Ülesanne 10 (20p)

Kaablitrassi torude ristlõige on ring diameetriga avaldis. Torud on laotud harkide vahele, nii et esimeses kihis on avaldis toru ja iga järgmise kihi kaks toru puudutavad eelmise kihi ühte toru (vaata joonist). Kõige ülemises kihis on avaldis toru.
1) Avaldage
a) ülemise kihi laius avaldis;
b) torude virna kõrgus avaldis;
c) torude arv virnas.
2) Arvutage torude virna kõrgus, kui kui toru ristlõike raadius on avaldis ja kõige ülemises kihis on avaldis toru.

Torude virn

Torude virn

Vaata lahendust
1.a. Avaldan ülemise kihi laiuse avaldis
avaldis
Selgitus
Kuna ülemises kihis on avaldis toru ja ühe toru läbimõõt on avaldis, siis ülemise kihi laiuse saame, kui korrutame torude arvu ühe toru läbimõõduga.
1.b. Leian torude virna kõrguse avaldis

Täiendan joonist kõrguse osaga avaldis

Torude virn koos täiendatud kõrguse osaga

Torude virn koos täiendatud kõrguse osaga

Toon antud jooniselt välja täisnurkse kolmnurga tundmatu avaldis leidmiseks

Torude virnast välja lõigatud täisnurkne kolmnurk

Torude virnast välja lõigatud täisnurkne kolmnurk

Selgitus
Kuna torude virna ülemises kihis on sama palju torusid, kui on torude ridu, siis moodustab torude virn võrdkülgse kolmnurga.Kuna võrdkülgse kolmnurga kõrgus poolitab aluse, siis antud täisnurkses kolmnurgas alus on pool haarast.Kuna ülemise kihi laius on kokku avaldis ja antud joonise võrdhaarse kolmnurga alus on kahe pooliku läbimõõdu, ehk terve läbimõõdu võrra lühem (vaata täiendatud joonist), siis on antud täisnurkse kolmnurga hüpotenuus avaldis. Ja lühem kaatet seega avaldis.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelmise punkti põhjal avaldis saadud võrrandisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian torude virna kõrguse avaldis

avaldis
Selgitus
Jooniselt on näha, et kui suurusele avaldis liita toru läbimõõt (ülevalt pool ja alt pool läbimõõtu on kokku terve läbimõõt), saame torude virna kõrguse avaldis.
avaldis
Selgitus
Murru teisendamisel arvuks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus1.c. Leian torude arvu virnas

Kuna esimeses reas on avaldis toru ja igas järgnevas reas on avaldis toru rohkem, siis moodustab torude arv reas aritmeetilise jada.

Selgitus
Arvujada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme vahe on konstante, nimetatakse aritmeetiliseks jadaks.

Kuna esimeses reas on avaldis toru, viimases reas on avaldis toru ja ridade arv ja torude arv virnas on võrdsed, siis antud aritmeetilise jada jaoks järgmised algandmed:

avaldis
Selgitus
Suurus avaldis on jada esimene liige.Suurus avaldis on aritmeetilise jada vahe.Suurus avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis.Suurus avaldis on jada liikme järjekorra number.

Otsitav torude arv virnas on selle jada esimese avaldis liikme summa avaldis.

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valem 1

avaldis

avaldis on jada esimese avaldis liikme summa
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada saja esimese liikme summa, kui on teada, et jada esimene liige on avaldis ja sajas liige on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin järgmised suurused jada summa valemisse:
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Vastus: Torude virna ülemise kihi laius on avaldis; torude virna kõrgus on avaldis ja torude arv virnas on avaldis.

2. Arvutan torude virna kõrguse, kui toru ristlõike raadius on avaldis ja kõige ülemises kihis on avaldis toru

Leian toru läbimõõdu

avaldis
Selgitus
Läbimõõt on raadiusest avaldis korda pikem.

Leian torude virna kõrguse, kui toru ristlõike läbimõõt on avaldis ja kõige ülemises kihis on avaldis toru.

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis ja antud avaldis kõrguse avaldis üldvalemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Kui toru ristlõike raadius on avaldis ja viimases kihis on avaldis toru, siis on torude virna kõrgus avaldis.