Prisma

Prisma külgpindala, täispindala ja ruumala valemid
Prisma

Prisma

avaldis
avaldis
avaldis
Tähiste selgitused

Prisma põhja ümbermõõt - avaldis
Prisma kõrgus - avaldis

Ülesanne

Prisma põhjaks on kolmnurk külgedega avaldis, avaldis ja avaldis. Leia prisma täispindala ja ruumala, kui on teada, et prisma kõrgus on avaldis.

Lahendus

Leian prisma põhja ümbermõõdu

avaldis

Leian prisma põhja pindala (kasutan Heroni valemit)

avaldis
avaldis

Leian prisma külgpindala

avaldis

Leian prisma täispindala

avaldis

Leian prisma ruumala

avaldis

Vastus: Prisma täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Prisma põhjaks on romb, mille diagonaalid on avaldis ja avaldis. Leia prisma täispindala ja ruumala, kui on teada, et prisma kõrgus on avaldis.

Lahendus

Teen joonise prisma põhjast

Romb nr. 9

Romb nr. 9

Jagan rombi diagonaalid avaldis ja avaldis pooleks ja saan rombi külje avaldis leidmiseks järgmise kolmnurga

Täisnurkne kolmnurk nr. 53

Täisnurkne kolmnurk nr. 53

avaldis

Leian põhja ümbermõõdu

avaldis

Leian põhja pindala

avaldis

Leian külgpindala

avaldis

Leian täispindala

avaldis

Leian ruumala

avaldis

Vastus: Prisma täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Prisma põhjaks on võrdhaarne trapets, mille alused on avaldis ja avaldis ning haar on avaldis. Leia prisma täispindala ja ruumala, kui on teada, et prisma kõrgus on avaldis.

Lahendus

Teen joonise prisma põhjast

Trapets nr. 10

Trapets nr. 10

avaldis
avaldis

Leian prisma põhja ümbermõõdu

avaldis

Leian prisma põhja pindala

avaldis

Leian prisma külgpindala

avaldis

Leian prisma täispindala

avaldis

Leian prisma ruumala

avaldis

Vastus: Prisma täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Korrapärase kolmnurkse prisma põhiserv on avaldis ja kõrgus on avaldis. Leia prisma täispindala ja ruumala.

Lahendus

Teen joonise prisma põhjast

Kolmnurk nr. 21

Kolmnurk nr. 21

Leian prisma põhja ümbermõõdu

avaldis

Leian prisma põhja pindala

avaldis

Leian prisma külgpindala

avaldis

Leian prisma täispindala

avaldis

Leian prisma ruumala

avaldis

Vastus: Prisma täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Prisma põhjaks on rööpkülik külgedega avaldis ja avaldis ning nürinurgaga avaldis. Leia prisma täispindala ja ruumala, kui prisma pikem diagonaal on avaldis.

Lahendus

Teen joonise prisma põhjast

Rööpkülik nr. 10

Rööpkülik nr. 10

Leian prisma põhja ümbermõõdu

avaldis

Leian põhja diagonaali avaldis

avaldis

Konstrueerin järgmise täisnurkse kolmnurga, et leida sealt prisma kõrgus avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 54

Täisnurkne kolmnurk nr. 54

avaldis

Leian prisma põhja pindala

avaldis

Leian prisma külgpindala

avaldis

Leian prisma täispindala

avaldis

Leian prisma ruumala

avaldis

Vastus: Prisma täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Korrapärase kuusnurkse prisma põhiserv on avaldis. Leia prisma täispindala ja ruumala, kui prisma põhja diagonaali ja prisma diagonaali vaheline nurk on avaldis.

Lahendus

Teen joonise prisma põhjast

Korrapärane kuusnurk nr. 4

Korrapärane kuusnurk nr. 4

Leian prisma põhja ümbermõõdu

avaldis

Leian põhja diagonaali avaldis

avaldis

Leian prisma põhja pindala

avaldis

Konstrueerin täisnurkse kolmnurga prisma kõrguse avaldis leidmiseks

Täisnurkne kolmnurk nr. 55

Täisnurkne kolmnurk nr. 55

avaldis

Leian prisma külgpindala

avaldis

Leian prisma täispindala

avaldis

Leian prisma ruumala

avaldis

Vastus: Prisma täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Korrapärase kolmnurkse prisma põhja kõrgus avaldis moodustab prisma diagonaaliga nurga avaldis. Leia prisma täispindala ja ruumala.

