Ülesanne 6 (15p)

On antud funktsioon avaldis, mille graafik lõikab y-telge punktis avaldis ning x-telge punktides avaldis ja avaldis, kus avaldis. Sirge avaldis läbib punkte avaldis ja avaldis ning sirge avaldis läbib punkte avaldis ja avaldis. Sirge avaldis on paralleelne sirgega avaldis. Sirged avaldis ja avaldis lõikuvad punktis avaldis ning sirged avaldis ja avaldis lõikuvad punktis avaldis.
1) Koostage sirgete avaldis, avaldis ja avaldis võrrandid ning arvutage punkti avaldis koordinaadid.
2) Joonestage koordinaatteljestikku funktsiooni avaldis graafik ning sirged avaldis, avaldis ja avaldis.
3) Näidake, et kolmnurk avaldis on täisnurkne ja arvutage selle kolmnurga nurk avaldis.

Vaata lahendust
1. Koostan sirgete avaldis, avaldis ja avaldis võrrandid ning arvutan punkti avaldis koordinaadid

Leian punkti avaldis

avaldis
Selgitus
Kuna on teada, et funktsiooni graafik lõikab y-telge punktis avaldis, siis punktis avaldis on selle punkti avaldis koordinaat avaldis (y-telje peal olevate punktide avaldis koordinaadid on väärtusega avaldis).Kui punkti avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi arvutamiseks tuleb see avaldiskoordinaat asendada sellesse funktsiooni ja avaldis koordinaat sealt välja arvutada (sel põhjusel asendasin sellesse funktsiooni arvu avaldis, et leida punkti avaldis koordinaat).
avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Leian funktsiooni avaldis nullkohad (punktid avaldis ja avaldis)

avaldis
Selgitus

Nullkohad

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis nullkohad.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis ja avaldis punkti avaldis ja avaldis koordinaatide asemele, mis ülesande tekstis on antud.

Leian sirge avaldis võrrandi, mis läbib punkte avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand kahe punkti abil

Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, mis läbib punkte avaldis ja avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Leian sirge avaldis võrrandi, mis läbib punkte avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand kahe punkti abil

Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, mis läbib punkte avaldis ja avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Võrrandis avaldis võib liikmeid vedada üle võrdusmärgi risti ülevalt alla ja alt üles. Antud juhul on eesmärk vabaneda murdudest ja selleks vean arvud avaldis ja avaldis risti üles.Sulud liikme avaldis ümber tekkisid selleks, et rõhutada asjaolu, et ülesviidud arv avaldis tuleb korrutada terve hulkliikmega avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Leian sirge avaldis tõusu

Sirge avaldis tõus on:

avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine, kui on teada sirge võrrand

Kui sirge võrrand on kujul avaldis, siis sirge tõus on lineaarliikme avaldis kordaja:

avaldis

Näide

Leia sirge avaldis tõus.

avaldis
avaldis
avaldis

Kuna sirge avaldis on sirgega avaldis paralleelne, siis ka sirge avaldis tõus on:

avaldis
Selgitus

Paralleelsete sirgete omadus

Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis paralleelse sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis

Järelikult temaga paralleelse sirge tõus on:

avaldis

Leian sirge avaldis võrrandi, mis läbib punkti avaldis ja on tõusuga avaldis

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Leian sirgete avaldis ja avaldis lõikepunkti avaldis

avaldis
Selgitus
Koostan sirgete avaldis ja avaldis võrranditest võrrandisüsteemi, et leida punkti avaldis ja avaldis koordinaat.
avaldis
Selgitus
Võrdsustasin võrrandisüsteemis tundmatud avaldis, et leida saadud võrrandist avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud tundmatu avaldis esimesse võrrandisse, et leida sealt avaldis.

Vastus: Sirge avaldis võrrand on avaldis, sirge avaldis võrrand on avaldis ja sirge avaldis võrrand on avaldis. avaldis.

2. Joonestan koordinaatteljestikku funktsiooni avaldis graafiku ning sirged avaldis, avaldis ja avaldis

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon 3 sirgega

Ruutfunktsioon 3 sirgega

Selgitus

Ruutfunktsiooni avaldis tegin tabeli põhjal.
Sirge avaldis tõmbasin läbi punktide avaldis ja avaldis.
Sirge avaldis tõmasin läbi punktide avaldis ja avaldis.
Sirge avaldis tõmbasin läbi punktide avaldis ja avaldis.

3. Näitan, et kolmnurk ABC on täisnurkne ja arvutan selle kolmnurga nurga BAC

Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine kahe punkti abil

Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on:

avaldis

Näide

Leia punkte avaldis ja avaldis läbiv sirge võrrand.

avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine kahe punkti abil

Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on:

avaldis

Näide

Leia punkte avaldis ja avaldis läbiv sirge võrrand.

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Näitan, et kolmnurga avaldis tipu avaldis juures on täisnurk, millega näitan, et kolmnurk avaldis on täisnurkne kolmnurk

avaldis
Selgitus

Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete vahel kehtib seos:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis risti oleva sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult temaga risti oleva sirge tõus on:

avaldis
Kui ristuvate sirgete vahel kehtib seos:
avaldis
Siis kehtib ka seos:
avaldis
Kui antud tingimus on täidetud, siis võime väita, et sirged on risti.

Arvutan kolmnurga nurga avaldis Leian vektorite avaldis ja avaldis koordinaadid

avaldis
avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian vektorite avaldis ja avaldis vahelise nurga avaldis

avaldis
Selgitus

Vektorite vaheline nurk

Vektorite avaldis ja avaldis vaheline nurk avaldis arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektorite avaldis ja avaldis vaheline nurk. Vastus andke täpsusega avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kui avaldis on teada, siis selle nurga avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:
avaldis

Vastus: Kolmnurk avaldis on täisnurkne ja nurk avaldis on ligikaudu avaldis.