Vektori koordinaadid, vektori pikkus ja vektorite vaheline teravnurk

1. Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad vektori:

avaldis
Näide

Leia punktide avaldis ja avaldis poolt määratud vektori koordinaadid.

Lahendus
avaldis
2. Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis
Näide

Leia vektori avaldis pikkus täpsusega avaldis.

Lahendus
avaldis
3. Vektorite vaheline teravnurk

Vektorite avaldis ja avaldis vaheline teravnurk avaldis arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis
Näide

Arvuta vektorite avaldis ja avaldis vaheline teravnurk täpsusega avaldis.

Lahendus
avaldis
avaldis
Märkus

Kui antud näites avaldis väärtus avaldis oli välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb vajutada kalkulaatoril järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
Ülesanne

Kolmnurga tipud on avaldis, avaldis ja avaldis. Leia kolmnurga avaldis ümbermõõt, pindala ja nurgad.

Lahendus

Leian kolmnurga avaldis küljevektorid

avaldis
avaldis
avaldis

Leian kolmnurga avaldis küljevektorite pikkused

avaldis
avaldis
avaldis

Leian kolmnurga avaldis ümbermõõdu

avaldis

Leian Heroni valemi abil kolmnurga avaldis pindala

avaldis
avaldis

Teen joonise kolmnurgast avaldis ja tähistan nurgad vastavalt avaldis, avaldis ja avaldis

Joonise tegemise põhjus

Kuna arkuskoosinus, ehk avaldis funktsioon leiab vektorite vahelise teravnurga, siis antud joonise abil on võimalik teha kindlaks kolmnurgas avaldis potensiaalne nürinurk. Antud nurga leidmise valem kolmnurga nürinurga leidmiseks ei tööta.

Kolmnurk ABC

Kolmnurk ABC

Märkus

Kuna kolmnurga kõige pikema külje vastas on kõige suurem nurk, siis antud ülesandes on potensiaalne nürinurk külje avaldis vastas, ehk nurk avaldis. Järelikult leian nurga avaldis, siis kui ülejäänud nurgad on leitud, arvestades, et kolmnurga sisenurkade summa on avaldis.

Leian vektorite avaldis ja avaldis vahelise teravnurga avaldis

avaldis
avaldis

Leian vektorite avaldis ja avaldis vahelise teravnurga avaldis

avaldis
avaldis

Leian nurga avaldis

avaldis

Vastus: Kolmnurga avaldis ümnermõõt on avaldis ühikut, pindala on avaldis pindala ühikut ning nurgad on avaldis, avaldis ja avaldis.

Ülesanne

Kolmnurga tipud on avaldis, avaldis ja avaldis. Leia kolmnurga avaldis ümbermõõt, pindala ja nurgad.

Lahendus

Leian kolmnurga avaldis küljevektorid

avaldis
avaldis
avaldis

Leian kolmnurga avaldis küljevektorite pikkused

avaldis
avaldis
avaldis

Leian kolmnurga avaldis ümbermõõdu

avaldis

Leian Heroni valemi abil kolmnurga avaldis pindala

avaldis
avaldis

Teen joonise kolmnurgast avaldis ja tähistan nurgad vastavalt avaldis, avaldis ja avaldis

Kolmnurk DEF

Kolmnurk DEF

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Kolmnurga ümbermõõt on avaldis ühikut, pindala on avaldis pindala ühikut ning nurgad on avaldis, avaldis ja avaldis.

Ülesanne

Punktid avaldis, avaldis ja avaldis ja avaldis moodustavad ristküliku. Leia ristküliku avaldis ümbermõõt, pindala ning nurk külje avaldis ja diagonaali avaldis vahel.

Lahendus
Ristkülik nr. 10

Ristkülik nr. 10

Leian ristküliku avaldis külgede avaldis, avaldis ja diaogonaali avaldis vektorid

avaldis
avaldis
avaldis

Leian ristküliku avaldis külgede avaldis, avaldis ja diaogonaali avaldis vektorite pikkused

avaldis
avaldis
avaldis

Leian ristküliku ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Leian külje avaldis ja diagonaali avaldis vahelise nurga avaldis

avaldis
avaldis

Vastus: Ristküliku ümbermõõt on avaldis ühikut, pindala on avaldis pindala ühikut ning külje avaldis ja diagonaali avaldis vaheline nurk on avaldis.

