Ülesanne 9 (15p)

Antud on funktsioon avaldis.
1) Leidke funktsiooni määramispiirkond, lihtsustage funktsiooni avaldist.
2) Koostage funktsiooni avaldis graafiku puutuja võrrand punktis, mille abtsiss on avaldis.
3) Määrake ruutfunktsiooni avaldis avaldises kordajate avaldis ja avaldis väärtused tingimusel,
et alajaotuses 2) leitud puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni avaldis graafiku puutujaks punktis,
mille abtsiss on avaldis.
4) Joonestage samas teljestikus funktsioonide avaldis ja avaldis graafikud ning nende
graafikute ühine puutuja.

Vaata lahendust
1. Leian funktsiooni määramispiirkonna, lihtsustan funktsiooni avaldist
avaldis
Selgitus

Elementaarfunktsioonide määramispiirkonnad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Antud juhul on n paarisarv.

avaldis

Antud juhul on n paaritu arv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Kui avaldis, siis on ka avaldis.

Teist tingimust pole pole vaja lahendada, tundmatu avaldis võimalikud väärtused on juba välja toodud.

Selgitus
Kogu funktsiooni määramispiirkond esimese tingimusega antud, kuna esimene tingimus ütleb, et avaldis ja teine, et avaldis.Juba esimeses tingimuses ei saa olla avaldis väärtus avaldis.

Järelikult on funktsiooni määramispiirkond:

avaldis

Lihtsustan funktsiooni avaldist

avaldis
Selgitus
Arv astmes avaldis võtmine ei muuda arvu.
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
Arvuga avaldis jagamine ei muuda arvu.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis määramispiirkond on avaldis ja funktsiooni avaldis lihtsustatud funktsiooni kuju on avaldis.

2. Koostan funktsiooni avaldis graafiku puutuja võrrandi punktis, mille abtsiss on avaldis

Kuna puutepunkti abtsiss (avaldis koordinaat) avaldis on teada, siis arvutan selle põhjal ka puutepunkti ordinaadi (avaldis koordinaadi) avaldis

avaldis
Selgitus
Kui funktsiooni avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks asendatakse avaldis koordinaat algsesse funktsiooni ja arvutatakse avaldis koordinaat välja.Arvutamiseks võib kasutada ka eelmises punktis leitud lihtsustatud funktsiooni kuju.Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult logaritmi definitsiooni põhjal:
avaldis

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus

Leian funktsiooni avaldis puutuja tõusu kohal avaldis

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis

Leian joone avaldis puutuja võrrandi kohal avaldis

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvust avaldis lahutamine ei muuda arvu.Arvuga avaldis korrutamine ei muuda arvu.

Vastus: Joone avaldis graafiku puutuja võrrand punktis, mille kohal avaldis on avaldis.

3. Määran ruutfunktsiooni avaldis avaldises kordajate avaldis ja avaldis väärtused tingimusel, et eelmises alajaotuses leitud puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni avaldis graafiku puutujaks punktis, mille abtsiss on avaldis

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus

Leian kordaja avaldis arvestades, et ka avaldis puutuja tõus peab olema avaldis (ülesandes on öeldud, et tegemist on sama puutujaga, järelikult on nende tõusud võrdsed)

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis
Asendasin puutuja tõusu valemis puutepunkti avaldis koordinaadi avaldis arvuga avaldis, puutuja tõusu tõusu arvuga avaldis ja vahetasin võrrandi pooled.
avaldis
Selgitus
Arvuga avaldis korrutamine ei muuda arvu.
avaldis
Selgitus

Leian kordaja avaldis, arvestades, et avaldis ja puutepunkti abtsiss (avaldis koordinaat) on endiselt avaldis ja ordinaat (avaldis koordinaat) on avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin funktsiooni avaldis üldvalemisse avaldis, ehk avaldis asemele puutepunkti avaldis koordinaadi, ehk arvu avaldis, avaldis asemele puutepunkti avaldis koordinaadi, ehk arvu avaldis ja avaldis asemele just leitud avaldis väärtuse, ehk arvu avaldis, et leida sealt ainus puuduolev tundmatu avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Vastus: Eelmises alajaotuses leitud puutuja on ka ruutfunktsiooni avaldis graafiku puutujaks, kohal mille abtsiss on avaldis, kui avaldis.

Selgitus
Asendasin leitud avaldis ja avaldis funktsiooni avaldis üldkujusse.
4. Joonestan samas teljestikus funktsioonide avaldis ja avaldis graafikud ning nende graafikute ühise puutuja

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel.

avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult võin antud kokkulepet arvestades ja võrrandi pooled ära vahetades saada funktsioonile kuju:
avaldis
Logaritmi definitsiooni põhjal saan välja kirjutada seose:
avaldis
Kui vahetada antud võrduse pooled saan tundmatud avaldis arvutamisteks järgmise kuju:
avaldis
Antud kuju kasutades saan tundmatu avaldis asendamisel tabelisse tundmatu avaldis väärtused:
avaldis
avaldis
avaldis

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Funktsioonide avaldis ja avaldis graafikute ühise puutuja avaldis väärtuste tabel.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Logaritm- ja ruutfunktsioon koos puutujaga

Logaritm- ja ruutfunktsioon koos puutujaga