne

Rombi üks diagonaal on teisest avaldis võrra suurem. Leia rombi nürinurk, kui on teada, et rombi pindala on avaldis.

Lahendus
Romb nr. 7

Romb nr. 7

Kuna rombi pindala on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna rombi diagonaal ei saa olla negatiivne, siis on ainus rombi sobiv diagonaal:

avaldis

Leian rombi teise diagonaali

avaldis

Jagan rombi diagonaalid avaldis ja avaldis pooleks ning tähistan poole rombi nürinurgast tundmatuga avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 45

Täisnurkne kolmnurk nr. 45

avaldis
avaldis

Leian rombi nürinurga avaldis

avaldis

Vastus: Rombi nurinurk on avaldis.

Ülesanne

Rombi külg ja üks diagonaalidest suhtuvad nagu avaldis. Leia rombi ümbermõõt ja pindala, kui on teada, et rombi teine diagonaal on avaldis.

Lahendus

Tähistan külje ja diagonaali vahelises suhtes ühe osa tundmatuga avaldis

Romb nr. 8

Romb nr. 8

Jaotan diagonaalid avaldis ja avaldis pooleks ja leian Pythagorase teoreemi abil jooniselt tundmatu avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 46

Täisnurkne kolmnurk nr. 46

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna külje ja diagonaali vahelises suhtes ühe osa väärtus ei saa olla negatiivne, siis järelikult on ühe osa väärtus:

avaldis

Leian puuduva diagonaali avaldis ja rombi külje pikkuse avaldis

avaldis
avaldis

Leian rombi ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Rombi ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Kodune ülesanne

Rombi diagonaalide pikkused on kaks järjestikust paarisarvu. Leia rombi ümbermõõt, pindala ja nürinurk, kui on teada, et rombi diagonaalide summa on avaldis.

Trapets

Trapetsi ümbermõõdu ja pindala valemid
Trapets

Trapets

avaldis
avaldis
Ülesanne

Võrdhaarse trapetsi alused on avaldis ja avaldis ning kõrgus on avaldis. Leia trapetsi ümbermõõt, pindala ja teravnurk.

Lahendus
Trapets nr. 1

Trapets nr. 1

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian trapetsi ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Trapetsi ümbermõõt on avaldis, pindala on avaldis ja teravnurk on avaldis.

Ülesanne

Täisnurkse trapetsi alused on avaldis ja avaldis ning teravnurk on avaldis. Leia trapetsi ümbermõõt ja pindala.

Lahendus
Trapets nr. 2

Trapets nr. 2

avaldis
avaldis
avaldis

Leian trapetsi ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Trapetsi ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Trapetsi pikem alus on avaldis, kõrgus on avaldis ja teravnurgad on avaldis ja avaldis. Leia trapetsi ümbermõõt ja pindala.

Lahendus
Trapets nr. 3

Trapets nr. 3

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian trapetsi ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Trapetsi ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Täisnurkse trapetsi kõrgus on avaldis ja pikem diagonaal on avaldis. Leia trapetsi ümbermõõt ja pindala, kui on teada, et trapetsi lühem alus on pikemast alusest avaldis lühem.

Lahendus
Trapets nr. 4

Trapets nr. 4

avaldis
avaldis

Teen sama joonise ilma diagonaalita ja kannan joonisele trapetsi kõrguse

Trapets nr. 5

Trapets nr. 5

avaldis
avaldis

Leian trapetsi ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Trapetsi ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Võrdhaarse trapetsikujulise maalapi lühem alus, kõrgus ja pikem alus suhtuvad teineteisesse nagu avaldis. Leia trapetsi ümbermõõt ja pindala, kui on teada, et trapetsikujulise maatüki haar on avaldis.

Lahendus

Tähistan trapetsi lühema aluse tundmatuga avaldis, järelikult kõrgus on avaldis ja pikem alus on avaldis. Lisaks tähistan joonisele tekkinud täisnurkse kolmnurga kaateti tundmatuga avaldis.

Trapets nr. 6

Trapets nr. 6

Leian tundmatu avaldis tundmatu avaldis kaudu

avaldis

Leian antud täisnurksest kolmnurgast tundmatu avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 47

Täisnurkne kolmnurk nr. 47

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna trapetsi lühem alus ei saa olla negatiivne, siis on ainus sobiv trapetsi lühem alus:

avaldis

Leian trapetsi kõrguse

avaldis

Leian trapetsi pikema aluse

avaldis

Leian trapetsi ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Trapetsikujulise maalapi ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Täisnurkse trapetsi alused erinevad teineteisest avaldis võrra ja trapetsi teravnurk on avaldis. Leia trapetsi ümbermõõt ja pindala, kui on teada, et trapetsi lühem alus on trapetsi kõrgusest avaldis võrra pikem.

