Ülesanne 3 (10p)

On antud funktsioon avaldis.
Leidke selle funktsiooni:
1) Nullkohad.
2) Negatiivsuspiirkond.
3) Tuletis.
4) Maksimumpunkti koordinaadid.

Vaata lahendust
1. Leian nullkohad
avaldis
Selgitus

Nullkohad

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis nullkohad.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

Leian nullkohti kahest järgmisest võrrandist:

avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Vastus: Funktsiooni nullkohad on avaldis.

Selgitus
Loetlesin saadud nullkohad hulgamärkide vahel.
2. Leian negatiivsuspiirkonna
avaldis
Selgitus

Negatiivsuspiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis negatiivsuspiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

Joonis 1

Joonis 1

Selgitus
Kui nullkohad on leitud, siis antud joonis tehakse järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kantakse nullkohad kasvavas järjekorras arvteljele.
2) Valitakse suvaline piirkond ja kontrollitakse suvalise arvuga, sellest piirkonnast, kas selles piirkonnas on funktsiooni väärtus positiivne või negatiivne. Vastavalt sellele tõmmatakse joon kas alla või ülespoole telge.
3) Seejärel veetakse joon nullkohani ja sõltuvalt sellest kas antud nullkoht on paaris- või paaritu arvulise kordsusega, põrgatakse nullkohast tagasi või läbitakse telg, kuni kõik nullkohad on läbitud.

Antud joonise teen järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kannan nullkohad avaldis, avaldis ja avaldis kasvavas järjekorras arvkiirele.
2) Vaatlen kõige parempoolset piirkonda, kontrollides arvuga avaldis, kas seal piirkonnas on funktsioon positiivne või negatiivne.

avaldis

Järelikult hakkan joont vedama ülevalt poolt telge.
3) Kuna kõik lahendid on ühekordsed, ehk paarituarvulised, siis joon läbib kõiki nullkohti.

Vastus: Funktsiooni negatiivsuspiirkond on avaldis.

Selgitus
Lugesin vastuse järgmise põhimõtte alusel:

1) Teljest ülevalpool asuvad punktid on positiivsed (suurem nullist).
2) Telje peal asuvad punktid on võrdsed nulliga.
3) Allpool asuvad punktid on negatiivsed (väiksem nullist).

Kuna hetkel otsisin negatiivsuspiirkonda, siis lugesin vastusesse joone need punktid, mis asuvad allpool telge.
3. Leian tuletise

Teisendan funktsiooni avaldis

avaldis
Selgitus

Leian funktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus

Vastus: Antud funktsiooni tuletis on avaldis.

4. Leian maksimumpunkti koordinaadid

Leian funktsiooni avaldis ekstreemumid

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandite pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian funktsiooni avaldis teise tuletise

avaldis
Selgitus

Määran ekstreemumite liigid

avaldis
Selgitus
Asendasin ekstreemumi avaldis teise tuletisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Leian maksimumpunkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi arvutamiseks asendatakse avaldis koordinaat algsesse funktsiooni.

Vastus: Funktsiooni avaldis maksimumpunkt on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.