Ülesanne 10 (20p)

Risttahukakujulise maja pikkus on avaldis, laius avaldis ning (seinte) kõrgus avaldis. Katuse pind koosneb kahest trapetsist ja kahest kolmnurgast, kusjuures kõik need neli osa lõikuvad horisontaaltasapinnaga nurga avaldis all (vt. joonist). Leidke:
1) katuseharja pikkus;
2) maja kõrgus maapinnast katuseharjani;
3) katuse pindala;
4) pööningu ruumala.

Maja koos pööninguga

Maja koos pööninguga

Vaata lahendust
1. Leian katuseharja pikkuse

Teen joonise võrdhaarse trapetsikujulisest pööningu telglõikest

Trapetsikujuline telglõige

Trapetsikujuline telglõige

Selgitus
Otsitav katuseharja pikkus on tähistatud tundmatuga avaldis.Trapetsi pikem alus ühtib maja pikkusega avaldis.Trapetsi kõrgus ühtib pööningu kõrgusega ja on tähistatud tundmatuga avaldis.Kuna kõik katuse tahud lõikuvad horisontaaltasapinnaga nurga avaldis all, siis nurk avaldis ühtib antud trapetsi alusnurgaga.Tundmatuga avaldis tähistasin trapetsil oleva täisnurkse kolmnurga kaateti, mis on trapetsi alusel pikkusega avaldis.
avaldis
Selgitus
Kui võrdhaarse trapetsi pikemast alusest lahutada lühem alus, saame pikemal alusel kahe lõigu pikkuse, millest üks on tähistatud tundmatuga avaldis (mõlemad lõigud on võrdsed). Kui saadud tulemus jagada arvuga avaldis, siis saamegi lõigu avaldis pikkuse.
avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Võrrandis avaldis võib liimeid vedada üle võrdusmärgi risti ülevalt alla ja alt üles. Antud juhul on eesmärk vabaneda murdudest. Selleks viin liikme avaldis risti alt üles.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib vahetada

avaldis

Näide

Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Teen joonise võrdhaarse kolmnurga kujulisest pööningu telglõikest

Kolmnurga kujuline telglõige

Kolmnurga kujuline telglõige

Selgitus
Kolmnurga alus ühtib maja laiusega avaldis.Kolmnurga kõrgus ühtib pööningu kõrgusega ja on tähistatud tundmatuga avaldis.Kuna kõik katuse tahud lõikuvad horisontaaltasapinnaga nurga avaldis all, siis nurk avaldis ühtib antud kolmnurga alusnurgaga.Tundmatuga avaldis tähistasin kolmnurga alusel oleva täisnurkse kolmnurga kaateti, mis on kolmnurga alusel pikkusega avaldis.
avaldis
Selgitus
Lõik avaldis on pool võrdhaarse kolmnurga alusest, järelikult lõigu avaldis leidmiseks tuleb alus pikkusega avaldis jagada arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Võrrandis avaldis võib liimeid vedada üle võrdusmärgi risti ülevalt alla ja alt üles. Antud juhul on eesmärk vabaneda murdudest. Selleks viin liikme avaldis risti alt üles.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib vahetada

avaldis

Näide

Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Võrdsustasin kahel erineval moel leitud leitud põõningu kõrgused avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi tundmatuga avaldis.Tundmatuga võib võrrandi pooli läbi jagada vaid juhul, kui õnnestub veenduda, et võrrandi pooli ei jagata läbi arvuga avaldis.
avaldis
Kui katuse tahud lõikuvad horisontaaltasapinnaga nurga avaldis all, siis polekski majal trapetsi ja kolmnurga kujulisi tahke.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Vastus: Katuseharja pikkus on avaldis.

Selgitus
Tähistasin ülesande alguses katuseharja pikkuse tundmatuga avaldis, järelikult just leitud tundmatu avaldis väärtus avaldis ongi võrdne katuseharja pikkusega.
2. Leian maja kõrguse maapinnast katuseharjani
avaldis
Selgitus
Kui maja kõrgusele avaldis liita juurde pööningu kõrgus avaldis (kasutasin eelmises alaülesandes teisena leitud kuju), siis saame maja kõrguse maapinnast katuseharjani avaldis.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus

Vastus: Maja kõrgus maapinnast katuseharjani on avaldis.

3. Leian katuse pindala

Teen joonise võrdhaarse trapetsi kujulisest pööningu telglõikest lisades sinna otsitava trapetsi haara avaldis

Trapetsikujulise telglõike täiendatud joonis

Trapetsikujulise telglõike täiendatud joonis

avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Arvuga avaldis korrutamine ei muuda arvu.
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Teen joonise katusel olevast kolmnurksest tahust

Katuse kolmnurga kujuline tahk

Katuse kolmnurga kujuline tahk

Selgitus
Kolmnurga alus ühtib maja laiusega avaldis.Kolmnurga kõrgus ühtib trapetsikujulise telglõike haaraga avaldis.

