Ülesanne 3 (10p)

Antud on funktsioon avaldis.
1) Leidke funktsiooni kahanemis- ja kasvamisvahemikud.
2) Arvutage funktsiooni vähim väärtus lõigul avaldis.

Vaata lahendust
1. Leian funktsiooni kahanemis- ja kasvamisvahemikud

Leian tuletise

avaldis
Selgitus

Leian kahanemispiirkonna

avaldis
Selgitus

Kahanemispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kahanemispiirkond.

avaldis
avaldis

Leian nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 3

Joonis 3

Vastus:avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
Selgitus
Ruutvõrratuse lahendamine:1)Asendan võrratusemärgi võrdusmärgiga, et leida nullkohad.

2)Seejärel tuleb need nullkohad kanda kasvavas järjekorras arvteljele ja joonistada nullkohtadest läbi parabool:
a)kui liikme avaldis ees olev arv on positiivne, siis avanevad parabooli haarad ülespoole;
b)kui liikme avaldis ees olev arv on negatiivne, siis avanevad parabooli haarad allapoole.
3)Loen jooniselt vastavalt võrratuse märgile vastuse:
a)kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest üleval pool, annavad ruutfunktsioonile positiivse väärtuse (suurem nullist);
b)kõik punktid, mis asuvad telje peal, annavad ruutfunktsioonile väärtuse avaldis (võrdne nulliga);
c)kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest allpool, annavad ruutfunktsioonile negatiivse väärtuse (väiksem nullist).

avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Joonis7

Joonis7

avaldis

Leian kasvamispiirkonna

avaldis
Selgitus

Kasvamispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamispiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
Selgitus
Ruutvõrratuse lahendamine:1)Asendan võrratusemärgi võrdusmärgiga, et leida nullkohad.

2)Seejärel tuleb need nullkohad kanda kasvavas järjekorras arvteljele ja joonistada nullkohtadest läbi parabool:
a)kui liikme avaldis ees olev arv on positiivne, siis avanevad parabooli haarad ülespoole;
b)kui liikme avaldis ees olev arv on negatiivne, siis avanevad parabooli haarad allapoole.
3)Loen jooniselt vastavalt võrratuse märgile vastuse:
a)kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest üleval pool, annavad ruutfunktsioonile positiivse väärtuse (suurem nullist);
b)kõik punktid, mis asuvad telje peal, annavad ruutfunktsioonile väärtuse avaldis (võrdne nulliga);
c)kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest allpool, annavad ruutfunktsioonile negatiivse väärtuse (väiksem nullist).

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes juba leitud.
Joonis 8

Joonis 8

avaldis

Vastus: Kahanemispiirkond on avaldis ja kasvamispiirkond on avaldis.

2. Arvutan funktsiooni vähima väärtuse lõigul avaldis

Leian tuletise

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes leitud.
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Kuna mõlemad ekstreemumid asuvad etteantud lõigus, siis arvutan mõlemad nendele vastavad avaldis väärtused.

avaldis
Selgitus
Kui avaldis on teada, siis avaldis arvutamiseks asendatakse avaldis algsesse funktsiooni.
avaldis
Selgitus
Kui avaldis on teada, siis avaldis arvutamiseks asendatakse avaldis algsesse funktsiooni.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus

Leian väärtused avaldis ja avaldis

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui avaldis on teada, siis avaldis arvutamiseks asendatakse avaldis algsesse funktsiooni.

avaldis,avaldis,avaldis ja avaldis väärtuste hulgast on kõige väiksem väärtus avaldis.

Selgitus
Ekstremaalsed väärtused antud lõigul saavad olla vaid ekstreemumpunktis või rajapunktis.

Vastus:Funktsiooni vähim väärtus lõigul avaldis on avaldis.