Ülesanne 10 (20p)

On antud funktsioonid avaldis ja avaldis.
1) Joonestage x-teljega ja joonega avaldis piiratud kujund ning selle sisse täisnurkne kolmnurk, mille üks tipp on koordinaatide alguses, üks kaatet x-teljel ja selle vastastipp joonel avaldis. Leidke selle kolmnurga maksimaalne võimalik pindala.
2) Leidke funktsiooni avaldis nullkohad.
3) Määrake arv avaldis nii, et funktsiooni avaldis nullkohad ühtiksid avaldis nullkohtadega. Arvutage saadud avaldis väärtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala.

Vaata lahendust
1. Joonestan x-teljega ja joonega avaldis piiratud kujundi ning selle sisse täisnurkse kolmnurga, mille üks tipp on koordinaatide alguses, üks kaatet x-teljel ja selle vastastipp joonel avaldis. Leian selle kolmnurga maksimaalse võimaliku pindala

Leian joone avaldis nullkohad

avaldis
Selgitus

Nullkohad

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis nullkohad.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Leian joone avaldis haripunkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kui ruutfunktsiooni nullkohad on avaldis ja avaldis, siis haripunkti avaldis koordinaadi arvutamiseks kehtib valem:
avaldis
Näide: Leia ruutfunktsiooni avaldis haripunkti avaldis koordinaat.

Leian parabooli nullkohad:

avaldis
avaldis
avaldis

Leian parabooli haripunkti avaldis koordinaadi:

avaldis

Saadud andmete põhjal joonestan ruutfunktsiooni avaldis koos ligikaudse nõutud täisnurkse kolmnurgaga

Ruutfunktsioon koos täisnurkse kolmnurgaga

Ruutfunktsioon koos täisnurkse kolmnurgaga

Moodustan joonisel oleva täisnurkse kolmnurga pindala funktsiooni

avaldis
Selgitus

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk 2

Täisnurkne kolmnurk 2

Kui täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis ning hüpotenuus on avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis arvutatakse järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Täisnurkse kolmnurga küljed on avaldis; avaldis ja avaldis. Leia selle kolmnurga ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvuga avaldis jagamine annab sama tulemuse, mis korrutamine arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Lõigu avaldis positiivne pikkus on avaldis (loen jooniselt).Lõigu avaldis positiivne pikkus on avaldis (loen jooniselt).Kuna punkt avaldis on joonel avaldis, siis tundmatu avaldis väärtus on avaldis.
avaldis
Selgitus

Leian täisnurkse kolmnurga pindala funktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Kuna arvuga avaldis korrutamine arvu ei muuda, siis võib selle liikme avaldis ette kirjutamata jätta.

Leian täisnurkse kolmnurga pindala funktsiooni ekstreemumi

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna kolmnurga külg avaldis ei saa olla avaldis, siis lahend avaldis ei sobi ja ainus ekstreemum on:

avaldis
Selgitus
Kolmnurga külje pikkus ei saa olla avaldis.

Leian täisnurkse kolmnurga pindala funktsiooni teise tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Määran täisnurkse kolmnurga pindala funktsiooni ekstreemumi liigi

avaldis
Selgitus
Asendasin ekstreemumi avaldis teise tuletisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Leitud ekstreemum on küll avaldis, kuid kolmnurga avaldis külg avaldis, mille väärtuseks on leitud avaldis (loen jooniselt) ei saa olla negatiivne, siis loen kolmnurga küljeks ikkagi positiivse väärtuse:

avaldis
Selgitus
Kolmnurga külg ei saa olla negatiivne.

Leian väärtuse avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud ekstreemumi funktsiooni avaldis avaldisse.
avaldis
Selgitus
Iga arvu ruut on positiivne.
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Kui murru lugeja või nimetaja on negatiivne, siis võib miinusmärgi tuua murru ette.

Kuna kolmnurga avaldis külje avaldis pikkus ongi avaldis väärtus, ainult positiivne, siis on külje avaldis pikkus kokkuvõttes:

avaldis
Selgitus
Kolmnurga külg ei saa olla negatiivne.

Leian kolmnurga avaldis pindala

avaldis
Selgitus

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk 2

Täisnurkne kolmnurk 2

Kui täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis ning hüpotenuus on avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis arvutatakse järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Täisnurkse kolmnurga küljed on avaldis; avaldis ja avaldis. Leia selle kolmnurga ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvuga avaldis jagamine annab sama tulemuse, mis korrutamine arvuga avaldis.Asendasin leitud avaldis ja avaldis pikkused täisnurkse kolmnurga pindala valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Selle kolmnurga maksimaalne pindala on avaldis.

2. Leian funktsiooni y = g(x) nullkohad
avaldis
Selgitus

Nullkohad

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis nullkohad.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandite pooli läbi avaldisega avaldis.Tundmatut sisaldava avaldisega võib läbi korrutada võrrandi pooli vaid, siis kui õnnestub veenduda, et võrrandi pooli ei jagata läbi arvuga avaldis.Kuid ükski arvust avaldis erineva arvu aste ei saagi avaldis olla.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Liikmete järjekorra muutmine

Liikmete järjekorda võib hulkliikmes muuta, kui iga liikme ette jääb sama märk.

Näide

Hulkliige avaldis on samaväärne hulkliikmega avaldis.

Teen asenduse avaldis ja saan võrrandile kuju:

avaldis
Selgitus
Tegemist on avaldist avaldis sisaldava ruutvõrrandiga. Selleks, et saada võrrandist standardne ruutvõrrand oli vaja teha asendus:
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Asendan tundmatu avaldis väärtused tagasi ja saan tundmatu avaldis leidmiseks avaldis võrrandit:

avaldis
Selgitus
avaldis asendamisel sain lihtsama tundmatust avaldis sõltuva võrrandi, kuid tegemist on siiski tundmatust avaldis sõltuva võrrandiga ja soovitud avaldis väärtused saame, kui asendame avaldis väärtused asendatud seosesse tagasi.
avaldis
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
Kui astme alused on võrdsed, siis peavad olema võrdsed ka astmed.
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
Kui astme alused on võrdsed, siis peavad olema võrdsed ka astmed.

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis.

Selgitus
Loetlesin leitud nullkohad hulgamärkide vahel.
3. Määran arvu avaldis nii, et funktsiooni avaldis nullkohad ühineksid avaldis nullkohtadega. Arvutan saadud avaldis väärtusel esimeses punktis leitud kolmnurga pindala

Määran arvu avaldis nii, et funktsioonide avaldis nullkohad avaldis ja avaldis nullkohad avaldis ühtiksid

avaldis
Selgitus
Kui funktsioonide avaldis ja avaldis nullkohad vastavusse seada, siis on näha, et mõlema funktsiooni teine nullkoht väärtusega avaldis ongi neil juba kindel ühine nullkoht.Selleks, et funktsioonide avaldis ja avaldis esimene nullkoht oleks sama peab kehtima võrdus:
avaldis

Leian saadud avaldis väärtuse korral esimeses punktis leitud kolmnurga pindala

avaldis
Selgitus
Asendasin saadud avaldis esimeses punktis leitud pindala valemisse.
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Kui avaldis, siis avaldis nullkohad ühtivad avaldis nullkohtadega. Kui avaldis, siis on esimeses punktis leitud kolmnurga pindala avaldis pindala ühikut.