Ülesanne 8 (15p)

Tasandil on antud avaldis sirget. Esimene neist on antud võrrandiga avaldis. Teine on paralleelne esimesega ja läbib punkti avaldis. Kolmas on risti esimesega ja läbib punkti avaldis. Neljas on paralleelne y-teljega ja läbib punkti avaldis. Kolmas sirge lõikab esimest punktis avaldis ja teist punktis avaldis. Neljas sirge lõikab esimest sirget punktis avaldis ja teist punktis avaldis.
1) Tehke joonis ja koostage antud sirgete võrrandid.
2) Leidke nelinurga avaldis tippude koordinaadid.
3) Arvutage nelinurga avaldis
a) külgede täpsed pikkused;
b) pindala.

Vaata lahendust
1. Teen joonise ja koostan antud sirgete võrrandid

Esimese sirge võrrandi väärtuste tabel.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
4 sirget

4 sirget

Selgitus
Kui esimene sirge on tabeli põhjal tehtud, siis teise sirge saab esimese sir-ge abil teha kasutades rööplüket tõmmates sirge läbi punkti avaldis.Kolmanda sirge saab teha esimese sirge abil kasutades täisnurkset nurgikut, tõmmates sirge läbi punkti avaldis.Neljanda sirge saab teha y-telje abil kasutades rööplüket, tõmmates sirge läbi punkti avaldis.

Leian esimese sirge avaldis tõusu

avaldis
avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine, kui on teada sirge võrrand

Kui sirge võrrand on kujul avaldis, siis sirge tõus on lineaarliikme avaldis kordaja:

avaldis

Näide

Leia sirge avaldis tõus.

avaldis
avaldis
avaldis

Leian teise sirge tõusu

avaldis
Selgitus

Paralleelsete sirgete omadus

Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis paralleelse sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis

Järelikult temaga paralleelse sirge tõus on:

avaldis

Leian teise sirge võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Leian kolmanda sirge tõusu arvestades, et esimese sirge tõus on: avaldis

avaldis
Selgitus

Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete vahel kehtib seos:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis risti oleva sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult temaga risti oleva sirge tõus on:

avaldis
avaldis
Selgitus
Murru teisendamisel arvuks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus

Leian kolmanda sirge võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Leian neljanda sirge võrrandi

avaldis
Selgitus
y-teljega paralleelse sirge võrrand on kujul avaldis, kus avaldis on arv, mis on suvalise punkti avaldis koordinaat sellel sirgel.

Vastus: Esimese sirge võrrand on avaldis, teise sirge võrrand on avaldis, kolmanda sirge võrrand on avaldis ja neljanda sirge võrrand on avaldis.

2. Leian nelinurga ABCD tippude koordinaadid

Leian punkti avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis leidmiseks moodustasin esimesest ja kolmandast sirgest võrrandisüsteemi ja selle võrrandisüsteemi lahendid avaldis ja avaldis ongi punkti avaldis koordinaat ja avaldis koordinaat.
avaldis
Selgitus
Võrdsustasin võrrandisüsteemis tundmatud avaldis ja sain tundmatust avaldis sõltuva võrrandi.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis võrrandisüsteemi teise võrrandisse ja arvutasin avaldis välja.

Järelikult on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Leian punkti avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis leidmiseks moodustasin teisest ja kolmandast sirgest võrrandisüsteemi ja selle võrrandisüsteemi lahendid avaldis ja avaldis ongi punkti avaldis koordinaat ja avaldis koordinaat.
avaldis
Selgitus
Võrdsustasin võrrandisüsteemis tundmatud avaldis ja sain tundmatust avaldis sõltuva võrrandi.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud tundmatu avaldis võrrandisüsteemi teise võrrandisse ja arvutasin teise tundmatu avaldis välja.

Järelikult on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Leian punkti avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis leidmiseks moodustasin teisest ja neljandast sirgest võrrandisüsteemi ja selle võrrandisüsteemi lahendid avaldis ja avaldis ongi punkti avaldis koordinaat ja avaldis koordinaat.

Kuna avaldis on juba teise võrrandiga esitatud, siis jääb välja arvutada vaid avaldis:

avaldis
Selgitus
Asendasin teadaoleva tundmatu avaldis teisest võrrandist esimesse ja arvutasin teise tundmatu avaldis välja.

Järelikult on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Leian punkti avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis leidmiseks moodustasin esimesest ja neljandast sirgest võrrandisüsteemi ja selle võrrandisüsteemi lahendid avaldis ja avaldis ongi punkti avaldis koordinaat ja avaldis koordinaat.

Kuna avaldis on juba teise võrrandiga esitatud, siis jääb välja arvutada vaid avaldis:

avaldis
Selgitus
Asendasin teadaoleva tundmatu avaldis teisest võrrandist esimesse ja arvutasin teise tundmatu avaldis välja.

Järelikult on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Vastus: avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis.

3.a. Arvutan nelinurga ABCD külgede täpsed pikkused

Leian nelinurga avaldis küljevektorid

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian nelinurga ABCD küljevektorite pikkused, mis on ka nelinurga avaldis külgede pikkused

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis
3.b. Leian nelinurga ABCD pindala

Kuna nelinurgal avaldis on ühed paralleelsed vastasküljed ja teised mitteparalleelsed vastasküljed, siis on tegemist trapetsiga.
Trapetsi alused on paralleelsed küljed avaldis pikkusega avaldis ja avaldis pikkusega avaldis.
Kuna trapets on täisnurkne, siis on tema kõrguseks lõik avaldis pikkusega avaldis.

Nende andmete põhjal leian trapetsi pindala.

avaldis
Selgitus

Trapets

Trapets

Trapets

Kui trapetsi alused on avaldis ja avaldis ning haarad on avaldis ja avaldis ja tema kõrgus on avaldis, siis tema ümbermõõt ja pindala on arvutatav valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Võrdhaarse trapetsi alused on avaldis ja avaldis ning tema haar on avaldis ja kõrgus on avaldis. Leia selle trapetsi ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Nelinurga avaldis külgede täpsed pikkused on avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis. Nelinurga avaldis täpne pindala on avaldis.