Ülesanne 8 (20p)

Ehitatakse risttahukakujuline hoone, mille ruumala on avaldis. Hoone katus on ristkülik, mille üks külg on teisest avaldis korda pikem. Katuse ühe ruutmeetri ehitamine maksab avaldis krooni. Hoone ühe lühema külje ühe ruutmeetri ehitamine läheb maksma avaldis krooni, ülejäänud kolme seina ühe ruutmeetri ehitamine aga avaldis krooni.
1) Avaldage ruumala avaldis kaudu hoone mõõtmed (pikkus, laius, kõrgus), mille korral oleks nimetatud ehitustööde maksumus minimaalne.
2) Arvutage ehitustööde minimaalne maksumus, kui hoone ruumala peab olema avaldis.

Vaata lahendust
1. Avaldan hoone mõõtmed hoone ruumala avaldis kaudu nii, et ehitustööde maksumus oleks minimaalne

Tähistan hoone katuse lühema külje tundmatuga avaldis, siis pikem külg on avaldis.
Tähistan hoone kõrguse tundmatuga avaldis.

Selgitus
Kui lühem külg on pikkusega avaldis, siis pikem külg on avaldis korda pikem, ehk avaldis.
Hoone

Hoone

Leian garaazi ruumala

avaldis
Selgitus

Risttahukas

Risttahukas

Risttahukas

Kui risttahuka servad on avaldis, avaldis ja avaldis, siis risttahuka täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis

Näide

Risttahuka servad on avaldis, avaldis ja avaldis. Leia risttahuka täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Olen saanud garaazi ruumala jaoks järgmise seose:

avaldis
Selgitus
Eelmise võrduse ahela algus ja lõpp.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud olukorras jagasin võrrandi pooli läbi avaldisega avaldis ja vahetasin võrduse pooled.Tundmatuga võib võrrandi pooli läbi jagada vaid juhul, kui õnnestub veenduda, et võrrandi pooli ei jagata läbi arvuga avaldis.Kui avaldis avaldis on võrdne arvuga avaldis, siis peab olema tundmatu avaldis väärtusega avaldis, kuid hoone katuse lühem külg ei saagi olla pikkusega avaldis.

Leian katuse pindala

avaldis
Selgitus

Ristkülik

Ristkülik

Ristkülik

Kui ristküliku küljed on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ristküliku küljed on avaldis ja avaldis. Leia selle ristküliku ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Leian ühe lühema seina pindala

avaldis
Selgitus

Ristkülik

Ristkülik

Ristkülik

Kui ristküliku küljed on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ristküliku küljed on avaldis ja avaldis. Leia selle ristküliku ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendan eelnevalt avaldatud avaldis antud valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian ülejäänud kolme seina pindala

avaldis
Selgitus
Kuna ühe lühema külje pindala on leitud, siis ülejäänud kolme seina pindala leidmine tähendab, et tuleb leida ühe lühema ja kahe pikema seina pindala ja need kokku liita.

Ristkülik

Ristkülik

Ristkülik

Kui ristküliku küljed on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ristküliku küljed on avaldis ja avaldis. Leia selle ristküliku ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendan eelnevalt avaldatud avaldis antud valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian katuse maksumuse

avaldis
Selgitus
Hinna arvutamiseks tuleb ruutmeetrite arv korrutada avaldis ruutmeetri hinnaga.

Leian ühe lühema seina maksumuse

avaldis
Selgitus
Hinna arvutamiseks tuleb ruutmeetrite arv korrutada avaldis ruutmeetri hinnaga.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian ülejäänud kolme seina maksumuse

avaldis
Selgitus
Hinna arvutamiseks tuleb ruutmeetrite arv korrutada avaldis ruutmeetri hinnaga.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Moodustan hoone ehitamise hinnafunktsiooni avaldis tundmatu avaldis kaudu

avaldis
Selgitus
Hoone ehitamise maksumus = Katuse maksumus + Ühe lühema seina maksumus + Ülejänud kolme seina maksumus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian hinnafunktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus

Leian hinnafunktsiooni ekstreemumi

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi tundmatuga avaldis.Tundmatuga võib võrrandi pooli läbi jagada vaid juhul, kui õnnestub veenduda, et võrrandi pooli ei jagata läbi arvuga avaldis.Kui avaldis avaldis on võrdne arvuga avaldis, siis peab olema tundmatu avaldis väärtusega avaldis, kuid hoone katuse lühem külg ei saagi olla pikkusega avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Leian katuse teise külje

avaldis
Selgitus
Kui üks külg on teada ja teine külg on avaldis korda suurem, siis teise külje leidmiseks tuleb esimene külg korrutada arvuga avaldis.

Arvutan hoone kõrguse

avaldis
Selgitus
Asendan leitud avaldis suuruse avaldis kaudu kõrguse avaldis valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Minimaalse maksumuse korral peavad hoone mõõtmed olema avaldis; avaldis ja avaldis.

2. Leian katuse maksumuse, kui ruumala on avaldis

Kui ruumala on avaldis, siis on lühem külg:

avaldis
Selgitus
Asendasin etteantud avaldis suuruse avaldis arvutamise valemisse.

Järelikult katuse minimaalne maksumuse etteantud ruumala korral on:

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis hinnafunktsiooni avaldis valemisse.
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Kui hoone ruumala on avaldis, siis on hoone ehitamise minimaalne maksumus avaldis krooni.