Ülesanne 8 (15p)

On antud joon avaldis.
1) Leidke sellel joonel punkt avaldis, mille koordinaatide summa on vähim.
2) Leidke arv avaldis, mille korral sirge avaldis on antud joone puutujaks.
Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid.

Vaata lahendust
1. Leian joone avaldis punkti avaldis, mille koordinaatide summa on vähim

Moodustan koordinaatide summa funktsiooni

avaldis
Selgitus
Koordinaatide summa on joone avaldis ja avaldis koordinaadi summa.avaldis koordinaadi asemele kirjutan tundmatu avaldis.avaldis koordinaadi asemele kirjutan antud funktsiooni avaldisee avaldis.
avaldis
Selgitus
Kui sulu ees on + märk, võib sulud lihtsalt ära võtta.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian koordinaatide summa funktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kui sulu ees on + märk, võib sulud lihtsalt ära võtta.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
avaldis

Leian koordinaatide summa funktsiooni ekstreemumi

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult logaritmi definitsiooni põhjal saan seose:
avaldis
Võrduse poolte ära vahetamisel saan seose:
avaldis
avaldis
Selgitus

Leian koordinaatide summa funktsiooni teise tuletise

avaldis
Selgitus
Teise tuletise võtmine tähendab esimesest tuletisest omakorda tuletise võtmist.

Määran koordinaatide summa funktsiooni ekstreemumi liigi

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Leian ekstreemumile vastava avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb avaldis koordinaat asendada algsesse funktsiooni ja avaldis koordinaat välja arvutada.
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasaklule.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult logaritmi definitsiooni põhjal:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Vastus: Joone avaldis punkti avaldis korral on selle punkti koordinaatide summa vähim.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.
2. Leian arvu avaldis, mille korral sirge avaldis on joone avaldis puutujaks. Arvutan vastava puutepunkti koordinaadid.

Tähistan selle puutepunkti: avaldis

Kuna punkt avaldis on puutepunktis joone avaldis punkt, siis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Kui punkt asub joonel, siis avaldis koordinaadi ja avaldis koordinaadi asendamisel võrrandisse peavad võrrandi vasak ja parem pool olema võrdsed.

Leian funktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
avaldis

Teisendan sirge võrrandit punkti avaldis ja tõusu avaldis kaudu

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Tõin kahel viimasel liikmel miinuse sulgude ette, selleks tuleb sulu sees mõlemal liikmel märk muuta.

Kuna puutuja võrrand on ülesandes antud kujul avaldis, siis viimase rea ja joone puutuja tõusu valemi põhjal saan võrrandid:

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis
Kuna tuletis on eelnevalt leitud:
avaldis
Siis puutuja tõusu valemi kasutamisel ja võrduse poolte vahetamisel saan:
avaldis
Kuna üldkujul on puutuja võrrand avaldis ja ülesandes antud puutuja võrrand on kujul avaldis, siis tundmatu avaldis on võrdne selle sirge tõusuga avaldis (tundmatu avaldis ees olevad kordajad peavad olema võrdsed). Järelikult olen saanud seose:
avaldis
avaldis
Selgitus
Kuna üldkujul on puutuja võrrand avaldis ja ülesandes antud puutuja võrrand on kujul avaldis, siis vabaliige avaldis on võrdne arvuga avaldis:
avaldis
Eelmise punkti põhjal on veel teada, et sirge tõus avaldis on võrdne tundmatuga avaldis. Järelikult olen saanud seose:
avaldis

Antud tingimuste põhjal saan välja kirjutada järgmise võrrandisüsteemi:

avaldis
Selgitus
Moodustasin kolmest saadud võrrandist võrrandisüsteemi, et leida sealt tundmatud avaldis, avaldis ja avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin kolmandast võrrandist tundmatu avaldis teise võrrandisse.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Kui sulu ees on - märk, siis sulgude eemaldamiseks, tuleb sulu sees olevate liikmete märgid muuta.
avaldis
Selgitus
Asendasin suuruse avaldis esimesest võrrandist teise.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud tundmatu avaldis kõige esimesse võrrandisse, et leida tundmatu avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib vahetada

avaldis

Näide

Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud tundmatu avaldis ja avaldis teise võrrandisse, et leida tundmatu avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandite pooli läbi arvuga avaldis.

Vastus: Kui avaldis, siis sirge avaldis on joone avaldis puutujaks. See puutepunkt on avaldis.

Selgitus
Puutepunkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.