Ülesanne 6 (15p)

Kuulike lükatakse veerema mööda kaldpinda allapoole. Alates teisest sekundist veereb kuulike iga sekundiga eelmise sekundi jooksul läbitud teepikkusest ühe ja sama pikkuse võrra rohkem. Teise sekundi lõpuks oli kuulikese kaugus lähtepunktist avaldis ja neljanda sekundi lõpuks oli kuulike lähtepunktist kaugusel avaldis. Mitmenda sekundi lõpuks jõuab kuulike kaldpinna lõppu, mis asub lähtepunktist kaugusel avaldis?

Vaata lahendust
Leian mitmenda sekundi lõpuks jõuab kuulikse kaldpinna lõppu

Kuna alates teisest sekundist veereb kuulike iga sekundiga eelmise sekundi jooksul läbitud teepikkusest ühe ja sama pikkuse võrra rohkem, siis on tegemist aritmeetilise jadaga.

Selgitus
Kui arvujadas iga liikme ja temale eelneva liikme vahe on konstantne, siis on tegemist aritmeetilise jadaga.

Tähistan jada esimese liikme, ehk esimesel minutil läbitud teepikkuse suurusega avaldis ning jada teguri suurusega avaldis.

Selgitus
Jada esimest liiget tähistatakse suurusega avaldis.Iga liikme ja temale eelneva liikme vahe tähistatakse aritmeetilises jadas suurusega avaldis.

Kuna teise sekundi lõpuks oli kuulikese kaugus lähtepunktist avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Teise sekundi lõpuks oli kuulike läbinud esimesel sekundil läbitud teepikkuse avaldis ja teisel sekundil läbitud teepikkuse avaldis.

Kuna neljanda sekundi lõpuks oli kuulikese kaugus lähtepunktist avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Neljanda sekundi lõpuks oli kuulike läbinud esimesel sekundil läbitud teepikkuse avaldis, teisel sekundil läbitud teepikkuse avaldis, kolmandal sekundil läbitud teepikkuse avaldis ja neljandal sekundil läbitud teepikkuse avaldis.

Moodustan saadud võrranditest võrrandisüsteemi:

avaldis
Selgitus
Moodustasin leitud võrranditest võrrandisüsteemi.
avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis viiekümnes liige.

avaldis
avaldis
Aritmeetilise jada üldliikme valemi põhjal:
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Kui sulu ees on + märk, siis võib sulud lihtsalt ära võtta.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin esimest võrrandit läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis (avaldis korral koondus avaldis välja):
avaldis
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis:
avaldis
Liidan ülevalt alla arvud:
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis esimesse võrrandisse, et leida saadud võrrandist tundmatu avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Tähistan tundmatuga avaldis sekundite arvu, millega ta jõuab avaldis kaugusele.

Kuna avaldis, avaldis ja avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valem 2

avaldis

avaldis on jada esimese avaldis liikme summa
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis kolmekümneühe esimese liikme summa.

avaldis
avaldis
Asendasin teadaolevad suurused avaldis, avaldis ja avaldis aritmeetilise jada summa valemisse ja vahetasin võrrandi pooled.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.Arvuga avaldis korrutamisel kaob vasakul pool võrdusmärki kahendik ära ja paremal pool tekib avaldis asemele avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna aeg ei saa olla negatiivne, siis avaldis ei sobi.

Selgitus
Kui aeg on tähistatud tundmatuga ja võrrand annab tundmatule negatiivse väärtuse, siis see lahend vastuseks ei sobi.

Vastus: Kuulike jõuab kaldpinna lõppu avaldis sekundi pärast.