Lahendus

Teen joonise prisma põhjast

Kolmnurk nr. 22

Kolmnurk nr. 22

Leian prisma põhiserva avaldis

avaldis

Moodustan täisnurkse kolmnurga prisma kõrguse avaldis leidmiseks

Täisnurkne kolmnurk nr. 56

Täisnurkne kolmnurk nr. 56

avaldis

Leian prisma põhja ümbermõõdu

avaldis

Leian prisma põhja pindala

avaldis

Leian prisma külgpindala

avaldis

Leian prisma täispindala

avaldis

Leian prisma ruumala

avaldis

Vastus: Prisma täispindala on avaldis ja prisma ruumala on avaldis.

Kodune ülesanne

Prisma, mille kõrgus on avaldis, põhjaks on romb. Leia prisma täispindala ja ruumala, kui on teada, et prisma diagonaalid on avaldis ja avaldis.

Kodune ülesanne

Prisma põhjaks on võrdhaarne kolmnurk alusega avaldis ja alusnurgaga avaldis. Leia prisma täispindala ja ruumala, kui on teada, et prisma kõrgus on avaldis.

Risttahukas ja kuup

Risttahuka täispindala ja ruumala valemid
Risttahukas

Risttahukas

avaldis
avaldis
Kuubi täispindala ja ruumala valemid
Kuup

Kuup

avaldis
avaldis
Ülesanne

Risttahuka põhiservad suhtuvad teineteisesse nagu avaldis. Leia risttahuka ruumala ja diagonaal, kui on teada, et risttahuka täispindala on avaldis.

Lahendus

Tähistan risttahuka põhiservade suhtes ühe osa tundmatuga avaldis. Sel juhul on risttahuka küljed:

avaldis

Kuna risttahuka täispindala on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna külgede suhte üks osa ei saa olla negatiivne, siis on külgede suhte ühe osa väärtus:

avaldis

Risttahuka põhiservad on järelikult:

avaldis
avaldis
avaldis

Leian risttahuka ruumala

avaldis

Leian risttahuka väikseima tahu diagonaali avaldis

Ristkülik nr. 6

Ristkülik nr. 6

avaldis

Leian järgmisest risttahuka lõikest risttahuka diagonaali avaldis

Ristkülik nr. 7

Ristkülik nr. 7

avaldis

Vastus: Risttahuka ruumala on avaldis ja risttahuka diagonaal on avaldis.

Ülesanne

Kuubi täispindala on avaldis. Leia kuubi ruumala.

Lahendus

Tähistan kuubi serva tundmatuga avaldis

Kuna kuubi täispindala on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis

Kuna kuubi serv ei saa olla negatiivne, siis on kuubi serva ainus võimalik väärtus:

avaldis

Leian kuubi ruumala

avaldis

Vastus: Kuubi ruumala on avaldis.

Ülesanne

Kuubi täispindala on kuubi ruumalast avaldis võrra suurem. Leia selle kuubi serva pikkus.

Lahendus

Tähistan kuubi serva tundmatuga avaldis

Kuubi täispindala on järelikult:

avaldis

Kuubi ruumala on järelikult:

avaldis

Kuna kuubi täispindala on kuubi ruumalast avaldis võrra suurem, siis saan võrrandi:

avaldis

Võrduse poolte vahetamisel saan võrrandile kuju:

avaldis

Jagades võrrandi pooli läbi avaldisega avaldis, saan võrrandist kätte tundmatu avaldis

avaldis

Vastus: Selle kuubi serva pikkus on avaldis ühikut.

Ülesanne

Risttahuka kaks lühemat põhiserva on pikkusega avaldis ja avaldis. Leia risttahuka täispindala ja ruumala, kui on teada, et risttahuka väikseima pindalaga tahu ja diagonaali vaheline nurk on avaldis.

Lahendus

Teen joonise risttahuka väikseimast tahust, et leida sealt selle tahu diagonaal avaldis

Ristkülik nr. 8

Ristkülik nr. 8

avaldis

Leian järgmisest risttahuka lõikest risttahuka puuduva serva avaldis

Ristkülik nr. 9

Ristkülik nr. 9

avaldis

Leian risttahuka täispindala ja ruumala

avaldis
avaldis

Vastus: Risttahuka täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Risttahuka servasid suurendatakse vastavalt avaldis, avaldis ja avaldis. Mitme protsendi võrra suureneb selle tulemusel risttahuka ruumala?

