Ülesanne 9 (15p)

On antud funktsioonid avaldis ja avaldis, kus avaldis ja avaldis.
1) Arvutage antud funktsioonide graafikute lõikepunkti koordinaadid.
2) Avaldage avaldis summana.
3) Koostage võrrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lõikepunktis.
4) Joonestage ühes ja samas teljestikus mõlema funktsiooni graafikud ning punktis 3) leitud puutujad.

Vaata lahendust
1. Leian graafikute lõikepunkti
avaldis
Selgitus
Kahe funktsiooni graafikute lõikepunkti avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb need funktsioonid võrdsustada ja lahendada saadud võrrand.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult logaritmi definitsiooni põhjal:
avaldis
Kui vahetada võrduse pooled, saame seose:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna avaldis pole logaritmi määramispiirkonnas, siis see lahend ei sobi.

Selgitus

Elementaarfunktsioonide määramispiirkonnad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Antud juhul on n paarisarv.

avaldis

Antud juhul on n paaritu arv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian lõikepunkti avaldis koordinaadile vastava avaldis koordinaadi.

avaldis
Selgitus
Kui lõikepunkti avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb avaldis koordinaat asendada vabal valikul ühte funktsioonidest ja avaldis koordinaat välja arvutada.

Vastus: Graafikute lõikepunkt on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.
2. Esitan avaldis summana
avaldis
Selgitus

Vastus: Funktsioon summana esitub kujul avaldis.

3. Koostan võrrandi kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lõikepunktis

Leian funktsioonide avaldis ja avaldis tuletised

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Funktsiooni ees olev - märk tuleb ette kirjutada ka funktsiooni tuletisele.

Leian funktsioonide avaldis ja avaldis tõusud

avaldis
avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis

Leian funktsiooni avaldis puutuja võrrandi puutepunktis

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Leian funktsiooni avaldis puutuja võrrandi puutepunktis

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Vastus: Joone avaldis puutuja võrrand puutepunktis on avaldis ja joone avaldis puutuja võrrand puutepunktis on avaldis.

4. Joonestan ühes ja samas teljestikus mõlema funktsiooni graafikud ning eelmises punktis leitud puutujad

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel.

avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult funktsioonis avaldis võrduse poolte ära vahetamisel ja logaritmi definitsiooni kasutades saan seose:
avaldis
Antud võrduse pooli arvuga avaldis läbi jagades ja võrduse pooled ära vahetades saan seose:
avaldis
Selle põhjal võin fikseerida hoopis tabelis tundmatu avaldis väärtused ja arvutada välja tundmatu avaldis väärtused.Koordinaattasandile punkte kandes arvestan, et:
avaldis
Järelikul saan tabelisse arvutada vastavad avaldis väärtused:
avaldis
avaldis
avaldis

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel.

avaldis
Selgitus


Kokkuleppeliselt:

avaldis
Järelikult funktsiooni avaldis arvuga avaldis läbi jagades, võrduse pooled ära vahetades ja logaritmi definitsiooni kasutades saan seose:
avaldis
Võrduse pooled ära vahetades ja negatiivse astme valemit kasutades saan seose:
avaldis
Selle põhjal võin fikseerida hoopis tabelis tundmatu avaldis väärtused ja arvutada välja tundmatud avaldis väärtused.Koordinaattasandile punkte kandes arvestan, et:
avaldis
Järelikul saan tabelisse arvutada vastavad avaldis väärtused:
avaldis
avaldis
avaldis

Puutuja avaldis väärtuste tabel.

avaldis
Selgitus
Kõigepealt viin võrrandis avaldis kõik liikmed peale avaldis üle võrdusmärgi ja saan võrrandile kuju:
avaldis
Punkte koordinaattasandile kandes võib arvestada, et:
avaldis
Järelikul saan tabelisse arvutada vastavad avaldis väärtused:
avaldis
avaldis
avaldis

Puutuja avaldis väärtuste tabel.

avaldis
Selgitus
Kõigepealt viin võrrandis avaldis kõik liikmed peale avaldis üle võrdusmärgi ja saan võrrandile kuju:
avaldis
Punkte koordinaattasandile kandes võib arvestada, et:
avaldis
Järelikul saan tabelisse arvutada vastavad avaldis väärtused:
avaldis
avaldis
avaldis
Logaritmide graafikud koos puutujatega

Logaritmide graafikud koos puutujatega