Ülesanne 4 (15p)

Riiulil on avaldis raamatut, millest avaldis on teatmeteost ja ülejäänud on õpikud.
1) Riiulilt võetakse juhuslikult avaldis raamat, vaadatakse ja pannakse riiulile tagasi.
Kui suur on tõenäosus, et võetud raamat on teatmeteos või õpik?
2) Järgnevalt võetakse riiulilt juhuslikult avaldis raamatut.
a) Kui palju on erinevaid võimalusi riiulilt avaldis raamatu võtmiseks?
b) Leidke tõenäosus, et võetud avaldis raamatu hulgas ei ole ühtegi teatmeteost.
c) Kui suur on tõenäosus, et avaldis raamatu hulgas on ainult avaldis teatmeteos?

Vaata lahendust


1. Leian tõenäosuse, et juhuslikult võetud raamat on teatmeteos või õpik

avaldis
Selgitus
Kuna riiulil ongi ainult teatmeteosed ja õpikud, siis teatmeteose või õpiku valimine on kindel sündmus, mille tõenäosus on avaldis.

Vastus: Teatmeteose või õpike valimise tõenäosus on avaldis.

2.a. Leian võimaluste arvu riiulilt avaldis raamatu võtmiseks
avaldis
Selgitus

Kombinatsioonid

Kombinatsioonideks avaldis elemendist avaldis kaupa nimetatakse avaldis elemendilise hulga avaldis elemendilisi järjestamata osahulkade arvu.

avaldis

Näide

Loto peavõit võidetakse juhul, kui loosimises osaleb avaldis palli ja pihta peavad minema kõik loositud avaldis palli. Mitu piletit peaks ostma, et võidaksid kindlasti peavõidu?

Kuna kokku on avaldis palli, siis vaadeldakse avaldis elemendilist hulka, järelikult avaldis ja kuna loositakse avaldis palli, siis tuleb välja arvutada avaldis elemendiliste osahulkade arv, järelikult avaldis. Kuna numbrite tulemise järjekord pole oluline, arvutatakse antud osahulkade arv kombinatsioonide abil.

avaldis
avaldis


Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Riiulilt avaldis raamatu võtmiseks on võimalusi avaldis.

2.b. Leian tõenäosuse, et võetud avaldis raamatu hulgas ei ole ühtegi teatmeteost

Leian õpikute arvu riiulil

avaldis
Selgitus
Kui kogu raamatute arvust lahutada teatmeteoste arv, saame õpikute arvu.

Leian tõenäosuse, et võetud avaldis raamatu hulgas ei ole ühtegi teatmeteost, ehk siis kõik avaldis on õpikud

avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Tõenäosuste korrutamise reegel

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese ja teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget palli. Leia tõenäosus, et kahest võetud pallist on mõlemad valged.

Esimesena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Teise valge palli tõenäosus arvestades, et eelmist tagasi ei panda, on:

avaldis

Siis esimesena ja teisena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Tõenäosus, et võetud avaldis raamatu hulgas ei ole ühtegi teatmeteost on avaldis.

2.c. Leian tõenäosuse, et avaldis raamatu hulgas on ainult avaldis teatmeteos
avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Tõenäosuste korrutamise reegel

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese ja teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget palli. Leia tõenäosus, et kahest võetud pallist on mõlemad valged.

Esimesena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Teise valge palli tõenäosus arvestades, et eelmist tagasi ei panda, on:

avaldis

Siis esimesena ja teisena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Tõenäosuste liitmise reegel, kui sündmused on teineteist välistavad

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja esimest sündmust välistava sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese sündmuse või teise sündmuse toimumise tõenäosus on:

avaldis

Näide

Leia tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis või avaldis silma.

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

avaldis või avaldis silma tulemise tõenäosus on:

avaldis
Antud reeglite põhjal oleks lahendus järgmine:

Leian tõenäosuse, et esimesena võetud raamat on teatmeteos ja kolm viimast õpikud

avaldis

Leian tõenäosuse, et esimesena võetud raamat on õpik, teine teatmeteos ja kaks viimast õpikud

avaldis

Leian tõenäosuse, et kaks esimesena võetud raamatud on õpikud, kolmas teatmeteos ja viimane õpik

avaldis

Leian tõenäosuse, et kolm esimesena võetud raamatud on õpikud ja viimane teatmeteos

avaldis

Kuna mitmest sündmusest moodustunud sündmuse tõenäosus, kui sündmused toimuvad erinevas järjekorras on alati võrdsed, saab antud tõenäosuse välja arvutada ka ühe tehtega:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Tõenäosuse, et avaldis raamatu hulgas on ainult avaldis teatmeteos on avaldis.