Ülesanne

Punktid avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis moodustavad täisnurkse trapetsi. Leia trapetsi avaldis ümbermõõt, pindala ning nurk trapetsi pikema aluse avaldis ja pikema haara avaldis vahel.

Lahendus
Trapets nr. 11

Trapets nr. 11

Leian täisnurkse trapetsi avaldis külgede avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis vektorid

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian täisnurkse trapetsi avaldis külgede avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis vektorite pikkused

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian täisnurkse trapetsi ümbermõõdu ja pindala

avaldis
avaldis

Leian pikema aluse avaldis ja pikema haara avaldis vahelise nurga avaldis

avaldis
avaldis

Vastus: Täisnurkse trapetsi ümbermõõt on avaldis ühikut, pindala on avaldis pindala ühikut ning pikema aluse avaldis ja pikema haara avaldis vaheline nurk on avaldis.

Kodune ülesanne

Punktid avaldis, avaldis ja avaldis moodustavad täisnurkse kolmnurga. Leia selle täisnurkse kolmnurga ümbermõõt, pindala ja teravnurgad.

Vektorite kollineaarsus ja ristseis

1. Vektorite kollineaarsus

Vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed, ehk samasihilised, kui on täidetud tingimus:

avaldis
Näide

Kas vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed?

Lahendus
avaldis

Vastus: Vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed.

Näide

Kas vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed?

Lahendus
avaldis

Vastus: Vektorid avaldis ja avaldis ei ole kollineaarsed.

2. Vektorite ristseis

Vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti, kui on täidetud tingimus:

avaldis
Näide

Kas vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti?

avaldis

Vastus: Vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti.

Näide

Kas vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti?

avaldis

Vastus: Vektorid avaldis ja avaldis ei ole omavahel risti.

Ülesanne

Milliste tundmatute avaldis ja avaldis väärtuste korral on vektorid avaldis ja avaldis kollineaarsed?

Lahendus

Vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed, kui on täidetud tingimus:

avaldis

Lahendan võrrandi tundmatu avaldis leidmiseks:

avaldis

Lahendan võrrandi tundmatu avaldis leidmiseks:

avaldis

Vastus: Vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed, kui avaldis ja avaldis.

Ülesanne

Millise tundmatu avaldis väärtuse korral on vektorid avaldis ja avaldis omavahel risti?

Lahendus

Vektorid avaldis ja avaldis omavahel risti, kui on täidetud tingimius:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Vektorid avaldis ja avaldis omavahel risti juhul, kui avaldis.

Ülesanne

Näita, et punktide avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib täisnurkne kolmnurk.

Lahendus

Selleks, et veenduda, et kolmnurk on täisnurkne, on vaja näidata, et kaks küljevektorit on omavahel risti.

Leian kolmnurga külgede avaldis, avaldis ja avaldis vektorid

avaldis
avaldis
avaldis

Kontrollin, kas vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti:

avaldis

Kontrollin, kas vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti:

avaldis

Kontrollin, kas vektorid avaldis ja avaldis on omavahel risti:

avaldis

Vastus: Kolmnurk avaldis on täisnurkne.

Märkus

Kui lahendaja suudab visuaalsel vaatlusel tuvastada mitte risti olevad küljevektorid ja lõpuks ka risti olevad vektorid, siis piisab, kui lahenduskäigus on kirjas vaid ristuvate vektorite näitamist iseloomustav tehe.

Ülesanne

Näita, et punktide avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib ristkülik.

