Ülesanne 10 (20p)

Ehitatakse torni, mille alumine osa on silindri- ja ülemine osa koonusekujuline. Koonusekujulise osa telglõikeks on võrdkülgne kolmnurk. Tehke joonis. Milline peab olema silindrilise põhja raadius, et torni ruumala oleks maksimaalne, kui torni telglõike ümbermõõt on avaldis?

Vaata lahendust
Teen joonise
Torn

Torn

Selgitus
Kuna raadius on pool ülemise osa aluse läbimõõdust, siis on teksti põhjal torni pealmine osa võrdkülgne kolmnurk küljega avaldis.Kuna ülemise osa põhja läbimõõt ja alumise osa põhja läbimõõt on sama pikad, siis on ka alumise osa põhja läbimõõt avaldis.Lisaks tähistasin alumise osa kõrguse tundmatuga avaldis ja ülemise osa kõrguse tundmatuga avaldis.
Leian torni raadiuse nii, et torni ruumala oleks maksimaalne

Teen joonise torni ristlõikest

Torni ristlõige

Torni ristlõige

Teades, et ristlõike ümbermõõt on avaldis leian torni alumise osa kõrguse avaldis ja põhja raadiuse avaldis kaudu

avaldis
Selgitus
Ümbermõõdu leidmiseks tuleb hulknurga küljed liita.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin ümbermõõdu tekstis antud arvuga avaldis ja vahetasin võrrandi pooled.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Leian ülemise osa kõrguse avaldis põhja raadiuse avaldis kaudu

Torni ülemise osa ristlõige

Torni ülemise osa ristlõige

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Korrutises tegurite järjekord tulemust ei muuda.

Moodustan torni ruumala funktsiooni

Leian torni alumise osa, ehk silindri ruumala põhja raadiuse avaldis kaudu

avaldis
Selgitus

Silinder

Silinder

Silinder

Kui silindri raadius on avaldis ja silindri kõrgus on avaldis, siis silindri põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Silindri raadius on avaldis ja kõrgus avaldis. Leia Silindri täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis tundmatu avaldis kaudu silindri ruumala valemisse.
avaldis
Selgitus

Leian torni ülemise osa, ehk koonuse ruumala põhja raadiuse avaldis kaudu.

avaldis
Selgitus

Koonus

Koonus

Koonus

Kui koonuse raadius on avaldis, koonuse kõrgus avaldis ja koonuse moodustaja(lõik koonuse tipust põhjani) on avaldis, siis koonuse põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Koonuse raadius on avaldis, kõrgus on avaldis ja moodustaja on avaldis. Leia koonuse täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis tundmatu avaldis kaudu koonuse ruumala valemisse.
avaldis
Selgitus

Moodustan kogu torni ruumala funktsiooni

avaldis
Selgitus
Kuna torni ruumala koosneb silindri ja koonuse ruumalast, siis kogu torni ruumala funktsiooni saan, kui liidan nende ruumalad kokku.

Leian torni ruumala funktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian torni ruumala funktsiooni ekstreemumi

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Nüüd lahendan antud võrrandit kahes osas

avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna raadius ei saa olla avaldis, siis see lahend ei sobi.

Selgitus
Kui avaldis, siis on avaldis võimalust:
avaldis

Pole võimalik, kuna avaldis.

avaldis

See ongi selle võrrandi esimene lahend, aga tegemist on võõrlahendiga, kuna põhja raadius ei saa olla avaldis.

avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian torni ruumala funktsiooni teise tuletise

avaldis
Selgitus

Leian torni ruumala funktsiooni ekstreemumi liigi

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud ekstreemumi avaldis teise tuletisse.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna avaldis ja avaldis, siis nende korrutis, ehk murru lugeja on negatiivne.Kuna murru nimetaja avaldis, siis negatiivse lugeja ja positiivse nimetaja jagatis on negatiivne.

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Vastus: Kui torni põhja raadius on avaldis meetrit, siis on torni ruumala maksimaalne.