Ülesanne 11 (20p)

Lillepott on korrapärane kaheksanurkne prisma, mille õõnsus on poolkera (vaata jooniseid). Sealjuures
a) poolringi suurringi tasand ühtib prisma ülemise põhja tasandiga;
b) poolkera sümmeetriatelg ja prisma sümmeetriatelg ühtivad;
c) poolkera ruumala on pool prisma ruumalast;
d) lillepoti põhja paksus (kõige õhemas kohas) võrdub külgseina paksusega (kõige õhemas kohas).
1) Avaldage poolkerakujulise õõnsuse ruumala prisma põhiserva pikkuse avaldis kaudu.
2) Milline peaks olema avaldis väärtus täissentimeetrites, et õõnsuse maht oleks vähemalt avaldis liitrit?

Lillepott

Lillepott

Lillepoti pealtvaade

Lillepoti pealtvaade

Vaata lahendust
1. Avaldan poolkerakujulise õõnsuse ruumala prisma põhiserva pikkuse avaldis kaudu

Täiendan pealtvaadet vajalike lisatähistega

Lillepoti pealtvaate täiendatud joonis

Lillepoti pealtvaate täiendatud joonis

Arvutan ühe kolmnurga tipunurga

avaldis
Selgitus
Kui täispööre on avaldis ja korrapärane kaheksanurk koosneb kaheksast võrdsest kolmnurgast, siis ühe kolmnurga tipunurga leidmiseks tuleb avaldis jagada arvuga avaldis.
Kaheksanurgast välja toodud võrdhaarne kolmnurk

Kaheksanurgast välja toodud võrdhaarne kolmnurk

Leian ühe võrdhaarse kolmnurga pindala prisma põhiserva avaldis ja võrdhaarse kolmnurga kõrguse avaldis kaudu

avaldis
Selgitus

Kolmnurk

Kolmnurk

Kolmnurk

Kui kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis, siis tema pindala arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis. Leia selle kolmnurga pindala.

avaldis
Antud juhul on kolmnurga alus avaldis ja kõrgus avaldis.

Kuna kaheksanurkse prisma põhi koosneb avaldis võrdsest kolmnurgast, siis saan selle põhjal välja arvutada prisma põhja pindala:

avaldis
Selgitus
Kui prisma põhi koosneb avaldis võrdsest kolmnurgast ja ühe kolmnurga pindala on leitud, siis kogu põhja pindala leidmiseks tuleb ühe kolmnurga pindala korrutada arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Kuna ülesandes on öeldud, et lillepoti põhja paksus (kõige õhemas kohas) võrdub külgseina paksusega (kõige õhemas kohas), siis on kaheksanurkse prisma kõrgus võrdne lõiguga avaldis.

Selgitus
Kaheksanurga põhja paksus kõige õhemas kohas on kaugus poolkera põhjast prisma põhjani. Kui sellele liita juurde poolkera raadius, siis saan tulemuseks prisma kõrguse.Pealtvaatest on näha, et külgseina paksus kõige õhemas kohas on põhiserva keskpunktist poolkera pinnani. Kui sellele liita juurde poolkera raadius, siis saan tulemuseks lõigu poolkera keskpunktist kuni põhiserva keskpunktini, mille väärtus on avaldis.Kuna põhja paksus kõige õhemas kohas ja külgseina paksus kõige õhemas kohas on võrdsed, siis on ka võrdsed need lõigud, millele on liidetud poolkera raadius. Järelikult on ka prisma kõrgus võrdne lõiguga avaldis.

Leian prisma ruumala prisma põhiserva avaldis ja võrdhaarse prisma kõrguse avaldis kaudu

avaldis
Selgitus

Prisma

Prisma

Prisma

Kui prisma põhja ümbermõõt on avaldis, põhja pindala on avaldis ja prisma kõrgus on avaldis, siis prisma külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Viisnurkse prisma põhiservad on avaldis, avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis. Leia prisma täispindala ja ruumala, kui selle prisma põhja pindala on avaldis ja prisma kõrgus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja prisma kõrguse avaldis ruumala valemisse.
avaldis
Selgitus
Pool võrdhaarsest kolmnurgast

Pool võrdhaarsest kolmnurgast

Selgitus
Võrdhaarse kolmnurga kõrgus poolitab tipunurga ja kolmnurga aluse.Sel põhjusel sain võrdhaarse kolmnurga poolitamisel täisnurkseks kolmnurgaks alusest avaldis ja nurgast avaldis vastavalt avaldis ja avaldis.

Leian lõigu avaldis pikkuse prisma põhiserva avaldis kaudu

avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui kehtib võrdus avaldis, siis kehtib ka võrdus avaldis.
avaldis
Selgitus
Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Arvuga avaldis korrutamisel arv ei muutu.

Leian prisma ruumala prisma põhiserva avaldis kaudu

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis eelnevalt leitud prisma ruumala valemisse, mis oli avaldatud tundmatute avaldis ja avaldis kaudu, et saada ruumala vaid tundmatu avaldis kaudu.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Teisendan poolnurga valemi abil liiget avaldis

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Saadud teisenduse abil saan prisma ruumala järgmise kuju:

avaldis
Selgitus
Asendasin just leitud avaldis prisma ruumala valemisse.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian poolkerakujulise õõnsuse ruumala prisma põhiserva pikkuse avaldis kaudu

avaldis
Selgitus
Kuna ülesandes on öeldud, et poolkera ruumala on pool prisma ruumalast, siis poolkera ruumala saab leida jagades prisma ruumala arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Vastus: Poolkera ruumala on avaldis.

2. Leian avaldis väärtuse täissentimeetrites, et õõnsuse maht oleks vähemalt avaldis liitrit

Teisendan avaldis liitrit kuupsentimeetriteks

avaldis
Selgitus
Kui avaldis väärtust tahetakse sentimeetrites, siis ruumala on vaja teisendada kuupsentimeetriteks.
avaldis
avaldis

Leian avaldis väärtuse täissentimeetrites, et õõnsuse maht oleks täpselt avaldis liitrit, ehk avaldis

avaldis
Selgitus
Võrdsustasin õõnsuse ruumala nõutud arvulise väärtusega avaldis.Saadud võrrandi lahendamise teel saangi avaldis, mille korral õõnsuse maht on täpselt avaldis.
avaldis
Selgitus
Kui kehtib võrdus avaldis, siis kehtib ka võrdus avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Vastus: Et õõnsuse maht oleks üle avaldis liitri peab avaldis väärtus olema vähemalt avaldis sentimeetrit.

Selgitus
avaldis sentimeetri korral on veel õõnsuse maht alla avaldis liitri, kuid avaldis sentimeetri korral on juba üle avaldis liitri.