Ülesanne 11 (20p)

Kuubi avaldis servadel avaldis ja avaldis asetsevad vastavalt punktid avaldis ja avaldis, mis jaotavad need servad alates punktidest avaldis ja avaldis suhtes avaldis (vaata joonist). Läbi punktide avaldis, avaldis ja avaldis on asetatud tasand avaldis. Kujutage tekkinud kuubi lõige joonisel.
1) Millises suhtes jaotab lõige kuubi servad avaldis ja avaldis ?
2) Avaldage lõike pindala, kui kuubi serv on avaldis.

Kuup nr. 1

Kuup nr. 1

Vaata lahendust
1. Leian millises suhtes jaotab lõige kuubi servad avaldis ja avaldis

Kujutan tekkinud kuubi lõike joonisel

Kuup tekkinud lõikega

Kuup tekkinud lõikega

Selgitus
Lõigu avaldis jaotamine suhtes avaldis tähendab seda, et jaotuspunktist alguspunktini avaldis jääb avaldis osa ja jaotuspunktist lõpp-punktini avaldis jääb avaldis osa.Järelikult on lõik alguspunktist avaldis jaotuspunktini täpselt avaldis korda lühem lõigust, mis on lõppunktist avaldis jaotuspunktini.
Kuubi ristkülikukujuline lõige

Kuubi ristkülikukujuline lõige

Kuna avaldis ja avaldis jaotavad mõlemad lõigud avaldis ja avaldis samas suhtses avaldis, siis on punktid avaldis ja avaldis kuubi põhjast samal kõrgusel. Järelikult on ka punkt avaldis samal kõrgusel põhjast ja ka punktist avaldis.

Kuubi täisnurkse kolmnurga kujuline lõige

Kuubi täisnurkse kolmnurga kujuline lõige

Kui kehtivad seosed avaldis ja avaldis, siis kehtib ka seos:

avaldis
Selgitus
Lõigu jaotamine suhtes avaldis tähendab lõigu jaotamist mõtteliseks avaldis osaks, kus esimene lõik on avaldis osa ja teine lõik on avaldis osa.Kuna kokku on avaldis osa, siis esimene lõik on kogu lõigust avaldis ja teine lõik on avaldis kogu lõigust.

Järelikult kehtib ka seos:

avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.

Sarnaste kolmnurkade omaduse põhjal saan kirjutada välja seose:

avaldis
Selgitus
Sarnane kolmnurk on sama kujuga kolmnurk, mis erineb vaid mõõtmete poolest.Sarnaste kolmnurkade omadus: Sarnaste kolmnurkade vastavate külgede jagatised on võrdsed.
Kolmnurk nr. 1

Kolmnurk nr. 1

Kui küljed avaldis ja avaldis on paralleelsed, siis on kolmnurgad avaldis ja avaldis sarnased ja kehtib järgmine võrdus:
avaldis

Kahe viimase võrduse põhjal saan uue võrduse:

avaldis
Selgitus
avaldis
Kuubi põhi

Kuubi põhi

Lõik avaldis on lõigust avaldis üks kolmandik (eelmise võrduse põhjal).
Kuna ruudu diagonaalid poolitavad teineteist, siis lõik avaldis on kogu lõigust avaldis kaks kolmandikku, kusjuures pool lõigust avaldis on üks kolmandik.
Kuna lõigust avaldis üks kolmandik on pool lõigust avaldis, siis on lõigust avaldis üks kolmandik ka pool lõigust avaldis. Järelikult kehtib seos:

avaldis
Selgitus
Arvuga avaldis korrutamine annab tulemuseks pool tervikust.

Kui lõik avaldis on pool lõigust avaldis, siis on ka lõik avaldis pool lõigust avaldis. Järelikult kehtib seos:

avaldis
Selgitus
Kui lõigust üks osa on pool, siis on pool ka teine osa.

Teisendades viimast seost saan võrdusele kuju:

avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.
Pool kuubi põhjast

Pool kuubi põhjast

Sarnaste kolmnurkade omaduse põhjal saan kirjutada välja seosed:

avaldis
avaldis
Selgitus
Sarnane kolmnurk on sama kujuga kolmnurk, mis erineb vaid mõõtmete poolest.Sarnaste kolmnurkade omadus: Sarnaste kolmnurkade vastavate külgede jagatised on võrdsed.
Kolmnurk nr. 1

Kolmnurk nr. 1

Kui küljed avaldis ja avaldis on paralleelsed, siis on kolmnurgad avaldis ja avaldis sarnased ja kehtib järgmine võrdus:
avaldis
Esimese seose sain sarnastest kolmnurkadest avaldis ja avaldis ning teise seose sain sarnastest kolmnurkadest avaldis ja avaldis.

Kuna avaldis, siis saan võrdustele kuju:

avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin avaldis eelmistesse seostesse.

Teisendades saadud seoseid võin kirjutada välja järgmised seosed:

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.

Järelikult võib väita, lõigud avaldis ja avaldis on pool lõikudest avaldis ja avaldis.

Selgitus
Arvuga avaldis korrutamine annab tulemuseks poole.

Kuna punktid avaldis ja avaldis on tasandi avaldis ja lõikude avaldis ja avaldis lõikepunktid, siis järelikult punktid avaldis ja avaldis jaotavad lõigud avaldis ja avaldis pooleks.

Vastus: Tekkinud lõige avaldis poolitab lõigud avaldis ja avaldis.