Lahendus

Esialgne risttahukas:

Servade pikkused

avaldis

Ruumala

avaldis

Risttahukas peale servade suurendamist:

Servade pikkused

avaldis

Ruumala

avaldis

Kui esialgne ruumala oli avaldis ja peale servade suurendamist oli ruumala avaldis, siis järelikult on ruumala nüüd esialgsega võrreldes avaldis. Järelikult on ruumala suurenenud avaldis võrra.

Vastus: Ristküliku ruumala vähenes avaldis võrra.

Kodune ülesanne

Risttahuka servad on pikkustega avaldis, avaldis ja avaldis. Leia selle risttahukaga võrdse ruumalaga kuubi serv.

Kodune ülesanne

Kuubi serva pikkus vähenes avaldis. Mitme protsendi võrra vähenes selle tulemusel kuubi täispindala ja ruumala?

Püramiid

Püramiid nr. 2

Püramiid nr. 2

Püramiidi ruumala valem
avaldis
Korrapärase n-nurkse püramiidi külgpindala ja täispindala valemid
avaldis
Tähiste selgitused

Korrapärase püramiidi põhiservade arv - avaldis
Korrapärase püramiidi põhiserv - avaldis
Korrapärase püramiidi apoteem (lõik, mis ühendab püramiidi tippu ja põhiserva keskpunkti) - avaldis
Korrapärase püramiidi põhja apoteem (lõik, mis ühendab püramiidi põhja keskpunkti põhiserva keskpunktiga) - avaldis
Püramiidi kõrgus - avaldis

Märkus

Nendest valemitest ruumala valem kehtib kõigile püramiididele, kuid pindala valemid kehtivad ainult korrapäraste püramiidide korral.

Ülesanne

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on avaldis. Leia püramiidi täispindala ja ruumala, kui on teada, et püramiidi kõrgus on avaldis.

Lahendus

Teen joonise püramiidi põhjast

Ruut nr. 2

Ruut nr. 2

avaldis

Leian püramiidi põhja pindala

avaldis

Teen joonise vajalikust täisnurksest kolmnurgast, et leida sealt püramiidi apoteem avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 57

Täisnurkne kolmnurk nr. 57

avaldis

Leian püramiidi täispindala ja ruumala

avaldis
avaldis

Vastus: Püramiidi täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Korrapärase kuusnurkse püramiidi põhiserv on avaldis ning külgtahu ja põhja vaheline nurk on avaldis. Leia püramiidi täispindala ja ruumala.

Lahendus

Teen joonise püramiidi põhjast

Korrapärane kuusnurk nr. 5

Korrapärane kuusnurk nr. 5

Jagan põhiserva avaldis pooleks ja leian järgmisest täisnurksest kolmnurgast püramiidi põhja apoteemi avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 58

Täisnurkne kolmnurk nr. 58

avaldis

Leian püramiidi põhja pindala

avaldis

Teen joonise järgmisest täisnurksest kolmnurgast, et leida sealt püramiidi kõrgus avaldis ja püramiidi apoteem avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 59

Täisnurkne kolmnurk nr. 59

avaldis
avaldis

Leian püramiidi täispindala ja ruumala

avaldis
avaldis

Vastus: Püramiidi täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhiserv on avaldis. Leia püramiidi täispindala ja ruumala, kui on teada, et püramiidi apoteem on avaldis.

Lahendus

Teen joonise püramiidi põhjast

Kolmnurk nr. 23

Kolmnurk nr. 23

Jagan kolmnurga aluse avaldis pooleks ja leian järgmisest täisnurksest kolmnurgast püramiidi põhja kõrguse avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 60

Täisnurkne kolmnurk nr. 60

avaldis

Leian põhja apoteemi avaldis

avaldis

Leian püramiidi põhja pindala

avaldis

Leian järgmisest täisnurksest kolmnurgast püramiidi kõrguse avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 61

Täisnurkne kolmnurk nr. 61

avaldis

Leian püramiidi täispindala ja ruumala

avaldis
avaldis

Vastus: Püramiidi täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on avaldis. Leia püramiidi täispindala ja ruumala, kui on teada, et püramiidi külgserva ja põhja vaheline nurk on avaldis.