Lahendus
Trapets nr. 7

Trapets nr. 7

Kuna trapetsi alused erinevad teineteisest avaldis võrra, siis:

avaldis
Täisnurkne kolmnurk nr. 48

Täisnurkne kolmnurk nr. 48

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian trapetsi ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Trapetsi ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Võrdhaarse trapetsi pikem alus on lühemast alusest avaldis korda pikem. Leia trapetsi pindala ja teravnurk, kui on teada, et trapetsi ümbermõõt on avaldis ja pikema aluse ja haara summa on avaldis.

Lahendus
Trapets nr. 8

Trapets nr. 8

Kuna trapetsi ümbermõõt on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis

Kuna trapetsi pikema aluse ja haara summa on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis

Saan süsteemi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian trapetsi pikema aluse

avaldis

Teen joonise leitud suurustega

Trapets nr. 9

Trapets nr. 9

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian trapetsi pindala

avaldis

Vastus: Trapetsi pindala on avaldis ja teravnurk on avaldis.

Kodune ülesanne

Võrdhaarse trapetsi kõrgus on avaldis ja haar on avaldis. Leia trapetsi ümbermõõt, pindala ja teravnurk, kui on teada, et trapetsi alused erinevad teineteisest avaldis võrra.

Rööpkülik

Rööpküliku ümbermõõdu ja pindala valemid
Rööpkülik nr. 1

Rööpkülik nr. 1

avaldis
avaldis
avaldis
Rööpküliku omadused

1. Röpküliku diagonaalid poolitavad teineteist.
2. Rööpküliku diagonaalid jagavad rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks.
3. Rööpküliku vastasnurgad on võrdsed.
4. Rööpküliku lähisnurkade summa on avaldis.
5. Rööpküliku vastasküljed on võrdsed.

Ülesanne

Rööpküliku küljed on avaldis ja avaldis ning külgede vaheline nurk on avaldis. Leia rööpküliku diagonaalid ja pindala.

Lahendus
Rööpkülik nr. 2

Rööpkülik nr. 2

avaldis
avaldis
Rööpkülik nr. 3

Rööpkülik nr. 3

avaldis
Rööpkülik nr. 4

Rööpkülik nr. 4

avaldis

Vastus: Rööpküliku diagonaalid on avaldis ja avaldis ning rööpküliku pindala on avaldis.

Ülesanne

Rööpküliku küljed suhtuvad teineteisesse nagu avaldis. Leia rööpküliku teravnurk, kui on teada, et rööpküliku ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Lahendus
Rööpkülik nr. 5

Rööpkülik nr. 5

Kuna rööpküliku ümbermõõt on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis

Leian rööpküliku lühema külje

avaldis

Leian rööpküliku pikema külje

avaldis

Leian rööpküliku kõrguse avaldis

avaldis
avaldis

Teen täisnurkse kolmnurga kujulise joonise koos leitud suurustega ja leian sealt rööpküliku teravnurga avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 49

Täisnurkne kolmnurk nr. 49

avaldis
avaldis

Vastus: Rööpküliku teravnurk on avaldis.

Ülesanne

Rööpküliku, mille külje pikkus on avaldis ja diagonaali pikkus on avaldis, vahel on täisnurk. Leia selle rööpküliku ümbermõõt ja pindala.

Lahendus
Rööpkülik nr. 6

Rööpkülik nr. 6

avaldis

Leian rööpküliku ümbermõõdu

avaldis

Leian rööpküliku pindala

avaldis

Vastus: Rööpküliku ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Rööpküliku külje pikkused on avaldis ja avaldis. Leia rööpküliku pindala, kui on teada, et rööpküliku nurgad suhtuvad teineteisesse nagu avaldis.

Lahendus
Rööpkülik nr. 7

Rööpkülik nr. 7

Kuna rööpküliku lähisnurkade summa on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis

Leian rööküliku teravnurga

avaldis

Leian rööpküliku pindala

avaldis

Vastus: Rööpküliku pindala on avaldis.

Ülesanne

Rööpküliku diagonaal pikkusega avaldis jagab rööpküliku nürinurga osadeks nii, et üks osa on teisest avaldis suurem. Leia rööpküliku ümbermõõt ja pindala, kui on teada, et rööpküliku teravnurk on avaldis.

