Ülesanne 6 (10p)

Külmas toas, kus temperatuur oli avaldis kraadi, lülitati sisse radiaator ning toa temperatuur hakkas tõusma. Esimese tunniga tõusis temperatuur avaldis kraadini. Alates teisest tunnist oli iga tunni ja sellele vahetult eelneva tunni jooksul toimunud temperatuurimuutuste jagatis jääv suurus avaldis. Kolmanda tunni lõpuks oli toas avaldis kraadi sooja.
1) Arvutage konstant avaldis.
2) Kui soojaks läheb see tuba tundide arvu tõkestamatul kasvamisel?

Vaata lahendust
1. Arvutan konstandi avaldis

Kuna alates teisest tunnist oli iga tunni ja sellele vahetult eelneva tunni jooksul toimunud temperatuurimuutuste jagatis jääv suurus avaldis, siis moodustavad temperatuuri muutused geomeetrilise jada.

Selgitus
Kui arvujadas iga liikme ja temale eelneva liikme jagatis on konstantne, on tegemist geomeetrilise jadaga.

Kuna esimesel tunnil muutus temperatuur avaldis kraadi, siis selle jada esimene liige on:

avaldis
Selgitus
Arvujada esimest liiget tähistatkse suurusega avaldis.

Kuna kolmanda tunni lõpuks oli temperatuur kokku avaldis kraadi, siis kolme tunni temperatuuri muutuste summa on avaldis:

avaldis
Selgitus
Kolmanda tunni lõpuks olev temperatuur on esimesel, teisel ja kolmandal tunnil toimunud temperatuurimuutuste summa.

Saadud andmetest moodustan võrrandisüsteemi:

avaldis
Selgitus
Moodustasin teksti põhjal saadud tingimustest võrrandisüsteemi.

Asendades suurused avaldis ja avaldis suuruste avaldis ja avaldis kaudu, saan võrrandisüsteemile kuju:

avaldis
Selgitus

Geomeetrilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on jada tegur
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia geomeetrilise jada avaldis viieteistkümnes liige.

avaldis
avaldis


avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin esimesest võrrandist avaldis teise võrrandisse.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna avaldis on negatiivne, siis see lahend ei sobi.

Selgitus
Negatiivse avaldis korral on tegemist vahelduvate märkidega geomeetrilise jadaga.Kuna tekstis on öeldud, et temperatuur kogu aeg kasvab, siis negatiivne lahend antud ülesandesse ei sobi.

Vastus: avaldis

2. Leian, kui soojaks läheb see tuba tundide arvu tõkestamatul kasvamisel
avaldis

Kuna antud tingimus on täidetud, saab temperatuuri tõkestamatul kasvamisel toa temperatuuri arvutamisel kasutada hääbuva geomeetrilise jada summa valemit.

avaldis
Selgitus

Hääbuva geomeetrilise jada summa

Kui geomeetrilises jadas kehtib tingimus:

avaldis

Siis on selle jada lõpmatut summat võimalik arvutada järgmise valemi abil:

avaldis

avaldis on jada esimene liige
avaldis on jada tegur

Näide

Leia hääbuva geomeetrilise jada avaldis summa:

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Vastus: Tundide arvu tõkestamatul kasvamisel läheneb temperatuur toas avaldis kraadile.