Tõenäosusteooria

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Sündmuse A geomeetriline tõenäosus

Kui mingi geomeetrilise piirkonna, mille mõõde (pikkus, pindala või ruumala) on avaldis, tabamine on kindel, siis selle piirkonna osapiirkonna, mille mõõde on avaldis tabamise tõenäosus on:

avaldis

Näide

Kui suur tõenäosus on tabada märklauda, mille pindala on avaldis seda osa, mille pindala on avaldis eeldusel, et märklaua tabamine on kindel?

Kindla pinna pindala on avaldis ja antud osapiirkonna pindala on avaldis.
Osapiirkonna tabamise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Permutatsioonid

Permutatsiooniks avaldis elemendist nimetatakse avaldis elemendi erinevalt järjestamise võimaluste arvu.

avaldis

Näide

Mitmel erineval moel on võimalik panna rivvi avaldis poissi?

avaldis

Kombinatsioonid

Kombinatsioonideks avaldis elemendist avaldis kaupa nimetatakse avaldis elemendilise hulga avaldis elemendilisi järjestamata osahulkade arvu.

avaldis

Näide

Loto peavõit võidetakse juhul, kui loosimises osaleb avaldis palli ja pihta peavad minema kõik loositud avaldis palli. Mitu piletit peaks ostma, et võidaksid kindlasti peavõidu?

Kuna kokku on avaldis palli, siis vaadeldakse avaldis elemendilist hulka, järelikult avaldis ja kuna loositakse avaldis palli, siis tuleb välja arvutada avaldis elemendiliste osahulkade arv, järelikult avaldis. Kuna numbrite tulemise järjekord pole oluline, arvutatakse antud osahulkade arv kombinatsioonide abil.

avaldis
avaldis


Variatsioonid

Variatsioonideks avaldis elemendist avaldis kaupa nimetatakse avaldis elemendilise hulga avaldis elemendiliste järjestatud osahulkade arvu.

avaldis

Näide

Mitu avaldis kohalist koodi on võimalik koostada avaldis tähemärgist tingimusel, et ükski märk ei kordu?

Kuna kasutada on avaldis tähemärki, siis vaatleme avaldis elemendilist hulka järelikult avaldis ja kuna kood sisaldab avaldis märki, siis huvitab meid avaldis elemendiliste osahulkade arv, järelikult avaldis.Kuna koodis on oluline ka numbrite järjekord, siis arvutatakse osahulkade arv variatsioonide abil.

avaldis

Tõenäosuste korrutamise reegel

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese ja teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget palli. Leia tõenäosus, et kahest võetud pallist on mõlemad valged.

Esimesena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Teise valge palli tõenäosus arvestades, et eelmist tagasi ei panda, on:

avaldis

Siis esimesena ja teisena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Tõenäosuste liitmise reegel, kui sündmused on teineteist välistavad

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja esimest sündmust välistava sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese sündmuse või teise sündmuse toimumise tõenäosus on:

avaldis

Näide

Leia tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis või avaldis silma.

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

avaldis või avaldis silma tulemise tõenäosus on:

avaldis

Tõenäosuste liitmise reegel, kui sündmused pole teineteist välistavad

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja esimest sündmust mittevälistava teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese sündmuse või teise sündmuse toimumise tõenäosus on:

avaldis

Näide

Kui suur on tõenäosus võtta avaldis lehelisest kaardipakist kaart, mis on ruutu mastist või pilt.

