Ülesanne 4 (10p)

Laagris on seitse õpilast, kellest avaldis on väga head sportlased.
1) Leidke tõenäosus, et:
a) seitsme õpilase hulgast juhuslikult välja kutsutud õpilane on väga hea sportlane.
b) seitsme õpilase hulgast juhuslikult välja kutsutud õpilane ei ole väga hea sportlane.
2 )Mitu erinevat võimalust on treeneril selles laagris neljalikkmelise võistkonna moodustamiseks?
3) Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult moodustatud neljaliikmelisse võistkonda satuvad ka mõlemad väga head sportlased?

Vaata lahendust
1.a. Leian tõenäosuse, et juhuslikult välja kutsutud õpilane on väga hea sportlane
avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Vastus: Seitsme õpilase hulgast juhuslikult välja kutsutud õpilane on väga hea sportlane tõenäosusega avaldis.

1.b. Leian tõenäosuse, et juhuslikult välja kutsutud õpilane ei ole väga hea sportlane
avaldis
Selgitus

Täistõenäosuse valem

Kõigi mingis süsteemis esinevate sündmuste summa on võrdne arvuga avaldis:

avaldis

Näide

Töökojas on avaldis tööpinki. Tõenäosus, et esimesena vajab parandamist esimene pink on avaldis. Tõenäosus, et esimesena vajab parandamist teine pink on avaldis. Kui suur on tõenäosus, et esimesena vajab parandamist kolmas pink?

Kuna üks kolmest pingist kindlasti esimesena parandamist vajavad, siis on nende kolme sündmuse tõenäosus kokku avaldis. Kui arvust avaldis lahutada kahe esimese esimesena purunemine, siis kolmanda pingi esimesena purunemise tõenäosuse saan arvutada järgmiselt:

avaldis
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus

Vastus: Seitsme õpilase hulgast juhuslikult välja kutsutud õpilane ei ole väga hea sportlane tõenäosusega avaldis.

2. Leian, mitu võimalust on selles laagris neljaliikmelise võistkonna moodustamiseks
avaldis
Selgitus

Kombinatsioonid

Kombinatsioonideks avaldis elemendist avaldis kaupa nimetatakse avaldis elemendilise hulga avaldis elemendilisi järjestamata osahulkade arvu.

avaldis

Näide

Loto peavõit võidetakse juhul, kui loosimises osaleb avaldis palli ja pihta peavad minema kõik loositud avaldis palli. Mitu piletit peaks ostma, et võidaksid kindlasti peavõidu?

Kuna kokku on avaldis palli, siis vaadeldakse avaldis elemendilist hulka, järelikult avaldis ja kuna loositakse avaldis palli, siis tuleb välja arvutada avaldis elemendiliste osahulkade arv, järelikult avaldis. Kuna numbrite tulemise järjekord pole oluline, arvutatakse antud osahulkade arv kombinatsioonide abil.

avaldis
avaldis


Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Selles laagris on neljaliikmelise võistkonna moodustamiseks avaldis võimalust.

3. Leian tõenäosuse, et neljaliikmelisse võistkonda satuvad mõlemad väga head sportlased

Leian tõenäosuse, et neljaliikmelisse võistkonda valitakse esimese ja teisena väga head sportlased ning kolmanda ja neljandana mitte väga head sportlased

avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Tõenäosuste korrutamise reegel

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese ja teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget palli. Leia tõenäosus, et kahest võetud pallist on mõlemad valged.

Esimesena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Teise valge palli tõenäosus arvestades, et eelmist tagasi ei panda, on:

avaldis

Siis esimesena ja teisena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Mitu võimalust on avaldis väga hea ja avaldis mitte väga hea sportlase järjestamiseks?

avaldis
Selgitus

Kombinatsioonid

Kombinatsioonideks avaldis elemendist avaldis kaupa nimetatakse avaldis elemendilise hulga avaldis elemendilisi järjestamata osahulkade arvu.

avaldis

Näide

Loto peavõit võidetakse juhul, kui loosimises osaleb avaldis palli ja pihta peavad minema kõik loositud avaldis palli. Mitu piletit peaks ostma, et võidaksid kindlasti peavõidu?

Kuna kokku on avaldis palli, siis vaadeldakse avaldis elemendilist hulka, järelikult avaldis ja kuna loositakse avaldis palli, siis tuleb välja arvutada avaldis elemendiliste osahulkade arv, järelikult avaldis. Kuna numbrite tulemise järjekord pole oluline, arvutatakse antud osahulkade arv kombinatsioonide abil.

avaldis
avaldis


Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian tõenäosuse, et neljaliikmelisse võistkonda valitakse avaldis väga head sportlast

avaldis
Selgitus
Oleks võinud ka välja arvutada kõik erinevad järjestused avaldis väga hea sportlase valimiseks:

1) Esimene ja teine on väga head sportlased ning kolmas ja neljas on mitte väga head sportlased

avaldis

2) Esimene ja kolmas on väga head sportlased ning teine ja neljas on mitte väga head sportlased

avaldis

3) Esimene ja neljas on väga head sportlased ning teine ja kolmas on mitte väga head sportlased

avaldis

4) Teine ja kolmas on väga head sportlased ning esimene ja neljas on mitte väga head sportlased

avaldis

5) Teine ja neljas on väga head sportlased ning esimene ja kolmas on mitte väga head sportlased

avaldis

6) Kolmas ja neljas on väga head sportlased ning esimene ja teine on mitte väga head sportlased

avaldis
Nagu näha on avaldis väga hea sportlase tõenäosuse arvutamiseks võimalusi avaldis, mille sain välja arvutada eelnevalt ka kombinatsioonide abil.Iga sellise võimaluse tõenäosus on alati võrdne. Selle asemel, et need kõik eraldi leida ja kokku liita oli mõistlikum leida neist üks ja korrutada arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Tõenäosus, et juhuslikult moodustatud neljaliikmelisse võistkonda satuvad ka mõlemad väga head sportlased on avaldis.