Lahendus

Selleks, et veenduda, et nelinurk avaldis on ristkülik, tuleb näidata järgmise kolme omaduse paikapidavust:
1. Ristküliku vastasküljed on paralleelsed (nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on kollineaarsed).
2. Ristküliku vastasküljed on võrdse pikkusega (nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on võrdse pikkusega).
3. Ristküliku lähisküljed on omavahel risti (kui eelpool olevad omadused kehtivad, siis piisab, kui näidata, et üks paar nelinurga avaldis lähiskülgedest on omavahel risti).

Leian nelinurga avaldis küljevektorid

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

1. Näitan, et nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on kollineaarsed:

avaldis
avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis vastasküljed paralleelsed.

2. Näitan, et nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on võrdse pikkusega:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult kehtivad seosed:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis vastasküljed võrdse pikkusega.

3. Näitan, et nelinurga avaldis lähiskülgede vektorid on risti (kuna eelpool olevte omaduste paikapidavus on tõestatud, siis piisab vaid ühe paari lähiskülgede ristumise näitamisest):

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis lähisküljed omavahel risti.

Vastus: Nelinurk avaldis on ristkülik.

Ülesanne

Näita, et punktide avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib rööpkülik.

Lahendus

Selleks, et veenduda, et nelinurk avaldis on rööpkülik, tuleb näidata järgmise kolme omaduse paikapidavust:
1. Rööpküliku vastasküljed on paralleelsed (nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on kollineaarsed).
2. Rööpküliku vastasküljed on võrdse pikkusega (nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on võrdse pikkusega).
3. Rööpküliku lähisküljed ei ole omavahel risti (kui eelpool olevad omadused kehtivad, siis piisab, kui näidata, et üks paar nelinurga avaldis lähiskülgedest ei ole omavahel risti).

Leian nelinurga avaldis küljevektorid

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

1. Näitan, et nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on kollineaarsed:

avaldis
avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis vastasküljed paralleelsed.

2. Näitan, et nelinurga avaldis vastaskülgede vektorid on võrdse pikkusega:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult kehtivad seosed:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis vastasküljed võrdse pikkusega.

3. Näitan, et nelinurga avaldis lähiskülgede vektorid ei ole risti (kuna eelpool olevate omaduste paikapidavus on tõestatud, siis piisab vaid ühe paari lähiskülgede mitteristumise näitamisest):

avaldis

Järelikult nelinurga avaldis lähisküljed ei ole omavahel risti.

Vastus: Nelinurk avaldis on rööpkülik.

Ülesanne

Näita, et punktide avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib trapets.

Lahendus

Selleks, et veenduda, et nelinurk avaldis on trapets, tuleb näidata järgmise kahe omaduse paikapidavust:
1. Trapetsi üks paar vastaskülgi on paralleelsed (nelinurga avaldis ühe paari vastaskülgede vektorid on kollineaarsed).
2. Trapetsi üks paar vastaskülgi on mitteparalleelsed (nelinurga avaldis ühe paari vastaskülgede vektorid on mittekollineaarsed).

Leian nelinurga avaldis küljevektorid

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

1. Näitan, et nelinurgas avaldis on ühe paari vastaskülgede vektorid kollineaarsed:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis üks paar vastaskülgi paralleelsed.

2. Näitan, et nelinurgas avaldis on ühe paari vastaskülgede vektorid mittekollineaarsed:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis üks paar vastaskülgi mitteparalleelsed.

Vastus: Nelinurk avaldis on trapets.

Ülesanne

Näita, et punktide avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib täisnurkne trapets.

Lahendus

Selleks, et veenduda, et nelinurk avaldis on täisnurkne trapets, tuleb näidata järgmise kolme omaduse paikapidavust:
1. Trapetsi üks paar vastaskülgi on paralleelsed (nelinurga avaldis ühe paari vastaskülgede vektorid on kollineaarsed).
2. Trapetsi üks paar vastaskülgi on mitteparalleelsed (nelinurga avaldis ühe paari vastaskülgede vektorid on mittekollineaarsed).
3. Trapetsi alus on tema ühe haaraga risti (nelinurga avaldis aluse vektor on risti ühe haara vektoriga).