Ruutu võtmise tõenäosus on:

avaldis

Pildi võtmise tõenäosus on:

avaldis

Ruutu või pildi võtmise tõenäosus on:

avaldis

Bernoulli valem

Tõenäosus, et avaldis seerialises sõltumatutest katsetest koosnevas katseteseerias avaldis katset on soodsad, kui soodsa katse tõenäosus on avaldis ning mittesoodsa katse tõenäosus on avaldis arvutatakse valemiga:

avaldis

Näide

Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel avaldis viskest tuleb avaldis silma täpselt avaldis korda.

avaldis silma tuleku tõenäosus on:

avaldis

Mitte avaldis silma tuleku tõenäosus on:

avaldis

Kuna avaldis silma peab tulema avaldis viskest täpselt avaldis korral, siis antud sündmuse tõenäosus on:

avaldis
avaldis

Täistõenäosuse valem

Kõigi mingis süsteemis esinevate sündmuste summa on võrdne arvuga avaldis:

avaldis

Näide

Töökojas on avaldis tööpinki. Tõenäosus, et esimesena vajab parandamist esimene pink on avaldis. Tõenäosus, et esimesena vajab parandamist teine pink on avaldis. Kui suur on tõenäosus, et esimesena vajab parandamist kolmas pink?

Kuna üks kolmest pingist kindlasti esimesena parandamist vajavad, siis on nende kolme sündmuse tõenäosus kokku avaldis. Kui arvust avaldis lahutada kahe esimese esimesena purunemine, siis kolmanda pingi esimesena purunemise tõenäosuse saan arvutada järgmiselt:

avaldis

Tinglik tõenäosus

Oletame, et mingi sündmus võib toimuda, kas avaldis,avaldis...või avaldis katseseerias ja selle sündmuse tõenäosus vastavas katseseerias on avaldis,avaldis...ja avaldis, siis tõenäosus, et juhuslikust katseseeriast toimunud just sellesama sündmuse tõenäosus on:

avaldis

Näide

Laual on kolm vaagnat, millest esimeses on avaldis õuna ja avaldis pirni, teises avaldis õuna ja avaldis pirni ja kolmandas avaldis õuna ja avaldis pirni. Leia tõenäosus, et juhuslikult valitud vaagnast võetakse õun.

Kuna vaagnate valimisel mingit eelistust pole, siis on nende valimise tõenäosused võrdsed:

avaldis

Õuna valimise tõenäosused vastavalt vaagnalt on:

avaldis

Järelikult suvaliselt valitud vaagnalt õuna valimise tõenäosus on:

avaldis

Näide

Laual on kaks urni. Esimeses urnis on avaldis valget ja avaldis musta kuuli ning teises urnis on avaldis valget ja avaldis musta kuuli. Leia tõenäosus, et suvaliselt valitud urnist võetakse must kuul kui on teada, et esimesest urnist võetakse kuule avaldis korda sagedamalt.

Kuna esimesest urnist võetakse kuule avaldis korda sagedamalt, siis vastava urni valimise tõenäosused on:

avaldis

Musta valimise tõenäosused vastavast urnist on:

avaldis

Järelikult suvaliselt valitud urnist musta kuuli valimise tõenäosus on:

avaldis

Jadad

Aritmeetilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis viiekümnes liige.

avaldis
avaldis

Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valem 1

avaldis

avaldis on jada esimese avaldis liikme summa
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada saja esimese liikme summa, kui on teada, et jada esimene liige on avaldis ja sajas liige on avaldis.

avaldis
avaldis

Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valem 2

avaldis

avaldis on jada esimese avaldis liikme summa
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis kolmekümneühe esimese liikme summa.

avaldis
avaldis

Geomeetrilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on jada tegur
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia geomeetrilise jada avaldis viieteistkümnes liige.

avaldis
avaldis

Geomeetrilise jada esimese n-liikme summa valem

avaldis

avaldis on jada esimese avaldis liikme summa
avaldis on jada esimene liige
avaldis on jada tegur
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia geomeetrilise jada avaldis kümne esimese liikme summa.

