Ülesanne 11 (20p)

Varikatuse ristlõige (vaata jooniseid) on saadud võrdkülgsest kolmnurgast selle ühe nurga ümardamisel ringjoone kaarega, mille raadius on avaldis. Sealjuures kolmnurga kaks külge on ringjoone puutujateks. Varikatuse laius ja pikkus on vastavalt avaldis ja avaldis. Leidke varikatuse pindala avaldis, katusealuse ruumala avaldis ja kõrgus avaldis.

Katusealune

Katusealune

Katusealuse ristlõige

Katusealuse ristlõige

Vaata lahendust
Leian varikatuse pindala

Täiendan ristlõiget haarade pikendamisel võrdkülgse kolmnurgani

Varikatuse ristlõike täiendatud joonis

Varikatuse ristlõike täiendatud joonis

Leian nurga avaldis

avaldis
Selgitus

Kolmnurga sisenurkade summa

Kolmnurk nr. 3

Kolmnurk nr. 3

avaldis

Näide

Kolmnurga kaks nurka on avaldis ja avaldis. Leia kolmas nurk.

avaldis
Võrdkülgse kolmnurga nurgad on võrdsed.Kui kolmnurga sisenurkade summa on avaldis ja kõik kolm nurka on võrdsed, siis üks nurk on kolmnurga sisenurkade summast avaldis kolm korda väiksem, ehk:
avaldis

Leian nurga avaldis

avaldis
Selgitus
Jooniselt on näha, et avaldis ja avaldis ühtivad.

Leian nurga avaldis

avaldis
Selgitus
Võrdhaarse kolmnurga kõrgus poolitab tipunurga (võrdkülg-sel kolmnurgal on kõik küljed võrdsed, järelikult ka haarad).Järelikult tuleb nurga avaldis leidmiseks avaldis väärtus jagada arvuga avaldis.

Leian nurga avaldis

avaldis
Selgitus
Ringjoone puutuja ja ringjoone raadiuse vahel on täisnurk, ehk nurk väärtusega avaldis.
Varikatuse ristlõike täisnurkse kolmnurga kujuline osa

Varikatuse ristlõike täisnurkse kolmnurga kujuline osa

avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Võrrandis avaldis võib liikmeid vedada üle võrdusmärgi risti ülevalt alla ja alt üles. Hetkel oli eesmärk avaldada tundmatu avaldis, selleks vedasin liikme avaldis risti üles vasakule, liikme avaldis risti alla paremale ja liikme avaldis risti üles paremale.
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian lõigu avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus
Kuna kolmnurk avaldis on võrdkülgne kolmnurk ja alus avaldis, siis on ka haar avaldis.

Leian lõigu avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus
Lõik avaldis koosneb lõikudest avaldis ja avaldis. Kui tahan kätte saada lõigu avaldis pikkust, siis tuleb kogu lõigu avaldis pikkusest lahutada lõigu avaldis pikkus.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud lõigud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian katuse ristlõike täiendatud joonisel oleva ringjoone pikkuse

avaldis
Selgitus

Ringjoon

Ringjoon

Ringjoon

Kui ringjoone raadius on avaldis, siis selle ringjoone pikkus avaldis ja ringi pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Ringjoone raadius on avaldis. Leia selle ringjoone pikkus ja ringi pindala.

avaldis
avaldis

Leian nurga avaldis

avaldis
Selgitus
Ülesandes eelnevalt leitud.

Leian nurgad avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus
Ringjoone puutuja ja ringjoone raadiuse vahel on täisnurk, ehk nurk väärtusega avaldis.

Leian nurga avaldis

avaldis
avaldis
Selgitus
Nelinurga sisenurkade summa on avaldis. Kui nelinurga kolm nurka on teada, siis neljanda nurga jaoks lahutan nelinurga sisenurkade summast avaldis ülejäänud kolm nurka maha.

Kuna avaldis on ringjoone pealmise kaare avaldis sisenurk ja avaldis, siis ringjoone pealmise kaare avaldis pikkus on kolmandik kogu ringjoone pikkusest:

avaldis
Selgitus
Kuna täispööre on avaldis, siis nurk avaldis on sellest avaldis korda väiksem. Järelikult on ka pealmise kaare pikkus avaldis kogu ringjoonest avaldis korda lühem. Järelikult saan pealmise kaare avaldis pikkuse, kui ma jagan kogu ringjoone pikkuse arvuga avaldis.

Teen varikatuse ristkülikukujulise pinnalaotuse joonise, et leida varikatuse pindala

Varikatuse pinnalaotus

Varikatuse pinnalaotus

Leian ristküliku külje avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus
Jooniselt on näha, et lõik avaldis on lõikude avaldis, avaldis ja avaldis summa.Kuna lõigud avaldis ja avaldis on võrdsed, siis:
avaldis

Olen saanud seose:

avaldis
Selgitus
Eelmise võrduseahela alguse ja lõpu põhjal.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud lõigud avaldis ja avaldis viimasesse seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus

Lõik avaldis on varikatuse pikkus avaldis, järelikult kehtib võrdus:

avaldis
Selgitus
Varikatuse pikkus avaldis on ülesandes antud.

