Ülesanne 9 (20p)

Püströöptahuka avaldis (vt. joonist) põhjaks on romb avaldis, mille teravnurk on avaldis ja diagonaal on avaldis. Püströöptahuka diagonaal avaldis moodustab põhitahuga nurga avaldis.

Püströöptahukas

Püströöptahukas

1) Avaldage püströöptahuka diagonaallõigete pindalad nurkade avaldis ja avaldis ning diagonaali avaldis kaudu.
2) Antud püströöptahukasse on kujundatud püramiid avaldis, kus punktid avaldis ja avaldis on vastavalt püströöptahuka servade avaldis ja avaldis keskupunktid ning avaldis on rombi avaldis diagonaalide lõikepunkt. Leidke püströöptahuka ja püramiidi avaldis ruumalade suhe.
3) Näidake, et sirge avaldis on risti sirgega avaldis.

Vaata lahendust
1. Avaldan püströöptahuka diagonaallõigete pindalad nurkade avaldis ja avaldis ning diagonaali avaldis kaudu

Leian lõigu avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus
Kuna lõik avaldis on rombi diagonaalist avaldis pool, siis lõigu avaldis leidmiseks jagan lõigu avaldis arvuga avaldis.

Leian lõigu avaldis pikkuse

Täisnurkne kolmnurk nr.1

Täisnurkne kolmnurk nr.1

avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis lõigu avaldis arvutamise valemisse.
avaldis
Selgitus
Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus

Leian lõigu avaldis pikkuse.

avaldis
Selgitus
Kuna rombi diagonaalid poolitavad teineteist, siis lõigu avaldis leidmiseks tuleb lõik avaldis korrutada arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud lõigu avaldis lõigu avaldis arvutamise valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian lõigu avaldis pikkuse.

Täisnurkne kolmnurk 2

Täisnurkne kolmnurk 2

avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendan eelnevalt leitud lõigu avaldis lõigu avaldis valemisse.
avaldis
Selgitus

Kuna lõigud avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis on kõik püstprisma avaldis kõrgused, siis kehtib seos:

avaldis
Selgitus
Püstprisma kõik kõrgused on võrdse pikkusega.

Leian diagonaallõike avaldis pindala.

Ristkülik nr.1

Ristkülik nr.1

avaldis
Selgitus

Ristkülik

Ristkülik

Ristkülik

Kui ristküliku küljed on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ristküliku küljed on avaldis ja avaldis. Leia selle ristküliku ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendan eelnevalt leitud lõigud avaldis ja avaldis antud diagonaallõike pindala valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian diagonaallõike avaldis pindala.

Ristkülik nr.2

Ristkülik nr.2

avaldis
Selgitus

Ristkülik

Ristkülik

Ristkülik

Kui ristküliku küljed on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ristküliku küljed on avaldis ja avaldis. Leia selle ristküliku ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendan eelnevalt leitud lõigu avaldis ja algselt antud lõigu avaldis antud diagonaallõike pindala valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Vastus: Püströöptahuka diagonaallõigete pindalad on avaldis ja avaldis.

2. Leian küsitud püströöptahuka avaldis ja püramiidi avaldis ruumalade suhte

Leian rombi avaldis pindala, mis on ka püströöptahuka põhja pindala.

Romb nr.1

Romb nr.1

avaldis
Selgitus

Romb

Romb

Romb

Kui rombi külg on avaldis, tema kõrgus on avaldis ja tema diagonaalid on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt ja pindala on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Rombi külg on avaldis ja tema diagonaalid on avaldis ja avaldis. Leia rombi ümbermõõt, pindala ja kõrgus.

avaldis
avaldis
avaldis

Rombi kõrguse saan arvutada järgmisest seosest:

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud lõigu avaldis ja algselt antud lõigu avaldis rombi pindala valemisse.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian püströöptahuka avaldis ruumala.

avaldis
Selgitus

Prisma

Prisma

Prisma

Kui prisma põhja ümbermõõt on avaldis, põhja pindala on avaldis ja prisma kõrgus on avaldis, siis prisma külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Viisnurkse prisma põhiservad on avaldis, avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis. Leia prisma täispindala ja ruumala, kui selle prisma põhja pindala on avaldis ja prisma kõrgus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendan eelnevalt leitud avaldis ja avaldis püströöptahuka ruumala valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian kolmnurga avaldis pindala.

