Ülesanne 8 (15p)

Kolmnurk ABC on määratud tipuga avaldis ja vektoritega avaldis ning avaldis.
1) Arvutage tippude avaldis ja avaldis koordinaadid ning joonestage kolmnurk avaldis.
2) Arvutage külje avaldis pikkus.
3) Koostage punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand ning leidke selle sirge ja x-telje lõikepunkti koordinaadid.
4) Koostage kolmnurga avaldis ümberringjoone võrrand.

Vaata lahendust
1. Arvutan tippude avaldis ja avaldis koordinaadid ning joonestan kolmnurga avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Vektori avaldis x-koordinaat näitab mitu sammu tuleb astuda x-telje suunas ja y-koordinaat näitab mitu sammu tuleb astuda y-telje suunas, et jõuda punktist avaldis punkti avaldis.Järelikult, punkti avaldis koordinaatide leidmiseks tuleb punkti avaldis koordinaatidele liita vektori avaldis koordinaadid.
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Vektori avaldis x-koordinaat näitab mitu sammu tuleb astuda x-telje suunas ja y-koordinaat näitab mitu sammu tuleb astuda y-telje suunas, et jõuda punktist avaldis punkti avaldis.Järelikult, punkti avaldis koordinaatide leidmiseks tuleb punkti avaldis koordinaatidele liita vektori avaldis koordinaadid.
Kolmnurk koordinaatteljestikus

Kolmnurk koordinaatteljestikus

Vastus: avaldis ja avaldis.

2. Arvutan külje avaldis pikkuse

Leian vektori avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian vektori avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis

Vastus: Külje avaldis pikkus on avaldis ühikut.

3. Koostan punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrandi ning leian selle sirge ja x-telje lõikepunkti koordinaadid

Leian sirge võrrandi, mis läbib punkte avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand kahe punkti abil

Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, mis läbib punkte avaldis ja avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Võrrandis avaldis võib vedada liikmeid risti üle võrdusmärki ülevalt alla ja alt üles. Antud juhul oli eesmärk vabaneda murdudest. Selleks viisin liikmed avaldis ja avaldis risti üles.Sulud tekkisid avaldis ja avaldis ümber selleks, et nende kõrvale tekkinud arvudega korrutataks terve ülemine hulkliige ja seda rõhutatakse sulgudega.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandite pooli läbi arvuga avaldis.

Leian sirge avaldis ja x-telje lõikepunkti

avaldis
Selgitus
Kui punkt on x-telje peal, siis on selle punkti avaldis koordinaat avaldis. Kuna see punkt on ka sirgel avaldis, siis selle punkti leidmiseks asendan avaldis sirge avaldis võrrandisse ja leian saadud võrrandist avaldis koordinaadi.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Vastus: Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on avaldis ning selle sirge ja x-telje lõikepunkt on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.
4. Koostan kolmnurga avaldis ümberringjoone võrrandi

Kirjutan välja sirge avaldis keskristsirge võrrandi

avaldis
Selgitus
Kuna sirge avaldis on paralleelne x-teljega, siis temaga ristuv sirge on paralleelne y-teljega.y-teljega paralleelse sirge võrrand on kujul avaldis, kus avaldis on mingi arv.Sirge avaldis keskristsirge, lisaks sellele, et ta on risti sirgega avaldis, ta ka poolitab selle sirge. Sel põhjusel võime öelda, et see arv avaldis on avaldis, sest avaldis pikkus on avaldis ühikut ja poolitamise korral tuleb võtta ükskõik kummast tipust avaldis ühikut.

Leian sirge avaldis tõusu sirge avaldis võrrandist

avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Järelikult sirge avaldis tõus on:

avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine, kui on teada sirge võrrand

Kui sirge võrrand on kujul avaldis, siis sirge tõus on lineaarliikme avaldis kordaja:

avaldis

Näide

Leia sirge avaldis tõus.

avaldis
avaldis
avaldis
Kui tundmatu avaldis ees mingit arvu ei ole, on seal mõeldud arvu avaldis, kui aga on lihtsalt - märk, siis on mõeldud arvu avaldis.

Leian sirge avaldis keskristsirge tõusu

avaldis
Selgitus

Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete vahel kehtib seos:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis risti oleva sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult temaga risti oleva sirge tõus on:

avaldis

Leian sirge avaldis keskpunkti

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Lõigu poolitamine

Kui avaldis ja avaldis, siis lõigu avaldis keskpunkt avaldis arvutatakse järgmiselt:

avaldis

Näide

Leia lõigu avaldis keskpunkt, kui avaldis ja avaldis.

avaldis
avaldis

Leian sirge avaldis keskristsirge võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Leian sirgete avaldis ja avaldis keskristsirgete lõikepunkti, mis on ka kolmnurga avaldis ümberringjoone keskpunktiks

avaldis
Selgitus
Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks tuleb moodustada nende sirgete võrranditest võrrandisüsteem ja võrrandisüsteemi lahendid avaldis ja avaldis ongi nende sirgete lõikepunkti avaldis koordinaat ja avaldis koordinaat.
avaldis
Selgitus
Asendasin esimesest võrrandist tundmatu avaldis teise võrrandisse ja arvutasin tundmatu avaldis välja.

Järelikult on sirgete avaldis ja avaldis keskristsirgete lõikepunkt avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.

Et leida ümberringjoone raadiust, tuleb leida keskristsirgete lõikepunkti kaugus kolmnurga avaldis tippudest. Kuna keskristsirgete lõikepunktidest on kõik tipud ühe kaugusel, siis piisab ühe kauguse leidmisest. Omal valikul leian lõigu avaldis pikkuse ja selleks leian kõigepealt vektori avaldis koordinaadid.

avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian vektori avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis

Leian kolmnurga avaldis ümberringjoone võrrandi

avaldis
Selgitus

Ringjoone võrrand

Kui ringjoone keskpunkt on avaldis ja ringjoone raadius on avaldis, siis on ringjoone võrrand kujul:

avaldis

Näide

Leia ringjoone võrrand, kui tema keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Kolmnurga avaldis ümberringjoone võrrand on avaldis.