Ülesanne 2 (10p)

avaldis õpilasest puudus matemaatika tunnist avaldis. Puudujatest avaldis olid poisid ja see moodustas avaldis klassi poiste koguarvust. Mitu tüdrukut oli matemaatika tunnis? Selles samas matemaatika tunnis kutsuti tahvli juurde juhuslikult:
1) üks õpilane. Kui suur on tõenäosus, et see õpilane on poiss?
2) kaks õpilast. Kui suur on tõenäosus, et üks õpilane on tüdruk ja teine poiss?
3) neli õpilast. Kui suur on tõenäosus, et vähemalt kolm neist olid tüdrukud?

Vaata lahendust
Mitu tüdrukut oli klassis?

Mitu puudujat oli klassis?

avaldis
Selgitus
Kuna klassis oli avaldis õpilast ja neist puudus avaldis, siis tuleb leida avaldis arvust avaldis.

Protsendi leidmine arvust

Protsendi leidmiseks arvust tuleb teisendada protsent kümnendmurruks jagades protsendi arvuga avaldis ja seejärel korrutatakse see arv leitud kümnendmurruga.

Näide

Leia avaldis arvust avaldis.

avaldis
avaldis

Mitu poissi puudus?

avaldis
Selgitus
Kuna puudujatest avaldis olid poisid ja puudujaid oli avaldis, siis tuleb leida avaldis arvust avaldis.

Osa leidmine arvust

Osa leidmiseks arvust tuleb arv korrutada temale vastava osamääraga.

Näide

Leia avaldis arvust avaldis.

avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Mitu poissi õppis selles klassis?

avaldis
Selgitus
Kuna poisse õppis selles klassis avaldis ja see moodustab avaldis klassis olevate poiste koguarvust, siis tuleb leida tervik teades, et avaldis on avaldis.

Terviku leidmine tema protsendi järgi

Tuleb teisendada protsent kümnendmurruks jagades protsendi arvuga avaldis ja seejärel jagatakse see arv leitud kümnendmurruga.

Näide

Leia arv, millest avaldis on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui poisse on klassis avaldis ja kokku on õpilasi avaldis, siis tüdrukuid on klassis:

avaldis
Selgitus
Kui kogu õpilaste arvust lahutada poiste arv, saame tüdrukute arvu.

Kui avaldis puudujast oli avaldis poissi, siis tüdrukuid puudus:

avaldis
Selgitus
Kui kogu puudujate arvust lahutada poiste puudujate arvu, saame tüdrukute puudujate arvu.

Järelikult matemaatika tunnis oli tüdrukuid:

avaldis
Selgitus
Kui kogu tüdrukute arvust lahutada puudujate tüdrukute arv, saame tüdrukute arvu tunnis.

Vastus: Matemaatika tunnis oli avaldis tüdrukut.

1. Kui suur on tõenäosus, et suvaliselt vastama kutsutud õpilane on poiss?

Leian poiste arvu matemaatika tunnis:

avaldis
Selgitus
Kui kogu poiste arvust lahutada puudujate poiste arv, siis saame poiste arvu matemaatika tunnis.

Leian tüdrukute arvu matemaatika tunnis:

avaldis
Selgitus
Kui kogu tüdrukute arvust lahutada puudujate tüdrukute arv, saame tüdrukute arvu matemaatika tunnis (antud arvutus on eelmises punktis juba ka tehtud).

Leian õpilaste arvu matemaatika tunnis:

avaldis
Selgitus
Kui poiste arvule matemaatika tunnis liita juurde tüdrukute arvu matemaatika tunnis, saame õpilaste arvu matemaatika tunnis.

Leian tõenäosuse, et suvaliselt vastama kutsutud õpilane on poiss

avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Tõenäosus, et matemaatika tunnis vastama kutsutud õpilane on poiss on avaldis.

2. Kui suur on tõenäosus, et kahest vastama kutsutud õpilasest üks õpilane on tüdruk ja teine poiss?
avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Tõenäosuste korrutamise reegel

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese ja teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget palli. Leia tõenäosus, et kahest võetud pallist on mõlemad valged.