Lahendus

Teen joonise püramiidi põhjast ja leian põhja diagonaali avaldis

Ruut nr. 3

Ruut nr. 3

avaldis

Leian püramiidi põhja pindala

avaldis

Jagan diagonaali avaldis pooleks ja leian järgmisest täisnurksest kolmnurgast püramiidi kõrguse avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 62

Täisnurkne kolmnurk nr. 62

avaldis

Leian järgmiselt jooniselt põhja apoteemi avaldis

Ruut nr. 4

Ruut nr. 4

avaldis

Leian järgmisest täisnurksest kolmnurgast püramiidi apoteemi avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 63

Täisnurkne kolmnurk nr. 63

avaldis

Leian püramiidi täispindala ja ruumala

avaldis
avaldis

Vastus: Püramiidi täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Korrapärase kuusnurkse püramiidi põhiserv on avaldis ja kõrgus on avaldis. Leia püramiidi täispindala, ruumala ning nurk põhja ja külgtahu vahel.

Lahendus

Teen joonise püramiidi põhjast

Korrapärane kuusnurk nr. 6

Korrapärane kuusnurk nr. 6

Jagan püramiidi põhiserva avaldis pooleks ja leian järgmisest täisnurksest kolmnurgast püramiidi põhja apoteemi avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 64

Täisnurkne kolmnurk nr. 64

avaldis

Leian püramiidi põhja pindala

avaldis

Leian järgmisest täisnurksest kolmnurgast püramiidi apoteemi avaldis ning põhja ja külgtahu vahelise nurga avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 65

Täisnurkne kolmnurk nr. 65

avaldis
avaldis
avaldis

Leian püramiidi täispindala ja ruumala

avaldis
avaldis

Vastus: Püramiidi täispindala on avaldis, ruumala on avaldis ning nurk põhja ja külgtahu vahel on avaldis.

Ülesanne

Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhja apoteem on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis. Leia püramiidi külgserv, täispindala ja ruumala.

Lahendus

Teen joonise püramiidi põhjast ja leian sealt lõigu avaldis

Kolmnurk nr. 24

Kolmnurk nr. 24

avaldis

Leian püramiidi põhja kõrguse avaldis

avaldis

Leian järgmisest täisnurksest kolmnurgast püramiidi põhiserva avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 68

Täisnurkne kolmnurk nr. 68

avaldis

Leian püramiidi põhja pindala

avaldis

Leian järgmisest täisnurksest kolmnurgast püramiidi apoteemi avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 69

Täisnurkne kolmnurk nr. 69

avaldis

Leian järgmisest täisnurksest kolmnurgast püramiidi külgserva avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 70

Täisnurkne kolmnurk nr. 70

avaldis

Leian püramiidi täispindala ja ruumala

avaldis
avaldis

Vastus: Püramiidi külgserv on avaldis, täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Kodune ülesanne

Korrapärase nelinurkse püramiidi apoteem pikkusega avaldis moodustab põhjaga avaldis nurga. Leia püramiidi külgpindala ja ruumala.

Kodune ülesanne

Korrapärase kuusnurkse püramiidi kõrgus on avaldis ja külgserv on avaldis. Leia püramiidi täispindala, ruumala ning põhja ja külgserva vaheline nurk.

Kodune ülesanne

Korrapärase kolmnurkse püramiidi külgserv on avaldis ja apoteem on avaldis. Leia püramiidi täispindala ja ruumala.

Silinder

Silindri põhja pindala, külgpindala, täispindala ja ruumala valemid
Silinder

Silinder

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Märkus

Konstandi avaldis ligikaudne väärus on:

avaldis
Ülesanne

Ristkülik külgedega avaldis ja avaldis pöörleb ümber oma pikema külje. Leia tekkinud pöördkeha täispindala ja ruumala.

Lahendus
Silinder nr. 1

Silinder nr. 1

Jooniselt on näha, et silindri põhja raadius avaldis ja silindri kõrgus avaldis on väärtustega:

avaldis

Leian silindri põhja pindala

avaldis

Leian silindri külgpindala

avaldis

Leian silindri täispindala

avaldis

Leian silindri ruumala

avaldis

Vastus: Tekkinud pöördkeha täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Silindri põhja pindala on avaldis ja külgpindala on avaldis. Leia silindri ruumala.

