Ülesanne 7 (10p)

Silindrikujulisse kaanega karpi on paigutatud avaldis ühesuurust palli, nii et iga pall puutub karbi põhja, kaant ja külgseina ning kahte naabepalli (vt. joonist). Kui suure osa ruumalast täidavad pallid?

Pallikarbi pealtvaade

Pallikarbi pealtvaade

Vaata lahendust
Leian, kui suure osa ruumalast moodustavad pallid kogu karbist

Tähistan palli raadiuse tundmatuga avaldis ja täiendan antud joonist

Pallikarbi pealtvaade koos lisatähistega

Pallikarbi pealtvaade koos lisatähistega

Teen joonise, et leida sealt lõik avaldis

Pallikarbi pealtvaatest välja lõigatud täisnurkne kolmnurk

Pallikarbi pealtvaatest välja lõigatud täisnurkne kolmnurk

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Võtsin võrrandi mõlemast poolest ruutjuure.
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Teen pallikarbi pealtvaatest vastava joonise, et leida pallikarbi läbimõõt ja seejärel ka raadius

Pallikarbi pealtvaade karbi läbimõõdu leidmiseks

Pallikarbi pealtvaade karbi läbimõõdu leidmiseks

Leian karbi läbimõõdu

avaldis
Selgitus
Jooniselt on näha, et karbi läbimõõdu leidmiseks tuleb liita lõigule avaldis juurde avaldis palli raadiust.

Leian karbi raadiuse

avaldis
Selgitus
Raadius on läbimõõdust avaldis korda lühem.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis raadiuse avaldis leidmise valemisse.
avaldis
Selgitus

Leian kõik vajalikud ruumalad ja seejärel pallide osakaalu kogu karbist

Leian avaldis palli ruumala

avaldis
Selgitus

Kera

Kera

Kera

Kui kera raadius on avaldis, siis kera pindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis

Näide

Kera raadius on avaldis. Leia kera pindala ja ruumala.

avaldis
avaldis

Leian avaldis palli ruumala

avaldis
Selgitus
Kui avaldis palli ruumala on teada, siis avaldis palli ruumala leidmiseks tuleb see korrutada arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Leian karbi ruumala

avaldis
Selgitus

Silinder

Silinder

Silinder

Kui silindri raadius on avaldis ja silindri kõrgus on avaldis, siis silindri põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Silindri raadius on avaldis ja kõrgus avaldis. Leia Silindri täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Antud karbi põhja raadius on avaldis ja karbi kõrgus on palli kaks raadiust, ehk avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Kuna korrutises tegurite järjekord tulemust ei muuda, siis võin liikme avaldis tõsta sulgude ette.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Kui suure osa moodustavad pallid kogu karbist?

avaldis
Selgitus
Et leida, kui suure osa moodustab pallide ruumala kogu karbi ruumalast, tuleb pallide ruumala jagada kogu karbi ruumalaga.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Vastus: Pallid moodustavad kogu karbi ruumalast avaldis osa.