Ülesanne 3 (15p)

On antud funktsioon avaldis.
1) Leidke funktsiooni avaldis:
a) määramispiirkond;
b) graafiku ja x-telje lõikepunkt;
c) miinimumpunkti abtsiss;
2) Koostage joone avaldis puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x-telge.

Vaata lahendust
1.a. Leian funktsiooni avaldis määramispiirkonna
avaldis
Selgitus

Elementaarfunktsioonide määramispiirkonnad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Antud juhul on n paarisarv.

avaldis

Antud juhul on n paaritu arv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
1.b. Leian funktsiooni avaldis graafiku ja x-telje lõikepunkti

Funktsiooni avaldis graafiku ja x-telje lõikepunktide leidmiseks tuleb leida funktsiooni avaldis nullkohad

Selgitus
Funktsiooni graafiku ja x-telje lõikepunktides on funktsiooni avaldis väärtused võrdsed arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Nullkohad

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis nullkohad.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus

Leian nullkohti kahest järgmisest võrrandist:

avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Pole midagi lahendada. Võrrandi esimene lahend on leitud.

Kuna avaldis pole funktsiooni avaldis määramispiirkonnas, siis see lahend ei sobi.

Selgitus
Punkti 1.a põhjal.
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Võrrandi vasak ja parem pool peavad olema võrdsed.

Vastus: Funktsiooni avaldis graafiku ja x-telje lõikepunkt on avaldis.

Selgitus
Kuna kahest graafiku ja x-telje lõikepunkti avaldis väärtusest üks ei olnud funktsiooni avaldis määramispiirkonnas, siis on antud juhul ainult üks graafiku ja x-telje lõikepunkt.Punkti avaldis koordinaat on esimesel ja avaldis koordinaat teisel kohal.Lõikepunkti avaldis koordinaadi leidsin võrrandi lahendamise teel ja avaldis koordinaat on avaldis, sest graafiku ja x-telje lõikepunktis on avaldis koordinaat alati avaldis.
1.c. Leian funktsiooni avaldis miinimumpunkti abtsissi

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian funktsiooni avaldis ekstreemumid

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult logaritmi definitsiooni põhjal kehtib seos:
avaldis
Võrrandi poolte vahetamisel kehtib seos:
avaldis
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutatakse valemit vasakult poolt paremale.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian funktsiooni avaldis teise tuletise

avaldis
Selgitus

Määran funktsiooni avaldis ekstreemumi liigi

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis graafiku miinimumpunkti abtsiss on avaldis.

2. Koostan joone avaldis puutuja võrrandi punktis, kus joon lõikab x-telge

Leian funktsiooni avaldis puutuja tõusu

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis

Leian funktsiooni avaldis puutuja võrrandi puutepunktis

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvust avaldis lahutamine ei muuda arvu.Arvuga avaldis korrutamine ei muuda arvu.

Vastus: Joone avaldis puutuja võrrandi punktis, kus joon lõikab x-telge on avaldis.