Lahendus
Rööpkülik nr. 8

Rööpkülik nr. 8

Kuna rööpküliku lähisnurkade summa on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian nurga avaldis

avaldis

Teen joonise leitud vajalike suurustega

Rööpkülik nr. 9

Rööpkülik nr. 9

avaldis
avaldis

Leian rööpküliku ümbermõõdu

avaldis

Leian rööpküliku pindala

avaldis

Vastus: Rööpküliku ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Kodune ülesanne

Rööpküliku diagonaalid on avaldis ja avaldis. Leia rööpküliku ümbermõõt ja pindala, kui on teada, et diagonaalidevaheline nürinurk on avaldis.

Ringjoon

Ringjoone ümbermõõdu ja pindala valemid
Ringjoon

Ringjoon

avaldis
avaldis
avaldis
Ringjoone omadus

Ringjoone puutuja on raadiusega risti.

Ülesanne

Ringjoone kõõl pikkusega avaldis asub ringjoone keskpunktist avaldis kaugusel. Leia ringjoone ümbermõõt ja pindala.

Lahendus
Ringjoon nr. 1

Ringjoon nr. 1

Jagan kõõlu pooleks ja saan ringjoone raadiuse leidmiseks sobiva täisnurkse kolmnurga

Täisnurkne kolmnurk nr. 50

Täisnurkne kolmnurk nr. 50

avaldis

Leian ringjoone ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Ringjoone ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Ringjoone raadius väheneb avaldis võrra. Mitme protsendi võrra väheneb ringjoone ümbermõõt ja pindala?

Lahendus

Esialgne ringjoon:

Raadius

avaldis

Ümbermõõt

avaldis

Pindala

avaldis

Ruut pärast külje pikkuse suurendamist:

Raadius

avaldis

Ümbermõõt

avaldis

Pindala

avaldis

Esialgsest ümbermõõdust jäi järgi avaldis ja esialgsest pindalast jäi järgi avaldis.
Järelikult ümbermõõt vähenes avaldis ja pindala vähenes avaldis.

Vastus: Ringjoone ümbermõõt vähenes avaldis ja pindala vähenes avaldis.

Ülesanne

Ümber ristküliku, mille küljed on avaldis ja avaldis, on konstrueeritud ringjoon. Leia selle ringjoone ümbermõõt ja pindala.

Lahendus
Ringjoon nr. 2

Ringjoon nr. 2

avaldis

Leian ringjoone raadiuse avaldis

avaldis

Leian ringjoone ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Ringjoone ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Ringjoone kõõlu, mille pikkus on avaldis, ühendamisel ringjoone keskpunktiga tekib kolmnurk tipunurgaga avaldis. Mitu protsenti moodustab antud kolmnurga pindala ringi pindalast? Vastus andke täpsusega avaldis.

Lahendus
Ringjoon nr. 3

Ringjoon nr. 3

Kuna kolmnurga sisenurkade summa on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ringjoone raadiuse avaldis

avaldis

Leian kolmnurga pindala

avaldis

Leian ringjoone pindala

avaldis

Mitu protsenti moodustab kolmnurga pindala ringi pindalast?

avaldis

Vastus: Kolmnurga pindala moodustab ringi pindalast avaldis.

Ülesanne

Ringjoone raadius on avaldis. Ringjoone puutuja ja raadiuse pikenduse lõikepunkt asub ringjoonest avaldis kaugusel. Leia kaugus ringjoone puutepunkti ning raadiuse pikenduse lõikepunkti vahel.

Lahendus
Ringjoon nr. 4

Ringjoon nr. 4

Otsitava kauguse avaldis leidmiseks kasutan järgmist täisnurkset kolmnurka (hüpotenuus on eelmisel joonisel näha olevate lõikude avaldis ja avaldis summa)

Täisnurkne kolmnurk nr. 51

Täisnurkne kolmnurk nr. 51

avaldis

Vastus: Kaugus ringjoone puutepunkti ning raadiuse pikenduse lõikepunkti vahel on avaldis.

Ülesanne

Ringjoone raadiuse pikendus lõikub ringjoone puutujaga ringjoonest avaldis kaugusel. Leia selle ringjoone ümbermõõt ja pindala, kui on teada, et ringjoone puutepunkti ja raadiuse pikenduse lõikepunkti kaugus on avaldis.

Lahendus
Ringjoon nr. 5

Ringjoon nr. 5

Otsitava ringjoone raadiuse avaldis leidmiseks kasutan järgmist täisnurkset kolmnurka (hüpotenuus on eelmisel joonisel näha olevate lõikude avaldis ja avaldis summa)

Täisnurkne kolmnurk nr. 52

Täisnurkne kolmnurk nr. 52

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ringjoone ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Ringjoone ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Märkus

Antud ülesande lahendamiseks kasutasin summa ruudu valemit:

avaldis

Millise ringjoone raadiuse korral on pindala arvuliselt avaldis võrra suurem?

