Ülesanne 2 (10p)

On antud funktsioon avaldis.
1)Leidke selle funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond.
2)Leidke fuktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt.
3)Skitseerige funktsiooni graafik lõigul avaldis.

Vaata lahendust
1. Leian selle funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkonna

Leian selle funktsiooni nullkohad

avaldis
Selgitus

Nullkohad

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis nullkohad.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Nüüd lahendan eraldi kahte järgmist võrrandit:

avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Loetlesin leitud nullkohad hulgamärkide vahel.

Leian joonise põhjal negatiivsuspiirkonna

avaldis
Selgitus

Negatiivsuspiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis negatiivsuspiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

Joonis 6

Joonis 6

Selgitus
Kui nullkohad on leitud, siis antud joonis tehakse järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kantakse nullkohad kasvavas järjekorras arvteljele.
2) Valitakse suvaline piirkond ja kontrollitakse suvalise arvuga, sellest piirkonnast, kas selles piirkonnas on funktsiooni väärtus positiivne või negatiivne. Vastavalt sellele tõmmatakse joon kas alla või ülespoole telge.
3) Seejärel veetakse joon nullkohani ja sõltuvalt sellest kas antud nullkoht on paaris- või paaritu arvulise kordsusega, põrgatakse nullkohast tagasi või läbitakse telg, kuni kõik nullkohad on läbitud.

Antud ülesandes tehakse joonis järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kannan nullkohad avaldis ja avaldis kasvavas järjekorras arvkiirele.
2) Seejärel vaatlen kõige parempoolset piirkonda, kontrollides arvuga avaldis, kas seal piirkonnas on funktsioon positiivne või negatiivne.

avaldis

Järelikult hakkan joont vedama ülevalt poolt telge.
3) Kuna lahend avaldis on kahekordne, ehk paarisarvuline ja avaldis on ühekordne, ehk paarituarvuline, siis avaldis juures põrkab joon telje juures tagasi ja avaldis juures ta läbib telge.

avaldis
Selgitus
Lugesin vastuse järgmise põhimõtte alusel:

1) Teljest ülevalpool asuvad punktid on positiivsed (suurem nullist).
2) Telje peal asuvad punktid on võrdsed nulliga.
3) Allpool asuvad punktid on negatiivsed (väiksem nullist).

Kuna hetkel otsisin negatiivsuspiirkonda, siis lugesin vastusesse joone need punktid, mis asuvad allpool telge.

Vastus:avaldis; avaldis.

2. Leian graafiku maksimum- ja miinimumpunkti

Leian funktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Arvuga avaldis korrutamisel võib kordajad ette kirjutamata jätta.

Leian funktsiooni ekstreemumid

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Nüüd lahendan eraldi kahte järgmist võrrandit:

avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Pole midagi lahendada. Tundmatu avaldis on juba käes.
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Loetlesin leitud ekstreemumid hulgamärkide vahel.

Leian funktsiooni teise tuletise

avaldis
Selgitus
Teise tuletise leidmine tähendab tuletisest omakorda tuletise leidmist.

Määran ekstreemumite liigid

avaldis
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Leian maksimum- ja miinimumpunkti avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on käes siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb leitud avaldis asendada esialgsesse funktsiooni.
avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on käes siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb leitud avaldis asendada esialgsesse funktsiooni.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Vastus: Fuktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt on avaldis ja avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.
3. Skitseerin funktsiooni graafiku lõigul avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Kuupfunktsioon 1

Kuupfunktsioon 1