Ülesanne 9 (20p)

Kuupfunktsiooni avaldis kohta on teada, et tema graafiku puutujate seas on ainult üks selline puutuja, mille tõus on avaldis, ja selle puutepunkti abtsiss on avaldis. Veel on teada, et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal avaldis. Määrake kordajad avaldis, avaldis ja avaldis.

Vaata lahendust
Määran kordajad avaldis, avaldis ja avaldis

Leian kuupfunktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus

Moodustan kolm võrrandit, et moodustada nendest võrrandisüsteem, mille lahendamisel saangi kätte kordajad avaldis, avaldis ja avaldis

Kuna on teada, et graafiku puutuja tõus on avaldis ja puutepunkti abtsiss (avaldis koordinaat) on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis
Joone puutuja tõusu valemi põhjal ja võrrandi poolte vahetamisel saan seose:
avaldis
Kuna joone avaldis koordinaat on avaldis, siis asendan selle antud võrrandisse ja saan seose:
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvu ruut on positiivne.
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Kuna kuupfunktsioonil on vaid avaldis puutuja, mille tõus on avaldis, siis järelikult on võrrandil avaldis vaid avaldis lahend

Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis
Asendasin ülesandes antud tõusu avaldis puutuja tõusu leidmise valemisse ja vahetasin võrrandi pooled.Kuna antud tingimus ütleb, et antud kuupfunktsioonil on vaid avaldis lahend, siis leian antud võrrandil tingimuse, mille korral on antud ruutvõrrandil vaid avaldis lahend.

Teisendan võrrandit avaldis

avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Panin tundmatule avaldis sulud ümber, et oleks näha, et avaldis on antud ruutvõrrandi vabaliige.

Leian ruutvõrrandi diskriminandi

avaldis
Selgitus
Ruutvõrrandi avaldis lahendivalem on kujul:
avaldis
Ruutjuure alune avaldis on ruutvõrrandi diskriminant:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Selleks, et ruutvõrrandil oleks vaid avaldis lahend, peab diskriminant võrduma arvuga avaldis:

avaldis
Selgitus
Kuna ruutvõrrandi lahendivalemis esimese lahendi leidmiseks liidetakse ruutjuur diskriminandist ja teise lahendi leidmiseks lahutatakse ruutjuur diskriminandist, siis sama lahendi saamiseks peab ruutjuur diskriminandist, ehk diskriminant olema avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Kuna kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Kuna kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal avaldis, siis asendasin tuletisse ekstreemumi avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis

Antud tingimuste põhjal saan välja kirjutada võrrandisüsteemi:

avaldis
Selgitus
Moodustasin kolmest leitud võrrandist võrrandisüsteemi, et leida sealt kordajad avaldis, avaldis ja avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Asendasin esimesest võrrandist avaldatud avaldis teise ja kolmandasse võrrandisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin teise võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Asendasin avaldatud avaldis teisest võrrandist esimesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Asendan leitud avaldis algse võrrandisüsteemi esimesse ja kolmandasse võrrandisse ja saan süsteemi:

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis algse võrrandisüsteemi esimesse ja kolmandasse võrrandisse, et leida sealt tundmatud avaldis ja avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin teist võrrandit läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Liitsin ülevalt alla tundmatud avaldis
avaldis
Liitsin ülevalt alla tundmatud avaldis (avaldis korral koondus avaldis välja):
avaldis
Liitsin ülevalt alla arvud:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis esimesse võrrandisse, et leida tundmatu avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Vastus: Antud tingimustele vastav kuupfunktsioon on avaldis.

Selgitus
Asendasin leitud avaldis, avaldis ja avaldis antud ruutfunktsiooni üldkujusse.