Ülesanne 8 (20p)

Koonusekujulise anuma telglõike tipunurk on avaldis. Anumasse asetatakse raske kuul raadiusega avaldis ja valatakse vett, kuni veenivoo katab kuuli (vaata joonist). Leidke veenivoo kõrgus peale kuuli eemaldamist.

Koonusekujulise anuma telglõige

Koonusekujulise anuma telglõige

Vaata lahendust
Leian koonuse ruumala veenivoo kõrguseni, kui kuul on koonusekujulises nõus

Leian koonuse telglõike alusnurga avaldis

Koonuse telglõige nr. 1

Koonuse telglõige nr. 1

Selgitus
Kuna koonuse telglõige on võrdhaarne kolmnurk, siis järelikult on koonuse telglõike alusnurgad võrdsed (tähistasin mõlemad tundmatuga avaldis).
avaldis
Selgitus

Kolmnurga sisenurkade summa

Kolmnurk nr. 3

Kolmnurk nr. 3

avaldis

Näide

Kolmnurga kaks nurka on avaldis ja avaldis. Leia kolmas nurk.

avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Kuna koonuse telglõike tipunurk ja ka mõlemad alusnurgad on avaldis saan järeldada, et koonuse telglõige on võrdkülgne kolmnurk.

Selgitus
Kui kolmnurga kõik nurgad on võrdsed, siis on ka võrdsed kolmnurga kõik küljed.

Kuna koonuse telglõige on võrdkülgne kolmnurk, jaotab koonuse siseringjoone keskpunkt (ühtib kolmnurga keskpunktiga) kolmnurga kõrguse suhtes avaldis alates alusest.

Selgitus
Kolmnurga mediaan - lõik kolmnurga tipust aluse keskpunkti.Mediaanide omadus: kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis ja jaotavad mediaanid suhtes avaldis alates alusest.
Kolmnurga mediaanid

Kolmnurga mediaanid

Kuna antud juhul on tegemist võrdkülgse kolmnurgaga, siis mediaanid ühtivad kõrgustega ning kõik lõigud kolmnurga keskpunktist aluseni on pikkusega avaldis ja kõik lõigud kolmnurga keskpunktist kolmnurga tipuni pikkusega avaldis.
Koonuse telglõige nr. 2

Koonuse telglõige nr. 2

Selgitus
Tähistasin antud kolmnurga pool alusest, ehk koonuse põhja raadiuse tundmatuga avaldis.

Leian koonuse kõrguse

avaldis
Selgitus
Jooniselt on näha, et antud kolmnurga, ehk koonuse kõrgus moodustub lõikudest avaldis ja avaldis.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian koonuse põhja raadiuse avaldis

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutatakse valemit vasakult paremale.
avaldis
Selgitus

Leian koonuse ruumala, kui kuul on koonusekujulises nõus

avaldis
Selgitus

Koonus

Koonus

Koonus

Kui koonuse raadius on avaldis, koonuse kõrgus avaldis ja koonuse moodustaja(lõik koonuse tipust põhjani) on avaldis, siis koonuse põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Koonuse raadius on avaldis, kõrgus on avaldis ja moodustaja on avaldis. Leia koonuse täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
SelgitusLeian kuuli ruumala
avaldis
Selgitus

Kera

Kera

Kera

Kui kera raadius on avaldis, siis kera pindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis

Näide

Kera raadius on avaldis. Leia kera pindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
Leian koonuse ruumala, kui kuul on koonusekujulisest nõust välja võetud
avaldis
Selgitus
Kui koonuse ruumalast, kui kuul on nõus maha lahutada kuuli ruumala, saame koonuse ruumala, kui kuul on veest välja võetud.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Leian veenivoo kõrguse avaldis peale kuuli eemaldamist
Koonuse telglõige nr. 3

Koonuse telglõige nr. 3

Sarnaste kolmnurkade omaduse põhjal saan välja kirjutada seose:

avaldis
Selgitus
Sarnaste kolmnurkade omadus - sarnaste kolmnurkade vastavate külgede jagatised on võrdsed.
Sarnased kolmnurgad ABC ja DEC

Sarnased kolmnurgad ABC ja DEC

avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin varem leitud suuruse avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
Võrrandis avaldis võib liimeid vedada üle võrdusmärgi risti ülevalt alla ja alt üles. Antud juhul on eesmärk vabaneda murdudest. Selleks viin tundmatud avaldis ja avaldis risti alt üles.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi tundmatuga avaldis.Tundmatuga võib võrrandi pooli läbi jagada vaid juhul, kui õnnestub veenduda, et võrrandi pooli ei jagata läbi arvuga avaldis.Kuna kuuli raadius avaldis ei saa olla avaldis, siis antud juhul ei teki arvuga avaldis läbi jagamist.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian koonuse ruumala peale kuuli eemaldamist sõltuvalt tundmatust avaldis

avaldis
Selgitus

Koonus

Koonus

Koonus

Kui koonuse raadius on avaldis, koonuse kõrgus avaldis ja koonuse moodustaja(lõik koonuse tipust põhjani) on avaldis, siis koonuse põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Koonuse raadius on avaldis, kõrgus on avaldis ja moodustaja on avaldis. Leia koonuse täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian veenivoo kõrguse peale kuuli eemaldamist

avaldis
Selgitus
Võrdustasin kahel moel leitud koonuse ruumalad peale kuuli eemaldamist (avaldis ja avaldis).
avaldis
Selgitus
Võrrandis avaldis võib liimeid vedada üle võrdusmärgi risti ülevalt alla ja alt üles. Antud juhul on eesmärk vabaneda murdudest. Selleks viin arvud avaldis ja avaldis risti alt üles.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus

Vastus: Veenivoo kõrgus peale kuuli eemaldamist on avaldis.