Ülesanne 10 (20p)

Antud on funktsioonid avaldis ja avaldis.
1) Lahendage võrrand avaldis.
2) Leidke puutuja võrrand joonele avaldis punktis, mille avaldis koordinaat on avaldis ja joonele avaldis punktis, mille avaldis koordinaat on avaldis.
3) Tõestage, et leitud puutujad on teineteisega risti.
4) Joonestage kolmnurk, mille moodustavad leitud puutujad ja sirge avaldis. Arvutage selle kolmnurga pikima külje pikkus ja pindala.

Vaata lahendust
1. Lahendan võrrandi avaldis
avaldis
Selgitus
Funktsiooni avaldis kuju on ülesandes esitatud kujul:
avaldis
Esitan funktsiooni avaldis kuju:
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult logaritmi definitsiooni põhjal saan välja kirjutada seose:
avaldis
Kui vahetada ära ka võrrandi pooled saan seose:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna avaldis ei ole logaritmi määramispiirkonnas, siis see lahend ei sobi.

Selgitus

Elementaarfunktsioonide määramispiirkonnad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Antud juhul on n paarisarv.

avaldis

Antud juhul on n paaritu arv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Võrrandi avaldis lahend on avaldis.

2. Leian puutuja võrrandi joonele avaldis punktis, mille x-koordinaat on avaldis ja joonele avaldis punktis, mille x-koordinaat on avaldis.

Leian puutuja võrrandi joonele avaldis punktis, mille avaldis koordinaat on avaldis

Leian joone avaldis puutepunkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kui punkti avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi arvutamiseks tuleb avaldis koordinaat asendada antud funktsiooni ja avaldis koordinaat välja arvutada.Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult logaritmi definitsiooni põhjal saan:
avaldis

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus

Leian funktsiooni avaldis puutuja tõusu kohal avaldis

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis

Leian funktsiooni avaldis puutuja võrrandi kohal avaldis

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Leian puutuja võrrandi joonele avaldis punktis, mille avaldis koordinaat on avaldis

Leian joone avaldis puutepunkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kui joone avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi arvutamiseks tuleb avaldis koordinaat asendada antud funktsiooni ja avaldis koordinaat välja arvutada.
avaldis
Selgitus
Arv astmes avaldis jätab arvu samaks.
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
Arvuga avaldis jagamine ei muuda arvu.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult logaritmi definitsiooni põhjal:
avaldis

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
Funktsiooni ees olev miinus tuleb ette kirjutada ka funktsiooni tuletisele.

Leian funktsiooni avaldis puutuja tõusu kohal avaldis

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Arvuga avaldis jagamine ei muuda arvu.

Leian funktsiooni avaldis puutuja võrrandi kohal avaldis

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Joone avaldis puutuja punktis kohal avaldis on avaldis ja joone avaldis puutuja kohal avaldis on avaldis.

3. Tõestan, et leitud puutujad on teineteisega risti

Selleks on vaja näidata, et kehtib tingimus:

avaldis
Selgitus

Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete vahel kehtib seos:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis risti oleva sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult temaga risti oleva sirge tõus on:

avaldis
Kui kehtib tingimus avaldis, siis võrrandi pooli suurusega avaldis läbi korrutades kehtib ka tingimus:
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelmises punktis leitud tõusud avaldis ja avaldis antud tingimusse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Kuna näitasin, et puutujate tõusude korrutis on avaldis, siis olengi tõestanud väite, et need puutujad on teineteisega risti.

4. Joonestan kolmnurga, mille moodustavad leitud puutujad ja sirge avaldis. Arvutan selle kolmnurga pikima külje pikkuse ja pindala.

Leian sirgete avaldis ja avaldis lõikepunkti

avaldis
Selgitus
Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks tuleb moodustada nende sirgete võrranditest võrrandisüsteem ja selle lahendid avaldis ja avaldis ongi nende sirgete lõikepunkti avaldis koordinaat ja avaldis koordinaat.

Lõikepunkti avaldis koordinaat on juba teise võrrandi abil antud. Leian avaldis koordinaadi:

avaldis
Selgitus
Asendasin teadaoleva tundmatu avaldis teisest võrrandist esimesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib vahetada

avaldis

Näide

Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Järelikult on sirgete avaldis ja avaldis lõikepunkt avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Leian sirgete avaldis ja avaldis lõikepunkti

avaldis
Selgitus
Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks tuleb moodustada nende sirgete võrranditest võrrandisüsteem ja selle lahendid avaldis ja avaldis ongi nende sirgete lõikepunkti avaldis koordinaat ja avaldis koordinaat.

Lõikepunkti avaldis koordinaat on juba teise võrrandi abil antud. Leian avaldis koordinaadi:

avaldis
Selgitus
Asendasin teadaoleva tundmatu avaldis teisest võrrandist esimesse.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Järelikult on sirgete avaldis ja avaldis lõikepunkt avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Leian sirgete avaldis ja avaldis lõikepunkti

avaldis
Selgitus
Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks tuleb moodustada nende sirgete võrranditest võrrandisüsteem ja selle lahendid avaldis ja avaldis ongi nende sirgete lõikepunkti avaldis koordinaat ja avaldis koordinaat.
avaldis
Selgitus
Asendasin teisest võrrandist tundmatu avaldis esimesse võrrandisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis teise võrrandisse, et leida tundmatu avaldis.
avaldis
Selgitus

Järelikult on sirgete avaldis ja avaldis lõikepunkt avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Teen joonise leitud puutujatest ja sirgest avaldis

Puutujad koos sirgega y = 1

Puutujad koos sirgega y = 1

Selgitus
Selle joonise tegemiseks tabeleid pole vaja teha, kuna nende sirgete lõikepunktid on leitud. Kuna iga sirge osales lõikepunkti leidmises kaks korda, siis nendest kahest lõikepunktist just vaadeldav sirge läbi tõmmata tulebki.Lõikepunkte pole küsitud. Kuna mingid punktid tuleb sirge skitseerimiseks niikuinii leida, ja ülesande järgmises etapis on neid lõikepunkte vaja, siis oli mõistlik need juba nüüd leida.

Arvutan selle kolmnurga pikima külje pikkuse

avaldis
Selgitus
Jooniselt on näha, et kolmnurga kõige pikem külg on avaldis.Kuna lõik avaldis on paralleelne x-teljega, siis võib avaldis pikkuse leida järgmiselt:

Punkti avaldis koordinaadist tuleb lahutada punkti avaldis koordinaat.

avaldis
Selgitus
Murru teisendamisel arvuks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian selle kolmnurga pindala Leian lõigu avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus
Kuna lõik avaldis on paralleelne y-teljega, siis võib avaldis pikkuse leida järgmiselt:

Punkti avaldis koordinaadist tuleb lahutada punkti avaldis koordinaat.

avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis

Kuna kolmnurga avaldis alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis, siis võin kolmnurga ABC pindala arvutada järgmiselt:

avaldis
Selgitus

Kolmnurk

Kolmnurk

Kolmnurk

Kui kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis, siis tema pindala arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis. Leia selle kolmnurga pindala.

avaldis
avaldis
Selgitus
Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja avaldis pindala valemisse.Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Arvuga avaldis korrutamine arvu ei muuda.Kuna korrutises võib tegurite järjekorda muuta, siis võib arvu avaldis murru nimetajas liikme ette tuua.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Kolmnurga pikima külje pikkus on avaldis ja selle kolmnurga pindala on avaldis.