Leian katusel oleva kolmnurga kujulise tahu pindala

avaldis
Selgitus

Kolmnurk

Kolmnurk

Kolmnurk

Kui kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis, siis tema pindala arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis. Leia selle kolmnurga pindala.

avaldis
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Teen joonise võrdhaarse kolmnurga kujulisest pööningu telglõikest lisades sinna otsitava kolmnurga haara avaldis

Kolmnurga kujulise telglõike täiendatud joonis

Kolmnurga kujulise telglõike täiendatud joonis

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmete vahetus liitmise tehtes

Liitmise tehtes liikmete vahetamisel jääb tulemus samaks.

Näide

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus

Teen joonise katusel olevast trapetsikujulisest tahust

Katuse trapetsikujuline tahk

Katuse trapetsikujuline tahk

Selgitus
Trapetsi pikem alus ühtib maja pikkusega avaldis.Trapetsi lühem alus ühtib leitud katuseharja pikkusega avaldis.Trapetsi kõrgus ühtib võrdhaarse kolmnurga kujulise pööningu telglõike haaraga avaldis.

Leian katusel oleva trapetsikujulise tahu pindala

avaldis
Selgitus

Trapets

Trapets

Trapets

Kui trapetsi alused on avaldis ja avaldis ning haarad on avaldis ja avaldis ja tema kõrgus on avaldis, siis tema ümbermõõt ja pindala on arvutatav valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Võrdhaarse trapetsi alused on avaldis ja avaldis ning tema haar on avaldis ja kõrgus on avaldis. Leia selle trapetsi ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian katuse pindala

avaldis
Selgitus
Katuse pindala leidmiseks tuleb liita kahekordne kolmnurgakujuline tahk ja kahekordne trapetsikujukujuline tahk.
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Katuse pindala on avaldis.

4.Leian pööningu ruumala

Pööningu ruumala leidmiseks jaotan pööningu kaheks võrdse ruumalaga püramiidiks ja prismaks

Selgitus
Kui lõigata katuseharja tipust pööningut kolmnurga kujulise telglõikega, jääb ühele poole püramiid, mille põhi on ristkülik (asub pööningu põrandal) ja kõrgus ühtib pööningu kõrgusega ning teisele poole prisma, mille põhi on pööningu kolmnurgakujuline telglõige ja kõrgus ühtib katuseharja pikkusega. Kuna mõlemast katuseharja tipust jääb ühele poole (ühel juhul vasakule ja teisel juhul paremale) võrdse ruumalaga püramiid, on pööningu ruumala leidmisel vaja arvestada vaid kahe kujundiga (üks püramiid ja üks prisma).

Teen joonise püramiidi põhjast

Ristkülikukujuline püramiidi põhi

Ristkülikukujuline püramiidi põhi

Selgitus
Ristküliku kujulise püramiidi põhja üks külg ühtib maja laiusega avaldis ja teine külg ühtib trapetsikujulisel pööningu telglõikel asuva lõiguga avaldis.

Leian külje avaldis

avaldis
Selgitus
Küljele avaldis kirja pandud kuju on võetud ülesande algusest.
avaldis
Selgitus
Esimese alaülesande vastus on katuseharja pikkus avaldis ehk avaldis.
avaldis
Selgitus
Sulu ees olev miinusmärk muudab sulus kõikide liikmete ees olevad märgid.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian selle ristküliku pindala, ehk püramiidi põhja pindala

avaldis
Selgitus

Ristkülik

Ristkülik

Ristkülik

Kui ristküliku küljed on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ristküliku küljed on avaldis ja avaldis. Leia selle ristküliku ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian püramiidi ruumala

avaldis
Selgitus

Püramiidi ruumala

Püramiid nr. 1

Püramiid nr. 1

Kui püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis, siis püramiidi ruumala avaldis on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis. Leia püramiidi ruumala.

avaldis
Antud püramiidi põhja pindala on just leitud avaldis ja püramiidi kõrgus ühtib eelnevalt leitud pööningu kõrgusega avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Teen joonise prisma põhjast

Kolmnurga kujuline telglõige

Kolmnurga kujuline telglõige

Selgitus
Antud prisma põhi on ülesandes eelnevalt juba tehtud pööningu kolmnurga kujulisest telglõikest.

Leian antud kolmnurga pindala, ehk prisma põhja pindala

avaldis
Selgitus

Kolmnurk

Kolmnurk

Kolmnurk

Kui kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis, siis tema pindala arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis. Leia selle kolmnurga pindala.

avaldis
avaldis
Selgitus
Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus
Tundmatu avaldis asendasin eelnevalt leitud väärtusega avaldis.Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian prisma ruumala

avaldis
Selgitus

Prisma

Prisma

Prisma

Kui prisma põhja ümbermõõt on avaldis, põhja pindala on avaldis ja prisma kõrgus on avaldis, siis prisma külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Viisnurkse prisma põhiservad on avaldis, avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis. Leia prisma täispindala ja ruumala, kui selle prisma põhja pindala on avaldis ja prisma kõrgus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Antud prisma põhja pindala on just leitud avaldis ja prisma kõrgus ühtib leitud katuseharja pikkusega avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian pööningu ruumala

avaldis
Selgitus
Pööningu ruumala koosneb kahest võrdse ruumalaga püramiidist, mille ruumala on avaldis ja prismast, mille ruumala on avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Pööningu ruumala on avaldis.