Leian varikatuse pindala:

avaldis
Selgitus

Ristkülik

Ristkülik

Ristkülik

Kui ristküliku küljed on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ristküliku küljed on avaldis ja avaldis. Leia selle ristküliku ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin lõigud avaldis ja avaldis ristküliku pindala valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
SelgitusLeian varikatuse ruumala

Leian lõigu avaldis

avaldis
Selgitus
Lõigu avaldis pikkuse arvutamiseks tuleb lõik avaldis jagada arvuga avaldis, sest võrdhaarse kolmnurga kõrgus poolitab aluse(võrdkülgse kolmnurga kõik küljed on võrdsed, järelikult ka haarad).
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud lõigu avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Varikatuse ristlõike täisnurkse kolmnurga kujuline osa nr. 1

Varikatuse ristlõike täisnurkse kolmnurga kujuline osa nr. 1

Leian lõigu avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud lõigud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus

Leian kolmnurga avaldis pindala

Varikatuse ristlõike kolmnurga kujuline osa

Varikatuse ristlõike kolmnurga kujuline osa

avaldis
Selgitus

Kolmnurk

Kolmnurk

Kolmnurk

Kui kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis, siis tema pindala arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis. Leia selle kolmnurga pindala.

avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud lõigud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Leian kolmnurga avaldis pindala

Varikatuse ristlõike täisnurkse kolmnurga kujuline osa nr. 2

Varikatuse ristlõike täisnurkse kolmnurga kujuline osa nr. 2

Leian kolmnurga avaldis pindala

avaldis
Selgitus

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk 2

Täisnurkne kolmnurk 2

Kui täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis ning hüpotenuus on avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis arvutatakse järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Täisnurkse kolmnurga küljed on avaldis; avaldis ja avaldis. Leia selle kolmnurga ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin ülesandes antud lõigu avaldis ja eelnevalt leitud lõigu avaldis pindala valemisse.
avaldis
Selgitus

Leian nelinurga avaldis pindala

avaldis
Selgitus
Kuna kolmnurgad avaldis ja avaldis on võrdsed, siis nelinurga avaldis pindala leidmiseks tuleb kolmnurga avaldis pindala korrutada arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian ristlõike täiendatud joonisel oleva ringjoone pindala

avaldis
Selgitus

Ringjoon

Ringjoon

Ringjoon

Kui ringjoone raadius on avaldis, siis selle ringjoone pikkus avaldis ja ringi pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Ringjoone raadius on avaldis. Leia selle ringjoone pikkus ja ringi pindala.

avaldis
avaldis

Leian ringjoone sektori ülemise osa avaldis pindala

avaldis
Selgitus
Sektori avaldis pindala on ringi pindalast kolmandik (sektori nurk avaldis on täispöördest, ehk nurgast avaldis kolmandik). Järelikult tuleb sektori avaldis pindala leidmiseks kogu ringjoone pindala jagada arvuga avaldis.

Leian varikatuse ristlõike pindala

avaldis
Selgitus
Varikatuse ristlõike pindala leidmiseks tuleb kõigepealt suurest kolmnurgast avaldis maha lahutada nelinurga avaldis pindala. Kuid siis jääb kaare ülemine osa avaldis pindala ristlõike pindalast puudu, see tuleb järelikult lõpuks juurde liita.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis, avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
Arvu murruks teisendamiseks tuleb arvule murrujoon ja avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian varikatuse ruumala

avaldis
Selgitus

Prisma

Prisma

Prisma

Kui prisma põhja ümbermõõt on avaldis, põhja pindala on avaldis ja prisma kõrgus on avaldis, siis prisma külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Viisnurkse prisma põhiservad on avaldis, avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis. Leia prisma täispindala ja ruumala, kui selle prisma põhja pindala on avaldis ja prisma kõrgus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Antud juhul on prisma põhi varikatuse ristlõige ja prisma kõrgus on varikatuse pikkus.Asendasin leitud varikatuse pindala avaldis ja ülesandes antud varikatuse pikkuse avaldis ruumala valemisse.
avaldis
SelgitusLeian varikatuse kõrguse

Leian lõigu avaldis

avaldis
Selgitus
Lõik avaldis on ülesandes juba leitud.
Varikatuse ristlõike täisnurkse kolmnurga kujuline osa nr. 3

Varikatuse ristlõike täisnurkse kolmnurga kujuline osa nr. 3

Leian lõigu avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Võrrandis avaldis võib liikmeid vedada üle võrdusmärgi risti ülevalt alla ja alt üles. Hetkel oli eesmärk avaldada tundmatu avaldis, selleks vedasin liikme avaldis risti üles vasakule ja liikme avaldis risti üles paremale.Kuna arvuga avaldis korrutamine midagi ei muuda, siis jäigi liige avaldis ainsana vasakule, nagu vaja.

Leian varikatuse kõrguse

avaldis
Selgitus
Varikatuse kõrguse leidmiseks tuleb lõigust avaldis lahutada lõik avaldis. Kuid siis jääb kõrgusest ühe raadiuse jagu pikkust puudu, see tuleb lihtsalt juurde liita.
avaldis
Selgitus
Asendasin lõigud avaldis ja avaldis saadud seosesse.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Varikatuse pindala on avaldis, varikatuse ruumala on avaldis ja varikatuse kõrgus on avaldis.