Ülesanne 9 (20p)

On antud funktsioon avaldis, avaldis.
1) Selgitage, kas funktsioon avaldis on määratud lõigul avaldis.
2) Leidke vahemikus avaldis:
a) funktsiooni avaldis nullkohad;
b) vahemikud, kus funktsioon avaldis on positiivne ja kus see on negatiivne;
c) funktsiooni avaldis kasvamis- ja kahanemisvahemikud;
d) funktsiooni avaldis maksimumpunkt.
3) Skitseerige funktsiooni avaldis graafik vahemikus avaldis.

Vaata lahendust
1. Kas funktsioon avaldis om määratud etteantud lõigul avaldis?
avaldis
Selgitus

Elementaarfunktsioonide määramispiirkonnad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Antud juhul on n paarisarv.

avaldis

Antud juhul on n paaritu arv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Etteantud lõigul avaldis on avaldis väärtus avaldis lõigu otspunktides

Selgitus
Funktsiooni y = cosx graafik

Funktsiooni y = cosx graafik

Funktsiooni avaldis graafikult on näha, et avaldis väärtused on võrdsed arvuga avaldis etteantud lõigu avaldis otspunktides, ehk avaldis väärtustel avaldis ja avaldis.Kuna määramispiirkonna tingimus ütleb, et avaldis ei tohi võrduda arvuga avaldis, siis järelikult antud piirkonnas pole funktsioon avaldis määratud.

Vastus: Funktsioon avaldis ei ole määratud lõigul avaldis.

2.a. Leian vahemikus avaldis funktsiooni avaldis nullkohad
avaldis
Selgitus

Nullkohad

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis nullkohad.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus

Murdvõrrandi lahendamine

avaldis
avaldis

Näide

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna teine tingimus ütleb, et avaldis, siis on võrrandi ainus lahend:

avaldis

Teise tingimusega pole vaja arvestada, kuna antud tingimusel pole funktsioon määratud

Selgitus
Esimeses ülesande punktis on tingimus selleks, et funktsioon oleks määratud:
avaldis

Järelikult lahendan ära vaid esimese võrrandi ja võõrlahendeid teine tingimus antud juhul ei tekita

avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandi cosx=m lahendamine

avaldis
avaldis

Näide

Leia võrrandi avaldis lahendid piirkonnas avaldis

avaldis
avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis ja märgi avaldis asemele kirjutan + märgi, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis ja märgi avaldis asemele kirjutan - märgi, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis ja märgi avaldis asemele kirjutan + märgi, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis ja märgi avaldis asemele kirjutan - märgi, siis saan erilahendi:

avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus
Suuruse avaldis kraadimõõdus annab meile kalkulaatoril järgmine klahvikombinatsioon:
avaldis
Kuna kraadi ja radiaanimõõdu vahel kehtib seos:
avaldis
On võimalik radiaanimõõdus nurga väärtus arvutada välja järgmiselt:
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin üldvalemisse arvu avaldis.Märgi avaldis asemele kirjutasin + märgi.
avaldis
Selgitus
Asendasin üldvalemisse arvu avaldis.Märgi avaldis asemele kirjutasin - märgi.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Vahemikus avaldis on funktsiooni avaldis nullkohad avaldis.

Selgitus
Loetlesin leitud nullkohad hulgamärkide vahel.
2.b. Leian vahemikus avaldis vahemikud, kus funktsioon avaldis on positiivne ja kus see on negatiivne
avaldis
Selgitus

Positiivsuspiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis positiivsuspiirkond.

avaldis

Leian nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 2

Joonis 2

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus
Funktsiooni y = cosx graafik

Funktsiooni y = cosx graafik

Funktsiooni avaldis graafikult graafikult on näha, et etteantud lõigul avaldis on avaldis väärtus negatiivne.Kui murru nimetaja on negatiivne, siis lugeja peab ka olema negatiivne, et murd oleks positiivne.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrratuse märgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näited

1) Võrratused avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrratused avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrratuse pooli võib jagada läbi suvalise positiivse arvuga

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näited

1) Võrratus avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrratusega avaldis.
2) Võrratus avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrtusega avaldis.

