Ülesanne 6 (15p)

Antud on funktsioon avaldis.
1) Leidke funktsiooni määramispiirkond.
2) Lihtsustage funktsiooni avaldist, kasutades logaritmi omadusi.
3) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud.
4) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid.

Vaata lahendust
1. Leian funktsiooni määramispiirkonna
avaldis
Selgitus

Elementaarfunktsioonide määramispiirkonnad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Antud juhul on n paarisarv.

avaldis

Antud juhul on n paaritu arv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Antud tingimus määramispiirkonnale ühtegi kitsendust ei sea.

Selgitus
Positiivse arvu avaldis jaoks ei leidugi sellist astendajat, mille korral oleks tulemus avaldis.
avaldis
avaldis
Selgitus
Positiivse arvu avaldis ükskõik milline aste on alati positiivne.Kui murru nimetaja positiivne, siis murd on positiivne vaid siis, kui ka murru lugeja on positiivne.

Vastus: Antud funktsiooni määramispiirkond on avaldis.

Selgitus
Kuna esimene tingimus ühtegi kitsenust ei tekitanud, siis teisest tingimusest saadud kitsendus ongi antud funktsiooni määramispiirkond.
2. Lihtsustan funktsiooni avaldist, kasutades logaritmi omadusi
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit vasakult paremale.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult logaritmi definitsiooni põhjal:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Funktsiooni lihtsustatud kuju on avaldis.

3. Leian funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

Leian funktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Kasvamispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamispiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrratuse korrutise ja jagatise samaväärsus

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näited

1) Võrratus avaldis on samaväärne võrratusega avaldis.
2) Võrrtus avaldis on samaväärne võrratusega avaldis, kui on täidetud lisatingimus avaldis.

Leian võrratuse nullkohad

avaldis
Selgitus
Võrratuse nullkohtade leidmiseks tuleb võrratuse märk asendada võrdusmärgiga ja lahendada saadud võrrand.

Leian nullkohti kahest järgmisest võrrandist:

avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Pole midagi lahendada. Esimene lahend on leitud.
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmete järjekorra muutmine

Liikmete järjekorda võib hulkliikmes muuta, kui iga liikme ette jääb sama märk.

Näide

Hulkliige avaldis on samaväärne hulkliikmega avaldis.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
avaldis
Selgitus

Lahend avaldis ei sobi.

Selgitus
Lahend avaldis ei ole funktsiooni määramispiirkonnas:
avaldis

Leian kasvamisvahemiku

Joonis 8

Joonis 8

Selgitus
Kui nullkohad on leitud, siis tehakse joonis järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kantakse nullkohad kasvavas järjekorras arvteljele.
2) Valitakse suvaline piirkond ja kontrollitakse suvalise arvuga, sellest piirkonnast, kas selles piirkonnas on funktsiooni väärtus positiivne või negatiivne. Vastavalt sellele tõmmatakse joon kas alla või ülespoole telge.
3) Seejärel veetakse joon nullkohani ja sõltuvalt sellest kas antud nullkoht on paaris- või paaritu arvulise kordsusega, põrgatakse nullkohast tagasi või läbitakse telg, kuni kõik nullkohad on läbitud.

Kui nullkohad on leitud, siis antud joonis tehakse järgmiste põhimõtete järgi:

Peale nullkohtade kasvavas järjekorras arvteljele kandmist vaatlen kõige parempoolset piirkonda, kontrollides arvuga avaldis, kas seal piirkonnas on funktsioon positiivne või negatiivne.

avaldis

Järelikult hakkan joont vedama alt poolt telge. Kuna kõik lahendid on ühekordsed, ehk paarituarvulised, siis joon läbib kõiki nullkohti.

Antud joonise tegemisel tuleb arvestada ka funktsiooni määramispiirkonnaga:
avaldis
avaldis
Selgitus
Lugesin vastuse järgmise põhimõtte alusel: teljest ülevalpool asuvad punktid on positiivsed, telje peal asuvad punktid on võrdsed nulliga ja allpool asuvad punktid on negatiivsed.Kuna hetkel otsisin võrratuse positiivsuspiirkonda, siis lugesin vastusesse joone need punktid, mis asuvad üleval pool telge.

Leian kahanemisvahemiku

Joonis 9

Joonis 9

Selgitus
Kui nullkohad on leitud, siis tehakse joonis järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kantakse nullkohad kasvavas järjekorras arvteljele.
2) Valitakse suvaline piirkond ja kontrollitakse suvalise arvuga, sellest piirkonnast, kas selles piirkonnas on funktsiooni väärtus positiivne või negatiivne. Vastavalt sellele tõmmatakse joon kas alla või ülespoole telge.
3) Seejärel veetakse joon nullkohani ja sõltuvalt sellest kas antud nullkoht on paaris- või paaritu arvulise kordsusega, põrgatakse nullkohast tagasi või läbitakse telg, kuni kõik nullkohad on läbitud.

Kui nullkohad on leitud, siis antud joonis tehakse järgmiste põhimõtete järgi:

Peale nullkohtade kasvavas järjekorras arvteljele kandmist vaatlen kõige parempoolset piirkonda, kontrollides arvuga avaldis, kas seal piirkonnas on funktsioon positiivne või negatiivne.

avaldis

Järelikult hakkan joont vedama alt poolt telge. Kuna kõik lahendid on ühekordsed, ehk paarituarvulised, siis joon läbib kõiki nullkohti.

Antud joonise tegemisel tuleb arvestada ka funktsiooni määramispiirkonnaga:
avaldis
avaldis
Selgitus
Lugesin vastuse järgmise põhimõtte alusel: teljest ülevalpool asuvad punktid on positiivsed, telje peal asuvad punktid on võrdsed nulliga ja allpool asuvad punktid on negatiivsed.Kuna hetkel otsisin võrratuse negatiivsuspiirkonda, siis lugesin vastusesse joone need punktid, mis asuvad all pool telge.

Vastus: Funktsiooni kasvamisvahemik on avaldis ja kahanemisvahemik on avaldis.

4. Leian funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Leian funktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes leitud.

Leian funktsiooni ekstreemumid

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi tundmatuga avaldis.Tundmatuga võib võrrandi pooli läbi korrutada vaid juhul, kui õnnestub veenduda, et võrrandi pooli ei korrutata läbi arvuga avaldis.Asendades arvu avaldis antud võrrandisse, on võimalik veenduda, et arv avaldis ei ole antud võrrandi lahend.
avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes leitud.

Lahend avaldis ei sobi.

Selgitus
Lahend avaldis ei ole funktsiooni määramispiirkonnas:
avaldis

Leian funktsiooni teise tuletise

avaldis
Selgitus

Määran funktsiooni ekstreemumi liigi

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Leian funktsiooni maksimumpunkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Funktsiooni maksimumpunkti avaldis koordinaadi arvutamiseks tuleb maksimumpunkti avaldis koordinaat asendada algsesse funktsiooni.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis

Vastus: Funktsiooni maksimumpunkt on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.