Ülesanne 5 (15p)

Antud on funktsioon avaldis.
1) Leidke funktsiooni tuletis.
2) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud.
3) Leidke funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid.
4) Leidke funktsiooni graafikule joonestatud puutuja tõus punktis, mille abtsiss on avaldis.
5) Skitseerige funktsiooni graafik. Joonestage funktsiooni graafikule puutuja punktis, mille abtsiss on avaldis.

Vaata lahendust
1. Leian funktsiooni tuletise
avaldis
Selgitus

Vastus: Funktsiooni tuletis on avaldis.

2. Leian funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

Leian tuletise

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes juba leitud.

Leian kasvamisvahemiku

avaldis
Selgitus

Kasvamispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamispiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
Selgitus
Ruutvõrratuse lahendamine:1) Asendan võrratusemärgi võrdusmärgiga, et leida nullkohad.

2) Seejärel tuleb need nullkohad kanda kasvavas järjekorras arvteljele ja joonistada nullkohtadest läbi parabool:
a) kui liikme avaldis ees olev arv on positiivne, siis avanevad parabooli haarad ülespoole;
b) kui liikme avaldis ees olev arv on negatiivne, siis avanevad parabooli haarad allapoole.
3) Loen jooniselt vastavalt võrratuse märgile vastuse:
a) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest üleval pool, annavad ruutfunktsioonile positiivse väärtuse (suurem nullist);
b) kõik punktid, mis asuvad telje peal, annavad ruutfunktsioonile väärtuse avaldis (võrdne nulliga);
c) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest allpool, annavad ruutfunktsioonile negatiivse väärtuse (väiksem nullist).

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Joonis 13

Joonis 13

avaldis

Leian kahanemisvahemiku

avaldis
Selgitus

Kahanemispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kahanemispiirkond.

avaldis
avaldis

Leian nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 3

Joonis 3

Vastus:avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes juba leitud.
Joonis 14

Joonis 14

avaldis

Vastus: Kasvamisvahemik on avaldis ja kahanemisvahemik on avaldis.

3. Leian funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Leian tuletise

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes juba leitud.

Leian ekstreemumid

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus
Tuletisfunktsiooni nullkohad ülesandes eelnevalt juba leitud.
avaldis
Selgitus
Loetlesin leitud ekstreemumid hulgamärkide vahel.

Leian teise tuletise

avaldis
Selgitus

Määran ekstreemumite liigid

avaldis
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Leian ekstreemumitele vastavad avaldis koordinaadid

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb avaldis asendada algsesse funktsiooni ja seejärel avaldis välja arvutada.

Vastus: Antud funktsiooni maksimumpunkt on avaldis ja miinimumpunkt on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.
4. Leian funktsiooni graafikule joonestatud puutuja tõusu punktis, mille abtsiss on avaldis

Leian tuletise

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes juba leitud.

Leian nõutud tõusu

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Kui funktsiooni abtsiss on avaldis, siis tema puutuja tõus on avaldis.

5. Skitseerin funktsiooni graafiku. Joonestan funktsiooni graafikule puutuja punktis, mille abtsiss on avaldis

Et hiljem puutujat joonestada punktis, mille abtsiss (tundmatu avaldis väärtus) on avaldis, arvutan kõigepealt välja ordinaadi ( tundmatu avaldis väärtuse):

avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb avaldis asendada algsesse funktsiooni ja seejärel avaldis välja arvutada.

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kuupfunktsioon koos puutujaga

Kuupfunktsioon koos puutujaga

Selgitus
Puutuja võrrandi leidmist pole küsitud. Kui puutepunkt on teada, siis tõusu abil on võimalik puutuja ka ilma võrrandita joonestada.Sirge tõus näitab, mitu korda kasvab avaldis kiiremini kui avaldis. Kuna tõus on antud juhul avaldis, siis samal ajal kui avaldis muutub avaldis ühiku paremale, siis avaldis muutub avaldis ühikut üles.