Ülesanne 5 (15p)

1) Aiand saatis tellijale avaldis kasti ja tellijale avaldis kasti maasikaid. Tellijale avaldis saadetud kastide hulgas oli avaldis kasti ja tellijale avaldis saadetud kastide hulgas avaldis kasti poolvalminud marjadega. Leidke tõenäosus, et juhuslikul võtmisel:
a) tellija avaldis võtab esimesena küpsete marjadega kasti;
b) tellija avaldis võetud viie kasti hulgas on kaks poolvalminud marjadega kasti.
2) Aiand saatis tellijale avaldis kasti maasikaid. Iga kast võib saada transportimisel muljuda tõenäosusega avaldis. Millise tõenäosusega saab tellija avaldis muljumata kasti?

Vaata lahendust
1.a. Leian tõenäosuse, et juhuslikul võtmisel tellija avaldis võtab esimesena küpsete marjadega kasti
avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et tellija avaldis võtab juhuslikult küpsete marjadega kasti on avaldis.

1.b. Leian tõenäosuse, et juhuslikul võtmisel tellija avaldis võetud viie kasti hulgas on kaks poolvalminud marjadega kasti

Leian võimaluste arvu viiest kastist kahe poolvalminud marjadega kasti valimiseks

avaldis
Selgitus

Kombinatsioonid

Kombinatsioonideks avaldis elemendist avaldis kaupa nimetatakse avaldis elemendilise hulga avaldis elemendilisi järjestamata osahulkade arvu.

avaldis

Näide

Loto peavõit võidetakse juhul, kui loosimises osaleb avaldis palli ja pihta peavad minema kõik loositud avaldis palli. Mitu piletit peaks ostma, et võidaksid kindlasti peavõidu?

Kuna kokku on avaldis palli, siis vaadeldakse avaldis elemendilist hulka, järelikult avaldis ja kuna loositakse avaldis palli, siis tuleb välja arvutada avaldis elemendiliste osahulkade arv, järelikult avaldis. Kuna numbrite tulemise järjekord pole oluline, arvutatakse antud osahulkade arv kombinatsioonide abil.

avaldis
avaldis


Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian tõenäosuse, et tellija avaldis võetud viie kasti hulgas on kaks poolvalminud marjadega kasti

avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Tõenäosuste korrutamise reegel

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese ja teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget palli. Leia tõenäosus, et kahest võetud pallist on mõlemad valged.

Esimesena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Teise valge palli tõenäosus arvestades, et eelmist tagasi ei panda, on:

avaldis

Siis esimesena ja teisena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Tõenäosuste liitmise reegel, kui sündmused on teineteist välistavad

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja esimest sündmust välistava sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese sündmuse või teise sündmuse toimumise tõenäosus on:

avaldis

Näide

Leia tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis või avaldis silma.

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

avaldis või avaldis silma tulemise tõenäosus on:

avaldis
Antud reeglite põhjal oleks lahendus järgmine:

Leian tõenäosuse, et tellija avaldis võetud viie kasti hulgas kaks esimest kasti on poolvalminud marjadega ja kolm viimast on küpsete marjadega kastid

avaldis

Leian tõenäosuse, et tellija avaldis võetud viie kasti hulgas esimene kast on poolvalminud marjadega, teine kast on küpsete marjadega kast, kolmas kast on poolvalminud marjadega ja kaks viimast on küpsete marjadega kastid

avaldis

Leian tõenäosuse, et tellija avaldis võetud viie kasti hulgas kaks esimest kasti on küpsete marjadega, kolmas poolvalminud marjadega kast, neljas on küpsenud marjadega kast ja viimane on poolvalminud marjadega kast

avaldis

Leian tõenäosuse, et tellija avaldis võetud viie kasti hulgas kolm esimest on küpsete marjadega kastid ja kaks viimast poolvalminud marjadega kastid

avaldis

Leian tõenäosuse, et tellija avaldis võetud viie kasti hulgas on kaks poolvalminud marjadega kasti (antud sündmus moodustub avaldis erinevast sündmusest ja nad kõik on võrdsed)

avaldis

Kuna mitmest sündmusest moodustunud sündmuse tõenäosus, kui sündmused toimuvad erinevas järjekorras on alati võrdsed, saab antud tõenäosuse välja arvutada ka ühe tehtega:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Tõenäosus, et tellija avaldis võetud avaldis kasti hulgas on avaldis poolvalminud marjadega kasti on avaldis.

2. Leian tõenäosuse, et tellija avaldis saab avaldis muljumata kasti

Leian tõenäosuse, et kast ei saa muljuda

avaldis
Selgitus

Täistõenäosuse valem

Kõigi mingis süsteemis esinevate sündmuste summa on võrdne arvuga avaldis:

avaldis

Näide

Töökojas on avaldis tööpinki. Tõenäosus, et esimesena vajab parandamist esimene pink on avaldis. Tõenäosus, et esimesena vajab parandamist teine pink on avaldis. Kui suur on tõenäosus, et esimesena vajab parandamist kolmas pink?

Kuna üks kolmest pingist kindlasti esimesena parandamist vajavad, siis on nende kolme sündmuse tõenäosus kokku avaldis. Kui arvust avaldis lahutada kahe esimese esimesena purunemine, siis kolmanda pingi esimesena purunemise tõenäosuse saan arvutada järgmiselt:

avaldis

Leian võimaluste arvu avaldis kastist avaldis muljumata kasti valimiseks

avaldis
Selgitus

Kombinatsioonid

Kombinatsioonideks avaldis elemendist avaldis kaupa nimetatakse avaldis elemendilise hulga avaldis elemendilisi järjestamata osahulkade arvu.

avaldis

Näide

Loto peavõit võidetakse juhul, kui loosimises osaleb avaldis palli ja pihta peavad minema kõik loositud avaldis palli. Mitu piletit peaks ostma, et võidaksid kindlasti peavõidu?

Kuna kokku on avaldis palli, siis vaadeldakse avaldis elemendilist hulka, järelikult avaldis ja kuna loositakse avaldis palli, siis tuleb välja arvutada avaldis elemendiliste osahulkade arv, järelikult avaldis. Kuna numbrite tulemise järjekord pole oluline, arvutatakse antud osahulkade arv kombinatsioonide abil.

avaldis
avaldis


Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian tõenäosuse, et tellija avaldis saab avaldis muljumata kasti

avaldis
Selgitus

Bernoulli valem

Tõenäosus, et avaldis seerialises sõltumatutest katsetest koosnevas katseteseerias avaldis katset on soodsad, kui soodsa katse tõenäosus on avaldis ning mittesoodsa katse tõenäosus on avaldis arvutatakse valemiga:

avaldis

Näide

Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel avaldis viskest tuleb avaldis silma täpselt avaldis korda.

avaldis silma tuleku tõenäosus on:

avaldis

Mitte avaldis silma tuleku tõenäosus on:

avaldis

Kuna avaldis silma peab tulema avaldis viskest täpselt avaldis korral, siis antud sündmuse tõenäosus on:

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et tellija avaldis saab avaldis muljumata kasti on avaldis.