Ülesanne 4 (10p)

Kaks kiirabiautot alustavad üheaegselt sõitu teineteise poole - üks auto haiglast sündmuskohale, teine sündmuskohalt haiglasse. Esimese minutiga läbivad mõlemad autod avaldis. Iga järgmise minutiga läbib üks auto avaldis võrra ja teine auto avaldis võrra pikema teelõigu kui eelmise minutiga. Mitme minuti pärast autod kohtuvad ja mis on autode kiirused avaldis kohtumishetkel, kui sõitu alustades on nad teineteisest avaldis kaugusel?

Vaata lahendust
Mitme minuti pärast kiirabiautod kohtuvad?

Selgitan tekstis antud suurusi ja tähistan kiirabiautode kohtumisaja tundmatuga avaldis.

Kuna mõlemad kiirabiautod läbivad iga järgneva minutiga sama tee võrra pikema teelõigu, kui eelneva minutiga, siis kiirabiautode läbitud teepikkused igas järgnevas minutis moodustavad aritmeetilise jada.

Selgitus
Kui arvujadas iga liikme ja temale eelneva liikme vahe on konstantne, siis on tegemist aritmeetilise jadaga.

Esimene kiirabiauto sõites esimese minutiga avaldis ja iga järgmise minutiga avaldis rohkem, kui eelmisel minutil, moodustades iga minutiga läbitud teepikkustega aritmeetilise jada, milles jada esimene liige ja jada vahe on:

avaldis
Selgitus
Aritmeetilise jada esimest liiget tähistatakse tundmatuga avaldis ning iga liikme ja temale eelneva liikme vahet tundmatuga avaldis.

Teine kiirabiauto sõites esimese minutiga avaldis ja iga järgmise minutiga avaldis rohkem, kui eelmisel minutil, moodustades iga minutiga läbitud teepikkustega aritmeetilise jada, milles jada esimene liige ja jada vahe on:

avaldis
Selgitus
Aritmeetilise jada esimest liiget tähistatakse tundmatuga avaldis ning iga liikme ja temale eelneva liikme vahet tundmatuga avaldis.

Kuna kokku läbivad nad avaldis, siis mõlema kiirabiauto teepikkused, mida on võimalik esitada aritmeetilise jada summana, peavad andma summaks avaldis. Sel moel saan tundmatust avaldis sõltuva võrrandi, mis tähistab minutite arvu kiirabiautode kohtumiseni.

Esimese kiirabiauto läbitud teepikkus tundmatu avaldis kaudu:

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valem 2

avaldis

avaldis on jada esimese avaldis liikme summa
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis kolmekümneühe esimese liikme summa.

avaldis
avaldis

Teise kiirabiauto läbitud teepikkus tundmatu avaldis kaudu:

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valem 2

avaldis

avaldis on jada esimese avaldis liikme summa
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis kolmekümneühe esimese liikme summa.

avaldis
avaldis

Kuna nende kiirabiautode teepikkuste summa on avaldis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Kuna avaldis minutiga sõitsid nad kokku avaldis, siis mõlema kiirabiauto teepikkuste summa on avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.Arvuga avaldis läbi korrutamisel kaovad vasakul pool võrdusmärki kahendikud ära ja paremal pool tekib avaldis asemele avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna aeg ei saa olla negatiivne, siis avaldis ei sobi.

Leian autode kiirused kohtumishetkel

Leian teepikkused, mille nad läbisid kohtumishetkel, ehk kaheksandal minutil (kuna nad läbisid vaadeldava teepikkuse avaldis minutiga, siis need teepikkused ühtivad kiirustega):

Selgitus
Kiiruse valem:
avaldis

Kuna aega vaadeldakse avaldis minuti kaupa, siis kiirus on võrdne teepikkusega,mis läbiti kaheksanda minuti jooksul, sest kohtumishetk oli kaheksanda minuti lõpus ja aeg kiiruse valemis on avaldis.

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis viiekümnes liige.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis viiekümnes liige.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus

Teisendan kiirused ühikutesse avaldis

avaldis
Selgitus
Ühikust avaldis ühikusse avaldis teisendamiseks tuleb korrutada arvuga avaldis, sest:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Ühikust avaldis ühikusse avaldis teisendamiseks tuleb korrutada arvuga avaldis, sest:
avaldis
avaldis
Selgitus

Vastus: Kiirabiautod kohtusid kaheksandal minutil ja nende kiirused kohtumishetkel olid avaldis ja avaldis.