Leian nelinurga avaldis küljevektorid

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

1. Näitan, et nelinurgas avaldis on ühe paari vastaskülgede vektorid kollineaarsed:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis üks paar vastaskülgi paralleelsed.

2. Näitan, et nelinurgas avaldis on ühe paari vastaskülgede vektorid mittekollineaarsed:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis üks paar vastaskülgi mitteparalleelsed.

3. Näitan, et nelinurga avaldis üks haar on alusega risti:

avaldis

Järelikult on nelinurga avaldis üks haar alusega risti.

Vastus: Nelinurk avaldis on täisnurkne trapets.

Kodune ülesanne

Näita, et punktide avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib võrdhaarne kolmnurk.

Vektorite komplanaarsus

Mittekollineaarsed vektorid avaldis ,avaldis ja avaldis on komplanaarsed, ehk samatasandilised, kui on täidetud tingimus:

avaldis
Näide

Kas vektorid avaldis ,avaldis ja avaldis on komplanaarsed?

Lahendus
Determinant3

Determinant3

Vastus: Vektorid avaldis ,avaldis ja avaldis on komplanaarsed.

Näide

Kas vektorid avaldis ,avaldis ja avaldis on komplanaarsed?

Lahendus
Determinant4

Determinant4

Vastus: Vektorid avaldis ,avaldis ja avaldis ei ole komplanaarsed.

Ülesanne

Millise tundmatu avaldis väärtuse korral on vektorid avaldis ,avaldis ja avaldis on komplanaarsed?

Lahendus

Leian antud vektori koordinaatidest moodustatud determinandi väärtuse:

Determinant5

Determinant5

Kuna antud vektorid on komplanaarsed, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis

Ülesanne

Millise tundmatu avaldis väärtuse korralon vektorid avaldis ,avaldis ja avaldis ei ole komplanaarsed?

Lahendus

Leian antud vektori koordinaatidest moodustatud determinandi väärtuse:

Determinant6

Determinant6

Kuna antud vektorid on komplanaarsed, siis saan võrrandi:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: avaldis, avaldis.

Ülesanne

Kas punktid avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis asuvad ühel tasandil?

Lahendus

Leian antud punktidest moodustatud kolm mittekollineaarset vektorit

avaldis
avaldis
avaldis

Kas antud vektorid on komplanaarsed?

Determinant7

Determinant7

Vastus: Punktid avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis asuvad ühel tasandl.

Kodune ülesanne

Millise tundmatu avaldis väärtuse korral on vektorid avaldis ,avaldis ja avaldis on komplanaarsed?

Ülesanne

Kas punktid avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis asuvad ühel tasandl?

Vektorite lineaartehted

1. Vektori korrutamine arvuga

Vektori avaldis korrutamisel arvuga avaldis saame vektori:

avaldis
Näide

Korruta vektorit avaldis arvuga avaldis.

Lahendus
avaldis

Vastus: avaldis

2. Vektorite liitmine

Vektorite avaldis ja avaldis summa vektor on:

avaldis
Näide

Liida vektorid avaldis ja avaldis

Lahendus
avaldis

Vastus: avaldis

Ülesanne

Leia vektorite avaldis, avaldis ja avaldis kaudu:

avaldis
Lahendus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kodune ülesanne

Leia vektorite avaldis, avaldis ja avaldis kaudu:

avaldis

Kordamine

1. Kolmnurga tipud on avaldis, avaldis ja avaldis. Leia kolmnurga avaldis ümbermõõt, pindala ja nurgad.

2. a. Milliste tundmatute avaldis ja avaldis väärtuste korral on vektorid avaldis ja avaldis kollineaarsed.

2. b. Millise tundmatu avaldis väärtuse korral on vektorid avaldis ja avaldis risti.

3. Näita, et punktide avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis ühendamisel tekib täisnurkne trapets.

4. Millise tundmatu avaldis väärtuse korral on vektorid avaldis ja avaldis ja avaldis komplanaarsed.

5. Leia vektorite avaldis, avaldis ja avaldis kaudu:

avaldis