Lahendus

Tähistan silindri põhja raadiuse tundmatuga avaldis ja silindri kõrguse tundmatuga avaldis

Kuna silindri põhja pindala on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis

Kuna silindri põhja raadius ei saa olla negatiivne, siis on ainus võimalik põhja raadius:

avaldis

Kuna silindri külgpindala on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis

Kuna põhja raadiuse avaldis väärtus on avaldis, siis saan võrrandile kuju:

avaldis
avaldis

Leian silindri ruumala

avaldis

Vastus: Silindri ruumala on avaldis.

Ülesanne

Silindri põhja raadius suureneb avaldis ja kõrgus väheneb avaldis. Mitme protsendi võrra suureneb või väheneb silindri külgpindala ja ruumala?

Lahendus

Esialgne silinder:

Põhja raadius ja kõrgus

avaldis

Külgpindala

avaldis

Ruumala

avaldis

Silinder pärast põhja raadiuse suurendamist ja kõrguse vähendamist:

Põhja raadius ja kõrgus

avaldis

Külgpindala

avaldis

Ruumala

avaldis

Kui esialgne külgpindala oli avaldis ja peale põhja raadiuse suurendamist ja kõrguse vähendamist oli külgpindala avaldis, siis järelikult on külgpindala nüüd esialgsega võrreldes avaldis. Järelikult on külgpindala vähenenud avaldis võrra.

Kui esialgne ruumala oli avaldis ja peale põhja raadiuse suurendamist ja kõrguse vähendamist oli ruumala avaldis, siis järelikult on ümbermõõt nüüd esialgsega võrreldes avaldis. Järelikult on ruumala kasvanud avaldis võrra.

Vastus:Külgpindala vähenes avaldis võrra ja ruumala suurenes avaldis võrra.

Ülesanne

Silindri telglõige, mille pindala on avaldis, on ruut. Leia selle silindri täispindala ja ruumala.

Lahendus
Silinder nr. 2

Silinder nr. 2

Kuna silindri telglõike pindala on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis

Kuna silindri telglõike pindala on ruut, siis järelikult kehtib seos:

avaldis

Järelikult san võrrandile kuju:

avaldis
avaldis
avaldis

Kuna silindri kõrgus ei saa olla negatiivne, siis on silindri kõrguse aius võimalik väärtus:

avaldis

Kuna silindri kõrgus on silindri põhja raadiusest avaldis korda suurem siis:

avaldis

Leian silindri põhja pindala

avaldis

Leian silindri külgpindala

avaldis

Leian silindri täispindala

avaldis

Leian silindri ruumala

avaldis

Vastus: Silindri täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Silindri täispindala on avaldis. Leia selle silindri põhja läbimõõt ja kõrgus, kui on teada, et silindri kõrgus on põhja raadiusest avaldis võrra pikem.

Lahendus

Tähistan silindri põhja raadiuse tundmatuga avaldis ja silindri kõrguse tundmatuga avaldis

Leian silindri põhja pindala

avaldis

Leian silindri külgpindala

avaldis

Leian silindri täispindala

avaldis

Kuna silindri täispindala on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis

Kuna silindri kõrgus on põhja raadiusest avaldis võrra pikem, siis saan võrrandile kuju:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna silindri põhja raadius ei saa olla negatiivne, siis on järelikult ainus võimalik põhja raadius:

avaldis

Leian silindri põhja läbimõõdu

avaldis

Vastus: Silindri põhja läbimõõt on avaldis.

Kodune ülesanne

Silindri põhja raadius ja kõrgus suhtuvad teineteisesse nagu avaldis. Leia selle silindri täispindala, kui on teada, et selle silindri ruumala on avaldis.

Koonus

Koonuse põhja pindala, külgpindala, täispindala ja ruumala valemid
Koonus

Koonus

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Märkus

Konstandi avaldis ligikaudne väärus on:

avaldis
Ülesanne

Täisnurkne kolmnurk kaatetitega avaldis ja avaldis pöörleb ümber oma pikema kaateti. Leia tekkinud pöördkeha täispindala ja ruumala.

Lahendus
Koonus nr. 1

Koonus nr. 1

Leian koonuse moodustaja avaldis

avaldis

Leian koonuse põhja pindala

avaldis

Leian koonuse külgpindala

avaldis

Leian koonuse täispindala

avaldis

Leian koonuse ruumala

avaldis

Vastus: Tekkinud pöördkeha täispindala on avaldis ja koonuse ruumala on avaldis.