Antud juhul jagasin võrratuse pooli läbi positiivse arvuga avaldis.
y=cosx ja y=-0,5 graafikud

y=cosx ja y=-0,5 graafikud

Selgitus

Joonte avaldis ja avaldis graafikute lõikepunktide abtsissid on avaldis ja avaldis, sest:

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Tingimus avaldis on täidetud juhul, kui avaldis väärtused asuvad allpool sirget avaldis.
avaldis
Selgitus

Negatiivsuspiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis negatiivsuspiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus
Funktsiooni y = cosx graafik

Funktsiooni y = cosx graafik

Funktsiooni avaldis graafikult graafikult on näha, et etteantud lõigul avaldis on avaldis väärtus negatiivne.Kui murru nimetaja on negatiivne, siis lugeja peab olema positiivne, et murd oleks negatiivne.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrratuse märgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näited

1) Võrratused avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrratused avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrratuse pooli võib jagada läbi suvalise positiivse arvuga

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näited

1) Võrratus avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrratusega avaldis.
2) Võrratus avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrtusega avaldis.

Antud juhul jagasin võrratuse pooli läbi positiivse arvuga avaldis.
y=cosx ja y=-0,5 graafikud

y=cosx ja y=-0,5 graafikud

Selgitus

Joonte avaldis ja avaldis graafikute lõikepunktide abtsissid on avaldis ja avaldis, sest:

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Tingimus avaldis on täidetud juhul, kui avaldis väärtused asuvad üleval pool sirget avaldis.

Vastus: Vahemikus avaldis on funktsioon avaldis on positiivne piirkonnas avaldis ja negatiivne piirkonnas avaldis.

2.c. Leian vahemikus avaldis funktsiooni avaldis kasvamis- ja kahanemisvahemikud

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Kasvamispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamispiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus
Kuna iga arvu ruut on positiivne, siis järelikult murru lugeja ehk avaldis on positiivne.Kui murru nimetaja on positiivne, siis peab ka lugeja olema positiivne selleks, et kogu murd oleks positiivne.
Siinusfunktsiooni graafik etteantud vahemikus

Siinusfunktsiooni graafik etteantud vahemikus

avaldis
Selgitus
Siinusfunktsiooni graafikult loen välja piirkonna, kus siinusfunktsiooni graafiku punktid asuvad üleval pool x-telge.
avaldis
Selgitus

Kahanemispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kahanemispiirkond.

avaldis
avaldis

Leian nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 3

Joonis 3

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus
Kuna iga arvu ruut on positiivne, siis järelikult murru lugeja ehk avaldis on positiivne.Kui murru nimetaja on positiivne, siis peab lugeja olema negatiivne selleks, et kogu murd oleks negatiivne.
Siinusfunktsiooni graafik etteantud vahemikus

Siinusfunktsiooni graafik etteantud vahemikus

avaldis
Selgitus
Siinusfunktsiooni graafikult loen välja piirkonna, kus siinusfunktsiooni graafiku punktid asuvad allpool x-telge.

Vastus: Funktsiooni avaldis kasvamisvahemik on avaldis ja kahanemisvahemik on avaldis.

2.d. Leian vahemikus avaldis funktsiooni avaldis maksimumpunkti
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Murdvõrrandi lahendamine

avaldis
avaldis

Näide

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna teine tingimus ütleb, et avaldis, siis on võrrandi ainus lahend:

avaldis

Kuna avaldis ja avaldis pole kunagi sama väärtuse korral avaldis,siis pole vaja teist tingimust arvestada ja tuleb ära lahendada vaid antud võrrand:

avaldis
Selgitus
Kui ei suuda veenduda, et need kaks avaldist kunagi korraga väärtusega avaldis olla ei saa, võib ka lihtsalt esimese võrrandi ära lahendada ja seejärel kontrollida leitud lahendit teise tingimusse, et veenduda, et tegemist pole võõralahendiga.
Siinusfunktsiooni graafik etteantud vahemikus

Siinusfunktsiooni graafik etteantud vahemikus

avaldis
Selgitus
Funktsiooni avaldis ja x-telje lõikepunktis on avaldis väärtus avaldis.

Leian ekstreemumpunkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kui funktsiooni avaldis väärtus on teada, siis avaldis leidmiseks tuleb avaldis väärtus asendada algsesse funktsiooni.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis

Leian funktsiooni avaldis teise tuletise

avaldis
Selgitus
Teise tuletise võtmiseks tuleb esimesest tuletisest omakorda tuletis võtta.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Määran ekstreeumi liigi

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud ekstreemumi avaldis koordinaadi funktsiooni teise tuletisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis maksimumpunkt on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.
3. Skitseerin funktsiooni avaldis graafiku vahemikus avaldis
Funktsiooni y = f(x) graafik

Funktsiooni y = f(x) graafik