Ülesanne 8 (20p)

Antud on funktsioon avaldis.
1) Leidke funktsiooni märamispiirkond.
2) Koostage antud funktsiooni avaldis graafikule puutuja võrrand punktis, kus see lõikub joonega avaldis.
3) Milliste avaldis vrtuste korral on funktsioon avaldis kogu oma määramispiirkonnas positiivne?

Vaata lahendust
1. Leian funktsiooni määramispiirkonna
avaldis

Vastus: avaldis.

Selgitus

Elementaarfunktsioonide määramispiirkonnad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Antud juhul on n paarisarv.

avaldis

Antud juhul on n paaritu arv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
2. Koostan antud funktsiooni avaldis graafikule puutuja võrrandi punktis, kus see lõikub joonega avaldis

Leian lõikepunkti

avaldis
Selgitus
Et leida kahe joone lõikepunkt, tuleb moodustada nendest funktsioonidest võrrandisüsteem ja selle võrrandisüsteemi lahend avaldis ja avaldis ongi nende joonte lõikepunkti avaldis ja avaldis koordinaat.
avaldis
Selgitus
Kui võrrandisüsteemi vaskaud pooled on võrdsed, siis on võrdsed ka võrrandisüsteemi paremad pooled.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult logaritmi definitsiooni abil saan seose:
avaldis
Võrrandi poolte vahetamisel saan seosele kuju:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud tundmatu avaldis esimesse võrrandisse, et saada lõikepunkti avaldis koordinaat.
avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Leian tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian tõusu

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis

Leian küsitud puutuja võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Antud funktsiooni avaldis graafikule puutuja võrrand punktis, kus see lõikub joonega avaldis on avaldis.

3. Leian milliste avaldis väärtuste korral on funktsioon avaldis kogu oma määramispiirkonnas positiivne

Leian funktsiooni avaldis ekstreemumi

avaldis
Selgitus
Eelnevalt juba leitud.
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi tundmatuga avaldis.Tundmatuga võib võrrandi pooli läbi korrutada vaid siis kui on võimalik veenduda, et see ei võrdu arvuga avaldis.Kuna avaldis pole antud juhul määramispiirkonnas, siis võime tundmatuga avaldis võrrandit läbi korrutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna avaldis pole määramispiirkonnas, siis selle lahendiga edaspidi ei arvesta.

Selgitus

Elementaarfunktsioonide määramispiirkonnad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Antud juhul on n paarisarv.

avaldis

Antud juhul on n paaritu arv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Määran ekstreemumi liigi

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Kuna kohal avaldis on funktsioonil miinimum ja funktsioon peab olema suurem nullist, siis saan välja kirjutada järgmise võrratuse:

avaldis
Selgitus
Funktsiooni kõige madalam koht on kohal avaldis ja funktsiooni väärtus peab olema kindlalt positiivne.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Vastus: Kui avaldis, siis on funktsioon avaldis kogu oma määramispiirkonnas positiivne.