Ülesanne

Koonuse kõrgus on avaldis ning koonuse põhja ja moodustaja vaheline nurk on avaldis. Leia koonuse täispindala ja ruumala.

Lahendus
Koonus nr. 2

Koonus nr. 2

Leian koonuse põhja raadiuse avaldis

avaldis

Leian koonuse moodustaja avaldis

avaldis

Leian koonuse põhja pindala

avaldis

Leian koonuse külgpindala

avaldis

Leian koonuse täispindala

avaldis

Leian koonuse ruumala

avaldis

Vastus: Koonuse täispindala on avaldis ja koonuse ruumala on avaldis.

Ülesanne

Koonuse moodustaja on avaldis ja koonuse põhja pindala on avaldis. Leia koonuse täispindala, ruumala ning moodustaja ja põhja vaheline nurk.

Lahendus
Koonus nr. 3

Koonus nr. 3

Kuna koonuse põhja pindala on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis

Kuna koonuse põhja raadius ei saa olla negatiivne, siis on koonuse põhja raadiuse ainus võimalik väärtus:

avaldis

Leian koonuse kõrguse

avaldis

Leian koonuse moodustaja ja põhja vahelise nurga

avaldis
avaldis

Leian koonuse külgpindala

avaldis

Leian koonuse täispindala

avaldis

Leian koonuse ruumala

avaldis

Vastus: Koonuse täispindala on avaldis, ruumala on avaldis ning moodustaja ja põhja vaheline nurk on avaldis.

Ülesanne

Koonuse ruumala ja täispindala on arvuliselt võrdsed. Leia koonuse külgpindala ning põhja ja moodustaja vaheline nurk, kui on teada, et koonuse moodustaja on põhja raadiusest avaldis korda suurem. Vastus andke täpsusega avaldis.

Lahendus

Tähistan koonuse põhja raadiuse tundmatuga avaldis, koonuse kõrguse tundmatuga avaldis ja koonuse moodustaja tundmatuga avaldis.

Leian koonuse põhja pindala

avaldis

Leian koonuse külgpindala

avaldis

Leian koonuse täispindala

avaldis

Leian koonuse ruumala

avaldis

Kuna koonuse ruumala ja täispindala on arvuliselt võrdsed, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis

Kuna koonuse moodustaja on põhja raadiusest avaldis korda suurem, siis saan võrrandile kuju:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Teen joonise koonusest leitud kõrgusega avaldis

Koonus nr. 4

Koonus nr. 4

Pythagorase teoreemi põhjal saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna koonuse põhja raadius ei saa olla negatiivne, siis on koonuse põhja raadiuse ainus võimalik väärtus:

avaldis

Leian koonuse moodustaja

avaldis

Leian koonuse külgpindala

avaldis
Koonus nr. 5

Koonus nr. 5

Leian koonuse põhja ja moodustaja vahelise nurga avaldis

avaldis
avaldis

Vastus: Koonuse külgpindala on avaldis pindala ühikut ja nurk koonuse põhja ja moodustaja vahel on avaldis.

Ülesanne

Koonuse telglõige on võrdkülgne kolmnurk. Leia koonuse täispindala ja ruumala, kui on teada, et koonuse kõrgus on avaldis. Vastus andke täpsusega avaldis.

Lahendus
Koonus nr. 6

Koonus nr. 6

Kuna telglõige on võrdkülgne kolmnurk, siis kehtib seos:

avaldis

Jagan kolmnurga aluse avaldis pooleks ja leian koonuse põhja raadiuse avaldis järgmisest täisnurksest kolmnurgast

Täisnurkne kolmnurk nr. 66

Täisnurkne kolmnurk nr. 66

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna koonuse põhja raadius ei saa olla negatiivne, siis on koonuse põhja raadiuse ainus võimalik väärtus:

avaldis

Leian koonuse moodustaja

avaldis

Leian koonuse põhja pindala

avaldis

Leian koonuse külgpindala

avaldis

Leian koonuse täispindala

avaldis

Leian koonuse ruumala

avaldis

Vastus: Koonuse täispindala on avaldis ja koonuse ruumala on avaldis.

Kodune ülesanne

Koonuse põhja raadius on avaldis ning põhja ja moodustaja vaheline nurk on avaldis. Leia koonuse täispindala ja ruumala.