Romb nr. 2

Romb nr. 2

Kuna avaldis, siis:

avaldis
Selgitus
Kuna punktid avaldis ja avaldis poolitavad lõigud avaldis ja avaldis, siis avaldis pikkus on pool avaldis pikkusest.
avaldis
Selgitus

Kuna avaldis, siis:

avaldis
Selgitus
Kuna punktid avaldis ja avaldis poolitavad lõigud avaldis ja avaldis, siis lõik avaldis poolitab ka lõigu avaldis.Kuna avaldis on pool lõigu avaldis pikkusest ja avaldis eelmise lause põhjal poolest pool, siis saangi kokkuvõtteks, et lõik avaldis on kolm neljandikku lõigust avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud lõigu avaldis lõigu avaldis arvutamise valemisse.
avaldis
Selgitus

Leian kolmnurga avaldis pindala, mis on ka püströöptahuka avaldis põhja pindala.

avaldis
Selgitus

Kolmnurk

Kolmnurk

Kolmnurk

Kui kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis, siis tema pindala arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis. Leia selle kolmnurga pindala.

avaldis
avaldis
Selgitus
Asendan eelnevalt leitud lõigud avaldis ja avaldis kolmnurga pindala valemisse.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian püramiidi avaldis ruumala.

avaldis
Selgitus

Püramiidi ruumala

Püramiid nr. 1

Püramiid nr. 1

Kui püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis, siis püramiidi ruumala avaldis on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis. Leia püramiidi ruumala.

avaldis
avaldis
Selgitus
Asendan eelnevalt leitud avaldis ja avaldis püramiidi ruumala valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Leian püströöptahuka avaldis ja püramiidi avaldis ruumalade suhte

avaldis
Selgitus
Kahe arvu avaldis ja avaldis suhe on nende jagatis, mida võib kujutada kas kujul avaldis või avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Püströöptahuka avaldis ja püramiidi avaldis ruumalade suhe on avaldis.

3. Näitan, et sirge avaldis on risti sirgega avaldis
Täisnurkne kolmnurk nr.  3

Täisnurkne kolmnurk nr. 3

Selleks, et näidata, et sirge avaldis on risti sirgega avaldis tuleb näidata, et avaldis.

Selleks on omakorda vaja näidata, et kehtib tingimus:

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis

Kuna avaldis on pool lõigust avaldis , siis:

avaldis
Selgitus
Rombi diagonaalid poolitavad teineteist, järelikult tuleb avaldis leidmiseks rombid diagonaal avaldis jagada arvuga avaldis.

Leian lõigu avaldis pikkuse ruudu.

avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud lõigu avaldis sama lõigu avaldis ruudu arvutamise valemisse.
avaldis
Selgitus

Leian lõigu avaldis pikkuse.

Täisnurkne kolmnurk nr. 7

Täisnurkne kolmnurk nr. 7

avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud lõigu avaldis lõigu avaldis arvutamise valemisse.
avaldis
Selgitus
Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus

Leian lõigu avaldis pikkuse ruudu.

Täisnurkne kolmnurk nr.  4

Täisnurkne kolmnurk nr. 4

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud lõigud avaldis ja avaldis lõigu avaldis arvutamise valemisse.
avaldis
Selgitus

Leian külje avaldis pikkuse ruudu.

Täisnurkne kolmnurk nr.  5

Täisnurkne kolmnurk nr. 5

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud lõigud avaldis ja avaldis lõigu avaldis valemisse.
avaldis
Selgitus

Kui mul õnnestub nüüd tõestada, et kehtib tingimus avaldis, siis olengi näidanud, et sirge avaldis on risti sirgega avaldis.

Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis

Selleks võin tõestada ka väite:

avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis, avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
Kui sulu ees on + märk või märk puudub, siis võib sulud lihtsalt ära võtta.Kui sulu ees on - märk, siis tuleb muuta mõlemad sulu sees olevad märgid.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandit läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi avaldisega avaldis.Tundmatuga võib võrrandi pooli läbi jagada vaid juhul, kui õnnestub veenduda, et võrrandi pooli ei jagata läbi arvuga avaldis.Seleks, et avaldis avaldis oleks võrdne arvuga avaldis, peab olema tundmatu avaldis võrdne arvuga avaldis, kuid rombi diagonaal ei saagi olla avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandit läbi avaldisega avaldis.Tundmatuga võib võrrandi pooli läbi jagada vaid juhul, kui õnnestub veenduda, et võrrandi pooli ei jagata läbi arvuga avaldis.Seleks, et avaldis avaldis, peab olema tundmatu avaldis väärtusega avaldis, kuid rombi teravnurk avaldis ei saagi olla väärtusega avaldis.Seleks, et avaldis avaldis, peab olema tundmatu avaldis väärtusega avaldis, kuid rombi teravnurk avaldis ei saagi olla väärtusega avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos:
avaldis
Siis kehtib ka seos:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos:
avaldis
Siis kehtib ka seos:
avaldis
Järelikult kehtib ka seos:
avaldis
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Sellega olengi näidanud, et sirge avaldis on risti sirgega avaldis.