Kolmnurk

Kolmnurk nr. 12

Kolmnurk nr. 12

Kolmnurga ümbermõõdu valem
avaldis
Kolmnurga pindala valemid

1. Kolmnurga pindala valem, kui on teada kolmnurga alus ja temale tõmmatud kõrgus.

avaldis

2. Kolmnurga pindala valem, kui on teada kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk.

avaldis

3. Kolmnurga pindala valem, kui on teada kolmnurga kõik kolm külge (Heroni valem).

avaldis
avaldis
Ülesanne

Kolmnurga küljed on avaldis, avaldis ja avaldis. Leia kolmnurga pindala.

Lahendus
avaldis
avaldis

Vastus: Kolmnurga pindala on avaldis.

Ülesanne

Kolmnurgal, mille külje pikkused on avaldis, avaldis ja avaldis, suurendatakse esimest külge avaldis võrra, teist külge suurendatakse avaldis võrra ja kolmandat külge vähendatakse avaldis võrra. Mitme protsendi võrra suureneb või väheneb kolmnurga pindala?

Lahendus

Leian esialgse kolmnurga pindala

avaldis
avaldis

Leian uue kolmnurga külje pikkused

avaldis
avaldis
avaldis

Leian uue kolmnurga pindala

avaldis
avaldis

Mitu protsenti moodustab uue kolmnurga pindala esialgse kolmnurga pindalast?

avaldis

Mitme protsendi võrra pindala suurenes?

avaldis

Vastus: Kolmnurga pindala suurenes avaldis.

Ülesanne

Võrdhaarse kolmnurga haar on avaldis. Leia kolmnurga ümbermõõt ja pindala, kui kolmnurga tipunurk on avaldis.

Lahendus
Kolmnurk nr. 13

Kolmnurk nr. 13

Kuna kolmnurga sisenurkade summa on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian kolmnurga külje avaldis

avaldis

Leian kolmnurga ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Kolmnurga ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Võrdkülgse kolmnurga kõrgus on avaldis. Leia kolmnurga ümbermõõt ja pindala.

Lahendus
Kolmnurk nr. 14

Kolmnurk nr. 14

Kuna kolmnurga sisenurkade summa on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis

Leian kolmnurga külje avaldis

avaldis

Leian kolmnurga ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Kolmnurga ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Võrdhaarse kolmnurga tipunurk ja alusnurk suhtuvad teineteisesse nagu avaldis. Leia kolmnurga ümbermõõt ja pindala, kui on teada, et kolmnurga alus on avaldis.

Lahendus
Kolmnurk nr. 15

Kolmnurk nr. 15

Kuna kolmnurga sisenurkade summa on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis

Leian tipunurga

avaldis

Leian alusnurga

avaldis

Teen joonise leitud nurkadega ja leian sealt kolmnurga haara avaldis

Kolmnurk nr. 16

Kolmnurk nr. 16

avaldis

Leian kolmnurga ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Kolmnurga ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Leia võrdhaarse kolmnurga nurgad ja pindala, kui on teada, et haar on alusest avaldis võrra pikem ja kolmnurga ümbermõõt on avaldis.

Lahendus
Kolmnurk nr. 17

Kolmnurk nr. 17

Kuna kolmnurga ümbermõõt on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis

Leian kolmnurga haara

avaldis

Jagan aluse avaldis pooleks, tähistan pool tipunurgast tundmatuga avaldis, et leida antud täisnurksest kolmnurgast tundmatud avaldis ja avaldis

Kolmnurk nr. 18

Kolmnurk nr. 18

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian kolmnurga pindala

avaldis

Vastus: Kolmnurga nurgad on avaldis, avaldis ja avaldis ning kolmnurga pindala on avaldis.

Kodune ülesanne

On antud võrdkülgne kolmnurk küljepikkusega avaldis. Kui kolmnurga kõrgust vähendada avaldis võrra, siis mitme protsendi võrra väheneb uue võrdkülgse kolmnurga pindala?

Korrapärane kolmnurk ja korrapärane kuusnurk

Korrapärase hulknurga definitsioon

Korrapärane hulknurk on hulknurk, millel on kõik küljed ja nurgad võrdsed (antud peatükis vaatleme vaid kolmnurka ja kuusnurka, kuid see kehtib kõikide hulknurkade korral).

Korrapärase kolmnurga lahendamisel sagedasti kasutatav omadus

Korrapärase kolmnurga kõik nurgad on avaldis.

Kolmnurga mediaani definitsioon

Kolmnurga mediaan on lõik, mis ühendab kolmnurga tipu ja tema vastas oleva aluse keskpunkti.