2. Avaldan lõike pindala, kui kuubi serv on avaldis

Leian kuubi põhja diagonaali avaldis kuubi serva avaldis kaudu

Kuubi põhi nr. 1

Kuubi põhi nr. 1

Joonestan täisnurkse kolmnurga avaldis, et leida diagonaali avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 10

Täisnurkne kolmnurk nr. 10

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Korrutises tegurite järjekord tulemust ei muuda.

Kuna avaldis, siis kehtib ka võrdus:

avaldis
Selgitus
Ristkülikukujulise joonise avaldis põhjal.
Pool kuubi põhjast

Pool kuubi põhjast

Kuna avaldis ja lõik avaldis on kolmnurga avaldis kesklõik (eelmise punkti põhjal), siis kehtib võrdus:

avaldis
Selgitus
Kolmnurga kesklõik on lõik, mis poolitab kolmnurga haarad.Kesklõigu omadus: Kolmnurga kesklõik on paralleelne alusega ja on pool alusest.Arvuga avaldis jagamisel saame lõigust pool.

Kuna ruudu diagonaalid on võrdsed, siis kehtib võrdus:

avaldis
Selgitus
Kuna ruudu diagonaalid on avaldis ja avaldis ning avaldis, siis diagonaalide võrdsuse põhjal on ka avaldis.

Kuna ruudu diagonaalid poolitavad teineteist, siis kehtib võrdus:

avaldis
Selgitus
Kuna terve diagonaal on avaldis, siis pool diagonaali on:
avaldis

Kuna lõik avaldis on kolmnurga avaldis kesklõik (eelmise punkti põhjal), siis kehtib võrdus:

avaldis
Selgitus
Kolmnurga kesklõik on lõik, mis poolitab kolmnurga haarad.Kesklõigu omadus: Kolmnurga kesklõik on paralleelne alusega ja on pool alusest.Arvuga avaldis jagamisel saame lõigust pool.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus

Kuna avaldis ja avaldis, siis kehtib ka võrdus:

avaldis
Selgitus
Ristkülikukujuliselt jooniselt avaldis on näha, et avaldis.Kuna punkt avaldis jaotab lõigu avaldis suhtes avaldis, ehk avaldis on üks kolmandik lõigust avaldis ja kuubi serv avaldis võib väita, et:
avaldis
Kui kehtivad võrdused avaldis ja avaldis, siis kehtib ka võrdus:
avaldis
Täisnurkne kolmnurk nr. 11

Täisnurkne kolmnurk nr. 11

Leian lõigu avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud lõigud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru laiendamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi korrutada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näide

avaldis

Antud näites korrutasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

Antud juhul korrutasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Korrutises tegurite järjekord ei muuda tulemust.

Leian trapetsi avaldis pindala

Trapetsikujuline lõige

Trapetsikujuline lõige

avaldis
Selgitus

Trapets

Trapets

Trapets

Kui trapetsi alused on avaldis ja avaldis ning haarad on avaldis ja avaldis ja tema kõrgus on avaldis, siis tema ümbermõõt ja pindala on arvutatav valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Võrdhaarse trapetsi alused on avaldis ja avaldis ning tema haar on avaldis ja kõrgus on avaldis. Leia selle trapetsi ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Murrujoone võib asendada jagamismärgiga, kuid selleks, et säiliks terve hulkliikmega jagamine tuleb hulkliikme ümber panna sulud.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud suurused avaldis, avaldis ja avaldis trapetsi pindala valemisse.Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Järelikult trapetsi avaldis pindala on kujul:

avaldis

Leian kolmnurga avaldis pindala

Kirjutan välja kolmnurga avaldis aluse

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes juba leitud.
Kuubi täisnurkse kolmnurga kujuline lõige nr. 1

Kuubi täisnurkse kolmnurga kujuline lõige nr. 1

Eelmises punktis jõudsin arutelu käigus selleni, et kuna lõik avaldis on kogu lõigust avaldis üks kolmandik, siis lõik avaldis on kogu lõigust avaldis kaks kolmandikku. Järelikult on lõik avaldis lõigust avaldis kaks korda pikem.
Kuna lõigud avaldis ja avaldis on paralleelsed, siis samal põhjusel on ka lõik avaldis kaks korda pikem lõigust avaldis. Kuna lõik avaldis, siis saan selle põhjal välja arvutada ka lõigu avaldis:

avaldis
Selgitus
Kuna lõik avaldis on avaldis korda pikem lõigust avaldis, siis lõigu avaldis leidmiseks korrutan lõigu avaldis arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Kuubi kolmnurga kujuline lõige

Kuubi kolmnurga kujuline lõige

Leian kolmnurga avaldis pindala

avaldis
Selgitus

Kolmnurk

Kolmnurk

Kolmnurk

Kui kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis, siis tema pindala arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis. Leia selle kolmnurga pindala.

avaldis
avaldis
Selgitus
Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud lõigud avaldis ja avaldis kolmnurga avaldis pindala valemisse.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Järelikult kolmnurga kolmnurga avaldis pindala on kujul:

avaldis

Leian lõike avaldis pindala

Trapetsist ja kolmnurgast koosnev kuubi lõige

Trapetsist ja kolmnurgast koosnev kuubi lõige

avaldis
Selgitus
Kuna lõige avaldis koosneb trapetsist avaldis ja kolmnurgast avaldis, siis nende pindalade kokku liitmisel saangi lõike avaldis pindala.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis ja avaldis lõike avaldis pindala valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Tekkinud lõike pindala on avaldis.