Kodune ülesanne

Koonuse põhja raadius, kõrgus ja moodustaja on kolm järjestikust paarisarvu. Leia selle koonuse täispindala, ruumala ning nurk põhja ja moodustaja vahel.

Kera

Kera pindala ja ruumala valemid
Kera

Kera

avaldis
avaldis
Ülesanne

Kera pindala on kera ruumalast arvuliselt avaldis korda suurem. Leia selle kera diameeter.

Lahendus

Tähistan kera raadiuse tundmatuga avaldis

Leian kera pindala

avaldis

Leian kera ruumala

avaldis

Kuna kera pindala on kera ruumalast arvuliselt avaldis korda suurem, siis saan võrrandi:

avaldis

Võrrandi poolte vahetamisel saan võrrandile kuju:

avaldis
avaldis
avaldis

Leian kera diameetri

avaldis

Vastus: Kera diameeter on avaldis ühikut.

Ülesanne

Kera ruumala on avaldis. Leia selle kera pindala.

Lahendus

Tähistan kera raadiuse tundmatuga avaldis

Kuna kera ruumala on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian kera pindala

avaldis

Vastus: Kera pindala on avaldis.

Ülesanne

Kera raadius suurenes avaldis. Mitme protsendi võrra suurenes kera pindala ja ruumala?

Lahendus

Esialgne kera:

Kera raadius

avaldis

Kera pindala

avaldis

Kera ruumala

avaldis

Kera pärast raadiuse suurendamist:

Külje pikkus

avaldis

Kera pindala

avaldis

Kera ruumala

avaldis

Kui esialgne pindala oli avaldis ja peale raadiuse suurendamist oli pindala avaldis, siis järelikult on pindala nüüd esialgsega võrreldes avaldis. Järelikult on pindala kasvanud avaldis võrra.

Kui esialgne ruumala oli avaldis ja peale raadiuse suurendamist oli ruumala avaldis, siis järelikult on ruumala nüüd esialgsega võrreldes avaldis. Järelikult on ruumala kasvanud avaldis võrra.

Vastus: Pindala suurenes avaldis võrra ja ruumala suurenes avaldis võrra.

Ülesanne

Leia avaldis läbimõõduga poolkera täispindala ja ruumala.

Lahendus
Poolkera

Poolkera

Leian kera raadiuse avaldis

avaldis

Leian poolkera kumera osa pindala (pool täiskera pindalast)

avaldis

Leian poolkera suurringi pindala

avaldis

Leian poolkera täispindala

avaldis

Leian poolkera ruumala (pool kera ruumalast)

avaldis

Vastus: Poolkera täispindala on avaldis ja ruumala on avaldis.

Ülesanne

Kuubile, mille serv on avaldis, on sisse konstrueeritud kera. Mitu protsenti on kuubi ruumala kera ruumalast suurem?

Lahendus

Teen joonise kuubi sisse konstrueeritud kera ristlõikest

Ristlõige

Ristlõige

Leian kuubi ruumala

avaldis

Leian kera raadiuse avaldis

avaldis

Leian kera ruumala

avaldis

Mitu protsenti moodustab kuubi ruumala kera ruumalast?

avaldis

Mitu protsenti on kuubi ruumala kera ruumalast suurem?

avaldis

Vastus: Kuubi ruumala on kera ruumalast avaldis suurem?

Kodune ülesanne

Kui kera raadiust suurendada avaldis võrra, siis on kera pindala esialgse kera ruumalaga arvuliselt võrdne. Leia selle kera raadius.

Kordamine

1. Korrapärase kolmnurkse prisma põhiserv on avaldis ja kõrgus on põhiservast avaldis pikem. Leia prisma täispindala ja ruumala.

2. Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus on avaldis ning põhja ja külgtahu vaheline nurk on avaldis. Leia püramiidi täispindala ja ruumala.

3. Silindri põhja raadius ja kõrgus moodustavad kaks järjestikust paaritut arvu. Leia selle silindri täispindala ja ruumala, kui on teada, et silindri telglõike ümbermõõt on avaldis.

4. Koonuse põhja ümbermõõt on avaldis ja moodustaja on avaldis. Leia koonuse täispindala, ruumala ning nurk moodustaja ja põhja vahel.

5. Kera raadius vähenes avaldis. Mitme protsendi võrra vähenes selle tulemusel kera pindala ja ruumala?