Korrapärase kolmnurga lahendamisel sagedasti kasutatav omadus

Kolmnurga mediaanide lõikepunkt jaotab mediaani suhtes avaldis aluse poolt vaadates (mediaanide lõikepunkti vaadeldakse ka kui kolmnurga keskpunkti).

Selgitus

Kuna korrapärase kolmnurga mediaan ühtib kõrgusega, siis võib eelnevalt nimetatud omadust kasutada ka kolmnurga kõrguse korral.

Näide

Kui kaugel asub korrapärase kolmnurga keskpunkt kolmnurga alusest ja kolmnurga kõrgusest, kui kolmnurga külg on avaldis.

Lahendus
Kolmnurk nr. 19

Kolmnurk nr. 19

Jagan kolmnurga aluse avaldis pooleks ning tähistan kauguse alusest tundmatuga avaldis ja kauguse tipust tundmatuga avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 47

Täisnurkne kolmnurk nr. 47

Leian kolmnurga kõrguse avaldis

avaldis

Leian kolmnurga keskpunkti kauguse alusest (kõrgusest üks kolmandik)

avaldis

Leian kolmnurga keskpunkti kauguse tipust (kõrgusest kaks kolmandikku)

avaldis

Vastus: Kolmnurga keskpunkti kaugus alusest on avaldis ja kolmnurga keskpunkti kaugus tipust on avaldis.

Korrapärase kuusnurga lahendamisel sagedasti kasutatav omadus

Korrapärase kuusnurga diagonaalid jaotavad kuusnurga kuueks võrdseks võrdkülgseks kolmnurgaks.

Selgitus

Eelneva omaduse põhjal on korrapärase kuusnurga ülesannetes võimalik diagonaalide tõmbamisel moodustunud kolmnurkade kõik küljed lugeda võrdseks kuusnurga põhiservadega.

Näide

Korrapärase kuusnurga külg on avaldis. Leia kuusnurga pindala.

Lahendus
Korrapärane kuusnurk nr. 1

Korrapärane kuusnurk nr. 1

Leian diagonaalide poolt moodustatud ühe kolmnurga pindala

avaldis

Leian kuusnurga pindala

avaldis

Vastus: Kuusnurga pindala on avaldis.

Märkus

Antud pindala võib leida ka ühe tehte abil: avaldis korda ühe kolmnurga pindala.

Ülesanne

Lõik kolmnurga keskpunktist kolmnurga tipuni on avaldis. Leia kolmnurga ümbermõõt ja pindala.

Lahendus
Kolmnurk nr. 20

Kolmnurk nr. 20

Leian lõigu avaldis

avaldis

Leian kolmnurga kõrguse avaldis

avaldis

Leian antud täisnurksest kolmnurgast kolmnurga külje avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 48

Täisnurkne kolmnurk nr. 48

avaldis

Leian kolmnurga ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Vastus: Kolmnurga ümbermõõt on avaldis ja pindala on avaldis.

Ülesanne

Korrapärase kuusnurga külg on avaldis. Mitme protsendi võrra suureneb kuusnurga pindala, kui külje pikkust suurendada avaldis võrra?

Lahendus
Korrapärane kuusnurk nr. 2

Korrapärane kuusnurk nr. 2

Leian esialgse kuusnurga pindala

avaldis
Korrapärane kuusnurk nr. 3

Korrapärane kuusnurk nr. 3

Leian kuusnurga pindala, peale külje pikkuse avaldis võrra suurendamist

avaldis

Mitu protsenti moodustab hilisem pindala esialgsest pindalast?

avaldis

Mitu protsenti pindala suurenes?

avaldis

Vastus: Külje pikenemisel suurenes kuusnurga pindala avaldis.

Kordamine

1. Rombi ümbermõõt on avaldis. Leia rombi pindala, kui on teada, et rombi nürinurk on avaldis.

2. Võrdhaarse trapetsi pikem alus on avaldis ja trapetsi kõrgus on temast avaldis lühem. Leia trapetsi ümbermõõt, pindala ja teravnurk, kui on teada, et trapetsi haar on avaldis.

3. Kolmnurga nurgad suhtuvad teineteisesse nagu avaldis. Leia kolmnurga ümbermõõt ja pindala, kui on teada, et kolmnurga kõige lühem külg on avaldis.

4. Rööpküliku ühe külje kahekordne pikkus on võrdne teise külje kolmekordse pikkusega ja rööpküliku ümbermõõt on avaldis. Leia rööpküliku pindala, kui on teada, et rööpküliku kahe külje vaheline nurk on avaldis.