avaldis
avaldis

Hääbuva geomeetrilise jada summa

Kui geomeetrilises jadas kehtib tingimus:

avaldis

Siis on selle jada lõpmatut summat võimalik arvutada järgmise valemi abil:

avaldis

avaldis on jada esimene liige
avaldis on jada tegur

Näide

Leia hääbuva geomeetrilise jada avaldis summa:

avaldis
avaldis

Logaritmi valemid

Logaritmi definitsioon

avaldis

Näide

avaldis

Logaritmide summa

avaldis

Näide

avaldis

Logaritmide vahe

avaldis

Näide

avaldis

Logaritmitava astme logaritmi ette toomine

avaldis

Näide

avaldis

Logaritm arvu astmes tingimusel, et astme alus ja logaritmi alus on võrdsed

avaldis

Näide

avaldis

Logaritmi üleminek ühelt aluselt teisele

avaldis

Näide

Arvuta avaldis sajandiku täpsusega

avaldis

Logaritmi aluse ja logaritmi korraga astendamine

avaldis

Näide

avaldis

Logaritmi aluse ja logaritmi korraga juurimine

avaldis

Näide

avaldis

Elementaarfunktsioonide tuletised

Konstandi tuletis

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis

Konstandi ja x-i korrutise tuletis

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Astmefunktsiooni tuletis

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis

Juure tuletis

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Arvu 1 ja x-i jagatise tuletis

avaldis

Eksponentfunktsiooni tuletis

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Logaritmfunktsiooni tuletis

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis

Siinusfunktsiooni tuletis

avaldis

Koosinusfunktsiooni tuletis

avaldis

Tangensfunktsiooni tuletis

avaldis

Arkussiinuse tuletis

avaldis

Arkuskoosinuse tuletis

avaldis

Arkustangensi tuletis

avaldis

Tuletistega seotud tehted

Konstandi ja funktsiooni korrutise tuletis

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis

Funktsioonide summa tuletis

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Funktsioonide vahe tuletis

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Funktsioonide korrutise tuletis

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Funktsioonide jagatise tuletis

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Liitfunktsiooni tuletis

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis

Joone puutuja tõusu leidmine

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis

Funktsiooni y=f(x) uurimine

Elementaarfunktsioonide määramispiirkonnad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Antud juhul on n paarisarv.

avaldis

Antud juhul on n paaritu arv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Nullkohad

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis nullkohad.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

Positiivsuspiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis positiivsuspiirkond.

avaldis

Leian nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 2

Joonis 2

Vastus:avaldis

Negatiivsuspiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis negatiivsuspiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Kasvamispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamispiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

Kahanemispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kahanemispiirkond.

avaldis
avaldis

Leian nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 3

Joonis 3

Vastus:avaldis

Käänupunktid

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis käänupunktid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian käänupunkti avaldis koordinaadi

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

Nõgususpiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis nõgususpiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis

Leian nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 5

Joonis 5

Vastus:avaldis

Kumeruspiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kumeruspiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis

Leian nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 4

Joonis 4

Vastus:avaldis

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine

Võrrandi sinx=m lahendamine

avaldis
avaldis

Näide

Leia võrrandi avaldis lahendid piirkonnas avaldis

avaldis
avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis, siis saan erilahendi:

avaldis

Vastus: avaldis.

Võrrandi cosx=m lahendamine

avaldis
avaldis

Näide

Leia võrrandi avaldis lahendid piirkonnas avaldis

avaldis
avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis ja märgi avaldis asemele kirjutan + märgi, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis ja märgi avaldis asemele kirjutan - märgi, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis ja märgi avaldis asemele kirjutan + märgi, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis ja märgi avaldis asemele kirjutan - märgi, siis saan erilahendi:

avaldis

Vastus:avaldis

Võrrandi tanx=m lahendamine

avaldis
avaldis

Näide

Leia võrrandi avaldis lahendid piirkonnas avaldis.

avaldis
avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis, siis saan erilahendi:

avaldis

Vastus:avaldis

Võrrandi cotx=m lahendamine

avaldis
avaldis

Näide

Leia võrrandi avaldis lahendid piirkonnas avaldis.

avaldis
avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis, siis saan erilahendi:

avaldis

Vastus:avaldis

Tehted hulkliikmetega

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Liikmete järjekorra muutmine

Liikmete järjekorda võib hulkliikmes muuta, kui iga liikme ette jääb sama märk.

Näide

Hulkliige avaldis on samaväärne hulkliikmega avaldis.