Ülesanne 3 (15p)

On antud funktsioon avaldis.
1) Leidke funktsiooni tuletis.
2) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud.
3) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid.
4) Joonestage funktsiooni avaldis graafik.
5) Koostage võrrand joone avaldis puutujale punktis avaldis.

Vaata lahendust
1. Leian funktsiooni tuletise
avaldis
Selgitus

Vastus: Antud funktsiooni tuletis on avaldis.

2. Leian funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud
avaldis
Selgitus

Kasvamispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamispiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
Selgitus
Ruutvõrratuse lahendamine:1) Asendan võrratusemärgi võrdusmärgiga, et leida nullkohad.

2) Seejärel tuleb need nullkohad kanda kasvavas järjekorras arvteljele ja joonistada nullkohtadest läbi parabool:
a) kui liikme avaldis ees olev arv on positiivne, siis avanevad parabooli haarad ülespoole;
b) kui liikme avaldis ees olev arv on negatiivne, siis avanevad parabooli haarad allapoole.
3) Loen jooniselt vastavalt võrratuse märgile vastuse:
a) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest üleval pool, annavad ruutfunktsioonile positiivse väärtuse (suurem nullist);
b) kõik punktid, mis asuvad telje peal, annavad ruutfunktsioonile väärtuse avaldis (võrdne nulliga);
c) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest allpool, annavad ruutfunktsioonile negatiivse väärtuse (väiksem nullist).

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandite pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Joonis 9

Joonis 9

avaldis
avaldis
Selgitus

Kahanemispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kahanemispiirkond.

avaldis
avaldis

Leian nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 3

Joonis 3

Vastus:avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes leitud.
Joonis 10

Joonis 10

avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis kasvamispiirkond on avaldis ja kahanemispiirkond on avaldis.

3. Leian funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Leian funktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes juba leitud.

Leian funktsiooni ekstreemumid

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus
Tuletisfunktsiooni nullkohad juba eelnevalt leitud.Loetlen lahendid hulgamärkide vahel.

Leian teise tuletise

avaldis
Selgitus

Määran ekstreemumite liigid

avaldis
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Leian ekstreemumitele vastavad avaldis väärtused

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi arvutamiseks tuleb avaldis asendada algsesse funktsiooni ja avaldis välja arvutada.

Vastus: Antud funktsiooni maksimumpunkt on avaldis ja miinimumpunkt on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.
4. Joonestan funktsiooni avaldis graafiku

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kuupfunktsioon 4

Kuupfunktsioon 4

5. Koostan võrrandi joone avaldis puutujale punktis avaldis

Leian tuletise

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes juba leitud.

Leian joone avaldis puutuja tõusu

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis

Leian joone avaldis puutuja võrrandi punktis avaldis

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Joone avaldis puutuja võrrand punktis avaldis on avaldis.