Ülesanne 8 (15p)

Antud on sirged avaldis, avaldis ja avaldis.
1) Arvutage nende sirgete lõikepunktide koordinaadid.
2) Joonestage need sirged ühes ja samas teljestikus.
3) Leidke antud sirgete lõikepunkte läbiva parabooli avaldis võrrand.
4) Arvutage eelmises punktis saadud parabooli haripunkti koordinaadid.

Vaata lahendust
1. Arvutan nende sirgete lõikepunktide koordinaadid

Arvutan sirgete avaldis ja avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus
Selleks, et leida kahe sirge lõikepunkt, tuleb moodustada nende sirgete võrranditest võrrandisüsteem ja võrrandisüsteemi lahendid avaldis ja avaldis ongi nende sirgete lõikepunkti avaldis koordinaat ja avaldis koordinaat.
avaldis
Selgitus
Asendasin esimesest võrrandist tundmatu avaldis teise võrrandisse ja sain tundmatust avaldis sõltuva võrrandi.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Asendasin leitud avaldis võrrandisüsteemi esimesse võrrandisse.

Järelikult on sirgete avaldis ja avaldis lõikepunkt:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Arvutan sirgete avaldis ja avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus
Selleks, et leida kahe sirge lõikepunkt, tuleb moodustada nende sirgete võrranditest võrrandisüsteem ja võrrandisüsteemi lahendid avaldis ja avaldis ongi nende sirgete lõikepunkti avaldis koordinaat ja avaldis koordinaat.
avaldis
Selgitus
Asendasin esimesest võrrandist tundmatu avaldis teise võrrandisse ja sain tundmatust avaldis sõltuva võrrandi.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis võrrandisüsteemi esimesse võrrandisse.

Järelikult on sirgete avaldis ja avaldis lõikepunkt:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Arvutan sirgete avaldis ja avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus
Selleks, et leida kahe sirge lõikepunkt, tuleb moodustada nende sirgete võrranditest võrrandisüsteem ja võrrandisüsteemi lahendid avaldis ja avaldis ongi nende sirgete lõikepunkti avaldis koordinaat ja avaldis koordinaat.
avaldis
Selgitus
Asendasin esimesest võrrandist tundmatu avaldis teise võrrandisse ja sain tundmatust avaldis sõltuva võrrandi.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis võrrandisüsteemi esimesse võrrandisse ja arvutasin tundmatu avaldis välja.

Järelikult on sirgete avaldis ja avaldis lõikepunkt:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Vastus: Nende sirgete lõikepunktid on avaldis, avaldis ja avaldis.

2. Joonestan need 3 sirget ühes ja samas teljestikus
3 sirget

3 sirget

Selgitus
Selle joonise tegemiseks tabeleid pole vaja teha, kuna nende sirgete lõikepunktid on leitud. Kuna iga sirge osales lõikepunkti leidmises avaldis korda, siis nendest lõikepunktidest just vaadeldav sirge läbi tõmmata tulebki.
3. Leian antud sirgete lõikepunkte läbiva parabooli võrrandi

Kuna ruutfunktsiooni üldkuju on avaldis ja on teada avaldis punkti, mida ta läbib, siis kordajate avaldis, avaldis ja avaldis leidmiseks tuleb selles valemis asendada kordamööda kõik avaldis koordinaadid ja avaldis koordinaadid.

Leian kordaja avaldis asendades avaldis koordinaadid ruutfunktsiooni üldkujusse

avaldis
Selgitus
Asendasin ruutfunktsiooni üldkujus tundmatu avaldis arvuga avaldis ja tundmatu avaldis arvuga avaldis ning vahetasin võrrandi pooled.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis

Leian kordajatest avaldis ja avaldis sõltuva võrrandi asendades avaldis koordinaadid ruutfunktsiooni üldkujusse arvestades, et avaldis on nüüd juba teada

avaldis
Selgitus
Asendasin ruutfunktsiooni üldkujus tundmatu avaldis arvuga avaldis, tundmatu avaldis arvuga avaldis ja tundmatu avaldis arvuga avaldis ning vahetasin võrrandi pooled.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Leian kordajatest avaldis ja avaldis sõltuva võrrandi asendades avaldis koordinaadid ruutfunktsiooni üldkujusse arvestades, et avaldis on nüüd juba teada

avaldis
Selgitus
Asendasin ruutfunktsiooni üldkujus tundmatu avaldis arvuga avaldis, tundmatu avaldis arvuga avaldis ja tundmatu avaldis arvuga avaldis ning vahetasin võrrandi pooled.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Moodustasin kahest tundmatust avaldis ja avaldis koosnevast võrrandist võrrandisüsteemi, et leida sealt puuduvad kordajad avaldis ja avaldis.
avaldis
Selgitus
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis:
avaldis
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis (avaldis korral koondus avaldis välja):
avaldis
Liidan ülevalt alla arvud:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis võrrandisüsteemi esimesse võrrandisse, et leida sealt avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Kuna avaldis, avaldis ja avaldis, siis saan ruutfunktsioonile kuju:

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis, avaldis ja avaldis ruutfunktsiooni üldkujusse.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis

Vastus: Nende sirgete lõikepunkte läbiva parabooli võrrand on avaldis.

4. Arvutan eelmises punktis saadud parabooli haripunkti koordinaadid

Leian eelmises punktis saadud parabooli avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Ruutvõrrandi avaldis haripunkti avaldis koordinaat arvutatakse välja järgmise valemi abil:
avaldis
Näide: Leia ruutfunktsiooni avaldis haripunkti avaldis koordinaat.
avaldis
avaldis

Leian eelmises punktis saadud parabooli avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kui funktsiooni avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb avaldis koordinaat asendada funktsiooni valemisse ja avaldis koordinaat välja arvutada.

Vastus: Eelmises punktis saadud parabooli haripunkt on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.