Ülesanne 10 (20p)

Koonuse põhjal on neli ühesuurust kera, millest igaüks puutub ülejäänud keradest kahte. Nendel keradel asetseb viies niisama suur kera (vaata joonist). Iga kera puutub koonuse külgpinda. Leidke kaugus viienda kera kõige kõrgemast punktist koonuse põhjani ja koonuse telglõike tipunurga suurus, kui kerade raadius on avaldis.

Püramiid viie keraga

Püramiid viie keraga

Vaata lahendust
Leian kauguse viienda kera kõige kõrgemast punktist koonuse põhjani

Ühendan kerade keskpunktid ja saan korrapärase nelinurkse püramiidi põhiservaga 2r ja külgservaga 2r

Kerade keskpunktide ühendamisel saadud püramiid

Kerade keskpunktide ühendamisel saadud püramiid

Teen täisnurkse kolmnurga kujulise joonise, et leida püramiidi apoteem avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 12

Täisnurkne kolmnurk nr. 12

Selgitus
Lõik avaldis, sest avaldis ja apoteem avaldis poolitab korrapärase püramiidi põhiserva.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Korrutises tegurite järjekord ei muuda tulemust.

Teen täisnurkse kolmnurga kujulise joonise, et leida püramiidi kõrgus avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 13

Täisnurkne kolmnurk nr. 13

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis püramiidi kõrguse valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Tegurite järjekord korrutises tulemust ei muuda.

Leian kauguse viienda kera kõige kõrgemast punktist koonuse põhjani

avaldis
Selgitus
Kaugus viienda kera kõige kõrgemast punktist koonuse põhjani koosneb kerade keskpunktide ühendamisel saadud püramiidi kõrgusest ja lisaks veel ülevalt ja alt kera raadiustest.Järelikult tuleb otsitava kauguse leidmiseks leitud püramiidi kõrgusele avaldis juurde liita kaks kera raadiust avaldis.
Leian koonuse telglõike tipunurga suuruse

Koonuse telglõige on võrdhaarne kolmnurk, kusjuures kerade keskpunktide ühendamisel saadud püramiidi külgservad on paralleelsed selle telglõike haaradega.
Järelikult on koonuse telglõige ja lõige avaldis sarnased kolmnurgad.
Kuna sarnaste kolmnurkade vastavad nurgad on võrdsed, siis on koonuse telglõike tipunurk võrdne püramiidi tipunurgaga avaldis.

Selgitus
Kera puutuja on risti kera raadiusega.Eelmise väite põhjal on kera raadiuse ja koonuse moodustaja vahel täisnurk.Järelikult on kaugus kera puutepunktist koonuse moodustajaga, kuni kera keskpunktini nii alumise, kui ka ülemise kera korral sama (see on kera raadius).Järelikult on kera keskpunkte ühendav joon paralleelne koonuse moodustajaga.Alumise kera ja ülemise kera keskpunkte ühendav joon on aga kerade keskpunktide ühendamisel saadud püramiidi külgserv.Selle põhjal võib väita, et koonuse moodustajad on paralleelsed lõike avaldis haaradega.Koonuse põhja ja püramiidi põhja parallelsus tuleneb sellest, et kerade keskpunktide ühendamisel saadud püramiidi põhi on igas punktis koonuse põhjast samal kõrgusel, mis on võrdne kera raadiusega avaldis.Kui kahe hulknurga (ka kolmnurga) kõik küljed on paralleelsed, siis on tegemist sarnaste hulknurkadega.Sarnaste hulknurkade (ka kolmnurkade) vastavad nurgad on võrdsed.

Tähistan koonuse telglõike tipunurga tundmatuga avaldis ja joonistan võrdhaarse kolmnurga koos otsitava nurgaga avaldis

Võrdhaarse kolmnurga kujuline telglõige

Võrdhaarse kolmnurga kujuline telglõige

Otsitavat tipunurka avaldis võib otsida ka järgmisest täisnurksest kolmnurgast (poolitatud võrdhaarsest kolmnurgast)

Poolitatud võrdhaarne kolmnurk

Poolitatud võrdhaarne kolmnurk

Selgitus
Võrdhaarse kolmnurga kõrgus poolitab tipunurga.
avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis antud valemisse.
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
Üldvalemit pole vaja välja kirjutada, kuna nurk avaldis on alla avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Vastus: Kaugus viienda kera kõige kõrgemast punktist koonuse põhjani on avaldis ja koonuse telglõike tipunurk on avaldis.