Esimesena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Teise valge palli tõenäosus arvestades, et eelmist tagasi ei panda, on:

avaldis

Siis esimesena ja teisena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Tõenäosuste liitmise reegel, kui sündmused on teineteist välistavad

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja esimest sündmust välistava sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese sündmuse või teise sündmuse toimumise tõenäosus on:

avaldis

Näide

Leia tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis või avaldis silma.

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

avaldis või avaldis silma tulemise tõenäosus on:

avaldis
Antud reeglite põhjal oleks lahendus järgmine:

Leian tõenäosuse, et esimene vastama kutsutud õpilane on tüdruk ja teine poiss

avaldis

Leian tõenäosuse, et esimene vastama kutsutud õpilane on poiss ja teine tüdruk

avaldis

Leian tõenäosuse, et kahest vastama kutsutud õpilasest üks õpilane on tüdruk ja teine poiss

avaldis

Kuna mitmest sündmusest moodustunud sündmuse tõenäosus, kui sündmused toimuvad erinevas järjekorras on alati võrdsed, saab antud tõenäosuse välja arvutada ka ühe tehtega:

avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Tõenäosus, et kahest vastama kutsutud õpilasest on üks tüdruk ja teine poiss on avaldis.

3. Kui suur on tõenäosus, et neljast vastama kutsutud õpilasest vähemalt kolm olid tüdrukud?

Tõenäosus, et kõik neljast vastama kutsutud õpilasest olid tüdrukud:

avaldis
Selgitus

Tõenäosuste korrutamise reegel

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese ja teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget palli. Leia tõenäosus, et kahest võetud pallist on mõlemad valged.

Esimesena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Teise valge palli tõenäosus arvestades, et eelmist tagasi ei panda, on:

avaldis

Siis esimesena ja teisena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Tõenäosus, et neljast vastajama kutsutud õpilasest oli kolm tüdrukut:

avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Tõenäosuste korrutamise reegel

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese ja teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget palli. Leia tõenäosus, et kahest võetud pallist on mõlemad valged.

Esimesena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Teise valge palli tõenäosus arvestades, et eelmist tagasi ei panda, on:

avaldis

Siis esimesena ja teisena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Tõenäosuste liitmise reegel, kui sündmused on teineteist välistavad

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja esimest sündmust välistava sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese sündmuse või teise sündmuse toimumise tõenäosus on:

avaldis

Näide

Leia tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis või avaldis silma.

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

avaldis või avaldis silma tulemise tõenäosus on:

avaldis
Antud reeglite põhjal oleks lahendus järgmine:

Leian tõenäosuse, et esimene vastama kutsutud õpilane on poiss ja kolm järgmist tüdrukud

avaldis

Leian tõenäosuse, et esimene vastama kutsutud õpilane on tüdruk, teine poiss ja kaks järgmist tüdrukud

avaldis

Leian tõenäosuse, et kaks esimesena vastama kutsutud õpilasest on tüdrukud, kolmas poiss ja viimane on tüdruk

avaldis

Leian tõenäosuse, et kolm esimesena vastama kutsutud õpilasest on tüdrukudja viimane on poiss

avaldis

Leian tõenäosuse, et neljast vastama kutsutud õpilasest vähemalt kolm olid tüdrukud

avaldis

Kuna mitmest sündmusest moodustunud sündmuse tõenäosus, kui sündmused toimuvad erinevas järjekorras on alati võrdsed, saab antud tõenäosuse välja arvutada ka ühe tehtega:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Tõenäosus, et vähemalt kolm vastajatest olid tüdrukud:

avaldis
Selgitus

Tõenäosuste liitmise reegel, kui sündmused on teineteist välistavad

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja esimest sündmust välistava sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese sündmuse või teise sündmuse toimumise tõenäosus on:

avaldis

Näide

Leia tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis või avaldis silma.

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

avaldis või avaldis silma tulemise tõenäosus on:

avaldis
avaldis
Selgitus

Vastus: Tõenäosus, et neljast vastama kutsutud õpilasest on vähemalt kolm tüdrukud on avaldis.