Ülesanne 9 (20p)

On antud kera ruumalaga avaldisavaldis. Kera sisse on kujundatud koonus (vaata jooniselt ristlõiget).
1) Leidke kera raadius avaldis.
2) Avaldage koonuse põhja raadius avaldis koonuse kõrguse avaldis kaudu.
3) Avaldage koonuse ruumala kõrguse avaldis kaudu.
4) Kui suur peab olema koonuse kõrgus avaldis, et koonuse ruumala oleks maksimaalne?

Kera sisse kujundatud koonuse ristlõige

Kera sisse kujundatud koonuse ristlõige

Vaata lahendust
1. Leian kera raadiuse avaldis

Kera ruumala valemi põhjal saan kirjutada välja järgmise seose:

avaldis
Selgitus

Kera

Kera

Kera

Kui kera raadius on avaldis, siis kera pindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis

Näide

Kera raadius on avaldis. Leia kera pindala ja ruumala.

avaldis
avaldis

Kuna kera ruumala on avaldisavaldis, siis saan seosele kuju:

avaldis
Selgitus
Asendasin ülesandes antud kera ruumala antud valemisse ja vahetasin võrduse pooled.
avaldis
Selgitus
Võrrandis avaldis võib liikmeid vedada risti üle võrdusmärgi ülevalt alla ja alt üles. Antud juhul oli eesmärk avaldada tundmatu avaldis, selleks viisin arvu avaldis risti üles ning arvu avaldis ja avaldis risti alla.

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
Eelmise võrduse ahela algus ja lõpp annavad näidatud tulemuse.
avaldis
Selgitus

Vastus: Kera raadius on avaldis.

2. Avaldan koonuse põhja raadiuse avaldis koonuse kõrguse avaldis kaudu

Täiendan antud joonist

Kera sisse kujundatud koonuse ristlõige täiendatud kujul

Kera sisse kujundatud koonuse ristlõige täiendatud kujul

Selgitus
Antud ristlõikel on võimalik kera raadius kujutada ristlõikel olevast kolmnurga keskpunktist kuni suvalise ringjoone punktini.Kui antud ristlõike täiendatud joonisel koonuse kõrgusest avaldis maha lahutada kera raadius avaldis, saame ristlõikel oleva kolmnurga alumise lõigu keskpunktist kuni kolmnurga aluseni.
Täisnurkne kolmnurk nr. 9

Täisnurkne kolmnurk nr. 9

Selgitus
Arvestades, et avaldis saan avaldada koonuse põhja raadiuse avaldis koonuse kõrguse avaldis kaudu järgmisest täisnurksest kolmnurgast.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kui sulgude ees on - märk, siis sulgudest vabanemiseks tuleb muuta kõik sulgude sees olevad märgid.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna lahend avaldis on võõrlahend, siis on ainus koonuse põhja raadius:

avaldis
Selgitus
Koonuse põhja raadius ei saa olla negatiivne.

Vastus: Koonuse põhja raadius on avaldis.

3. Avaldan koonuse ruumala kõrguse avaldis kaudu
avaldis
Selgitus

Koonus

Koonus

Koonus

Kui koonuse raadius on avaldis, koonuse kõrgus avaldis ja koonuse moodustaja(lõik koonuse tipust põhjani) on avaldis, siis koonuse põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Koonuse raadius on avaldis, kõrgus on avaldis ja moodustaja on avaldis. Leia koonuse täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelmises punktis leitud koonuse põhja raadiuse avaldis kõrguse avaldis kaudu ruumala valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kuna korrutises tegurite järjekord vastust ei muuda, siis võib avaldis tõsta sulgude ette.
avaldis
Selgitus

Vastus: Koonuse ruumala on avaldis.

4. Leian sellise koonuse kõrguse avaldis, mille korral on koonuse ruumala maksimaalne
avaldis
Selgitus
Eelmise punkti põhjal.

Leian koonuse ruumala funktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus

Leian koonuse ruumala funktsiooni ekstreemumi

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis, millega sain võrrandis lahti tundmatust avaldis ja muutsin samal ajal ka kõigi liikmete ees olevad märgid.
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna antud võrrandi esimene lahend avaldis on võõrlahend, siis ainus lahend, mis koonuse kõrguseks sobib on:

avaldis
Selgitus
Koonuse kõrgus ei saa olla avaldis.

Leian koonuse ruumala funktsiooni teise tuletise

avaldis
Selgitus

Määran koonuse ruumala funktsiooni ekstreemumi liigi

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis väärtuse avaldis teise tuletisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Vastus: Et koonuse ruumala oleks maksimaalne, peab koonuse kõrgus olema avaldis.